第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布(編輯修改稿)
2025-08-28 13:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 請(qǐng)計(jì)算樣本均值 ,樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ,樣本方差 ,樣本二階中心矩 . 第 23頁(yè) 樣本均值及其抽樣分布 定義 設(shè) x1, x2, … , xn為取自某總體 X的樣本，其算術(shù)平均值稱(chēng)為 樣本均值， 即 思考： 在分組樣本場(chǎng)合，樣本均值如何計(jì)算？ 二者結(jié)果相同嗎？ (x1+…+ xn)/n 第 24頁(yè) 定理 數(shù)據(jù)觀測(cè)值與均值的偏差平方和最小，即在形如 ? (xi?c)2 的函數(shù)中 ， 樣本均值的基本性質(zhì)： 定理 若把樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值之差稱(chēng)為 偏差， 則樣本所有偏差之和為 0，即 最小，其中 c為任意給定常數(shù)。 1( ) 0 .niixx????2()ixx??注意 :偏差平方和的自由度為 n1 第 25頁(yè) 例 3 證明：對(duì)任意常數(shù) c,d有 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nni i i iiix c y d x x y y n x c y d??? ? ? ? ? ? ? ???討論： 例 樣本均值形成的直方圖，發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)？ 第 26頁(yè) 樣本均值的抽樣分布： 定理 設(shè) x1, x2, …, xn 是來(lái)自某個(gè)總體的樣本， x 為樣本均值。 (1) 若總體分布為 N(?, ?2)，則 x x 的精確分布為 N(?, ?2/n) 。 (2) 若總體分布未知或不是正態(tài)分布， 但 E(x)=?, Var(x)=?2,則 n 較大時(shí) 的 漸近分布為 N(?, ?2/n) ,常記為 2~ ( , / )x N n??近 似第 27頁(yè) 作業(yè)： 習(xí)題 4題 例 4 設(shè)總體 X服從 N(12,4),樣本為 x1, x2, …, x5,求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于 1的概率 . 第 28頁(yè) 樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差 稱(chēng)為樣本標(biāo) 準(zhǔn) 差。 定義 稱(chēng)為樣本方差， 其算術(shù)平方根 2211 ()1niis x xn???? ?樣本偏差平方和有三個(gè)不同的表達(dá)式： ?( xi?x )2 = ?xi2 – (?xi)2/n = ?xi2 – nx2 第 29頁(yè) 定理 設(shè)總體 X 具有二階矩，即 E(x)=? ? ?, Var(x)=?2 ? ?, x1, x2, …, xn 為從該總體得到的樣本， x 和 s2 分別是樣本均值和樣本方差，則 E( x )=?, Var( x )=?2 /n, E(s2) =?2 性質(zhì) 第 30頁(yè) 例 5 P174第 6題 2( ) , ( ) , ( ) .E x V ar x E S設(shè) x1, x2, …, xn 是來(lái)自總體 U(1,1)的樣本，求 第 31頁(yè) 樣本矩及其函數(shù) 定義 ak = (?xik)/n 稱(chēng)為 樣本 k 階原點(diǎn)矩， 特別，樣本一階原點(diǎn)矩就是樣本均值。 稱(chēng)為 樣本 k階中心 矩 。 特別，樣本二階中心矩就是 bk = ? (xi ? x)k/n 思考： 樣本 k階矩與總體 k階矩，有什么關(guān)系？ 2nS第 32頁(yè) 樣本偏度 ?1反映了總體分布密度曲線(xiàn)的 對(duì)稱(chēng)性信息。樣本峰度 ?2反映了總體分布密度曲線(xiàn)在 其峰值附近的陡峭程度和尾部的粗細(xì)。 若峰度明顯大于 0，說(shuō)明其分布的密度曲線(xiàn)在其峰值附近比正態(tài)分布要陡，尾部更細(xì)，稱(chēng)為尖頂型； 若峰度明顯小于 0，說(shuō)明其分布的密度曲線(xiàn)在其峰值附近比正態(tài)分布要平坦，尾部更粗，稱(chēng)為平頂型。 定義： ?1 = b3/b23/2 稱(chēng)為樣本偏度， ?2 = b4/b22 － 3 稱(chēng)為樣本峰度。 反映總體分布形狀的統(tǒng)計(jì)量 用 EXCEL計(jì)算例 第 33頁(yè) 次序統(tǒng)計(jì)量及其分布 定義 設(shè) x1, x2, …, xn 是取自總體 X的樣本 , x(i) 稱(chēng)為該樣本的 第 i 個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量 ，它的取值 是將 樣本觀測(cè)值由小 到大排列后得到的第 i 個(gè) 觀測(cè)值。 x(1)=min?x1, x2,…, xn?稱(chēng)為該樣本的最小次序統(tǒng)計(jì)量， x(n)=max?x1,x2,…, xn?稱(chēng)為該樣本的最大次序統(tǒng)計(jì)量。 第 34頁(yè) 分析書(shū)中 例
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