高等代數(shù)選講第一章第4節(jié)-1674最大公因式-文庫吧
2025-07-17 14:33 本頁面
【正文】 r x? ? ?? ? ? ? ? 2 2 1 3 3( ) 0, ( ) ( ) , ( ) , ( ) 。r x r x r x q x r x?若 再 用 去 除 得 商 式 余 式首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) , ( ( ) ) ( ( ) )s s s s s sr x q x r x r x r x r x? ? ?? ? ? ? ? 11( ) ( ) ( ) s sr x q x r x?? ??11( ) | ( ) , ( ) ( ) ( ),s s s s sr x r x r x r x r x?? 因 所 以 是 與 的 一 個(gè)最 大 公 因 式 12, ( ) ( ) ( )s s sr x r x r x??由 引 理 也 是 與 的 最 大 ,公 因 式 ( ) ( ) ( )sr x g x f x同 理 逐 步 往 上 推 , 即 得 是 與 的一 個(gè) 最 大 公 因 式 . ( ) ( ) ,nd x r x?取 則 存 在 性 得 證 .由上述式子 , 得 21( ) ( ) ( ) ( )s s s sr x r x q x r x????1 3 1 2( ) ( ) ( ) ( )s s s sr x r x q x r x? ? ? ???3 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) , ( ( ) ) ( ( ) )s s s s s sr x q x r x r x r x r x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )r x g x q x r x??11( ) ( ) ( ) ( )r x f x q x g x??依次將上述式子中倒數(shù)第 1個(gè) , 倒數(shù)第 2個(gè) , … 中的 12( ) , ( ) , ,r x r x 代入前一個(gè)等式 , 可得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nd x r x u x f x v x g x? ? ? 定理的證明過程告訴了一個(gè)求最大公因式的方法 , 這種方法稱為 輾轉(zhuǎn)相除法 . 2 4 2 3( ) ( ) ( ) ( )s s s sr x r x q x r x? ? ? ???首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8 即兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式 , 如不計(jì)零次因式的差異是唯一的 . 當(dāng) f (x), g(x)不全為零時(shí) , 用記號(hào) ( f (x), g(x))來表示 f (x)和 g(x)的 首項(xiàng)系數(shù)為 1的最大公因式 . 由最大公因式定義可知 , 若 都是 f (x)與 g(x)的最大公因式 , 則 于是由整除的性質(zhì) , 12( ) , ( )d x d x1 2 2 1( ) | ( ) , ( ) | ( )d x d x d x d x且 ，12( ) ( ) 0, . d x c d x c c P? ? ?，首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9 4 3 232( ) 3 4 3 ,( ) 3 1 0 2 3 ,( ( ) , ( ) ) , ( ) , ( ) ,( ( ) , ( ) ) ( ) ( ) ( )1()f x x x x xg x x x xf x g x u x v xf x g x u x f x v x g x? ? ? ? ?? ? ? ???設(shè) 求 例并 求 使 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 323 1 0 2 3x x x? ? ?()gx4 3 23 4 3x x x x? ? ? ?()fx4 3 21 0 233x x x x? ? ?19?1()qx?13x275 x?323 1 5 1 8xxx??9?2 ()qx?解 3215 3333x x x? ? ? ?321 1 0 2 13 9 9 3x x x? ? ? ?25 1 6 3xx? ? ?25 2 5 3 0xx? ? ?25 2 5 1 09 9 3xx? ? ?1()rx?9 27x?2 ()rx?10 25 2 5 1 09 9 3xx? ? ?1()rx?9 27x ? 581x?25593xx??1 0
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