【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的偏分方程方面進(jìn)行研究，最后，以位勢(shì)問(wèn)題作為我們推導(dǎo)邊界方程的實(shí)例，通過(guò)位勢(shì)問(wèn)題介紹邊界元方法。本章設(shè)計(jì)思路：首先建立邊界積分方程，然后對(duì)一般問(wèn)題進(jìn)行推廣，最后介紹Betti 定理、Kelvin解及 Somigliana 等式，從而對(duì)邊界元方程進(jìn)行理論研究。首先利用空間域或者上任意一點(diǎn)的調(diào)和方程的解，積分方程為（即邊界變量的表達(dá)式）： （）這樣我們就建立了邊界積分方程，只需要將奇異點(diǎn)P（基本解的奇異點(diǎn)）從域或者內(nèi)趨于邊界點(diǎn)p。于是得到： （）或者用指標(biāo)符號(hào)寫(xiě)成 （）其中 （），是小球面各點(diǎn)指向p點(diǎn)的外法線方向。不難得證，對(duì)于光滑邊界，而對(duì)角點(diǎn)p則，為角點(diǎn)處在域內(nèi)一側(cè)度量的立體角（即內(nèi)角）的弧度數(shù)。如果對(duì)最一般的情況把邊界S分為給定函數(shù)值的部分和給定法向?qū)?shù)的部分，則（）式還可以改寫(xiě)成（）其中和為邊界給定量。對(duì)于邊界每點(diǎn)有一個(gè)邊界未知量：上的或者上的。而這一邊界積分方程的奇異點(diǎn)也可以選取在邊界上的任意點(diǎn)，對(duì)于這樣的問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上是是定的。建立了這樣的邊界積分方程，這種方法通過(guò)設(shè)定邊界上未知的一些量把他們作為基本量，根據(jù)問(wèn)題的需要可以通過(guò)設(shè)定的量求解出求解域內(nèi)的未知量，這樣我們逐步進(jìn)行求解：通過(guò)設(shè)定邊界上未知的一些量把他們作為基本量，根據(jù)問(wèn)題的需要可以通過(guò)設(shè)定的量求解出求解域內(nèi)的未知量。通過(guò)推導(dǎo)我們可以看出，調(diào)和方程的邊界積分方程可以從Green等式出發(fā)建立起來(lái)。從更有普遍意義（即適用于許多不同問(wèn)題邊界積分方程的建立）的角度來(lái)看，建立邊界積分方程的過(guò)程可以看成：算子的基本方法不需建立權(quán)函數(shù)作為算子基本解，按照加權(quán)余量法的基本方法建立邊界積分方程；建立方程后應(yīng)用Gauss方法把邊界積分和域內(nèi)積分進(jìn)行相關(guān)鏈接，進(jìn)而得到，求解域內(nèi)域點(diǎn)P的解，然后我們?cè)儆眠吔缱兞勘硎荆辉俚玫椒匠套詈髮⒒窘恻c(diǎn)P（所謂奇異點(diǎn)）趨于邊界點(diǎn)，得到邊界積分方程。這個(gè)過(guò)程可以簡(jiǎn)稱為用加權(quán)余量法建立邊界積分方程。對(duì)于二維位勢(shì)問(wèn)題，可以用同樣的方法由二維Laplace方程出發(fā)來(lái)導(dǎo)出相應(yīng)的邊界積分方程。得出域內(nèi)解的積分公式為 （）相應(yīng)的邊界積分方程為 （）或者寫(xiě)成 （）其中用表示二維域的邊界，基本解為 （）其中是任意選定的一個(gè)距離標(biāo)尺，具有長(zhǎng)度的量綱，數(shù)值可以是1或者根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的幾何尺度選定某個(gè)數(shù)。這里的之所以要有長(zhǎng)度量綱是因?yàn)閷?duì)數(shù)是個(gè)超越函數(shù)，該函數(shù)的自變量必須是無(wú)量綱的。將（）式用指標(biāo)符號(hào)表示，即 （）其中，對(duì)于二維問(wèn)題的指標(biāo)用希臘字母表示，其取值范圍為1,2。對(duì)于二維域上的一般二階線性偏微分方程： （）其中微分算子為： （）即： （）引入權(quán)函數(shù)，按照加權(quán)余量格式，令： （）利用Gauss公式可得（）:其中可定義： （）微分算子稱為算子的共軛算子，一般情況下為了進(jìn)行相應(yīng)于前面所述的推導(dǎo)應(yīng)使權(quán)函數(shù)滿足方程 （）即：取共軛算子的基本解為權(quán)函數(shù)。對(duì)于特例： （）稱算子為自共軛算子，對(duì)于二階線性微分算子而言，自共軛的條件即：是常系數(shù)，且。顯然調(diào)和算子就是一例，因此可取算子的基本解作為權(quán)函數(shù)來(lái)推導(dǎo)邊界積分方程。對(duì)于非自共軛情況，應(yīng)取共軛算子的基本解為權(quán)函數(shù)。 Betti 定理、Kelvin解及 Somigliana 等式為了以比較直觀的方式來(lái)建立彈性靜力學(xué)的邊界積分方程，可以將Betti功互等定理（簡(jiǎn)稱Betti 定理）作為推導(dǎo)的出發(fā)點(diǎn)，我們簡(jiǎn)單介紹一下互等定理，為后面的推導(dǎo)提供理論依據(jù)。彈性體一般有2種平衡狀態(tài)：，造成的，和他的，造成的。接下來(lái)我們計(jì)算，在消耗的功，我們可以采用平衡方程或者Gauss公式就可以求出相應(yīng)的值： （）利用應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系可以寫(xiě)出： （）于是又（）式不難得出 （）此式即為Betti 定理，它可以敘述如下：假如同一彈性體承受兩組體積力和表面力的作用，那么第一組力，在由第二組力所引起的位移上所做的功等于第二組力，在第一組力所引起的位移上所做的功。在實(shí)際應(yīng)用中，這兩組荷載與相應(yīng)的變形狀態(tài)中通常一組是待求的真實(shí)狀態(tài)，而另一組是為求解方便而引起的輔助狀態(tài)。我們?yōu)榱藦椥造o力學(xué)的邊界積分方程，需要在點(diǎn)處作用一個(gè)單位集中力，而這個(gè)力引起的輔助狀態(tài)變形后，滿足一定的方程為，這個(gè)方程為： （）這個(gè)輔助問(wèn)題稱為Kelvin問(wèn)題，是有經(jīng)典的解析解的。設(shè)集中力沿方向作用于坐標(biāo)原點(diǎn)（）。它在邊界上滿足的條件是：原點(diǎn)處應(yīng)力奇異性與集中力是保持一致的；所有的應(yīng)力分量在無(wú)窮遠(yuǎn)處為0。我們對(duì)集中力的解釋為取一個(gè)小球洞，在其表面上有一個(gè)載荷系，這個(gè)載荷系的極限就是集中力。由于該問(wèn)題的軸對(duì)稱性質(zhì)，可以在圓柱坐標(biāo)系下采用Love應(yīng)變函數(shù)求解。得到的解為 ： （）推廣到一般情況并采用指標(biāo)符號(hào)，在我們所取的任何點(diǎn)（稱源點(diǎn)）沿方向作用時(shí)，對(duì)于單位的力，在空間域內(nèi)的任意一個(gè)點(diǎn)（稱場(chǎng)點(diǎn)）處引起的方向位移分量可表示為 （）其中 （）這是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離。在無(wú)窮遠(yuǎn)處，在點(diǎn)，應(yīng)力和位移都是有奇異性的，并且我們所求解的應(yīng)力狀態(tài)為0，位移也趨于0，并且應(yīng)力奇異性與集中力相似，在空間域內(nèi)的任意一個(gè)點(diǎn)（稱場(chǎng)點(diǎn)）處引起的方向位移分量。我們?nèi)绻僭O(shè)在互等定理的等式（）中取得Kelvin解（），并且他的變形狀和我們前面設(shè)定的是差不多的，則 （）緊接著我們有限域內(nèi)推導(dǎo)待解問(wèn)題，可以看到點(diǎn)在域內(nèi)，點(diǎn)為域內(nèi)的任何一點(diǎn)。對(duì)于這種狀態(tài)我們可以得到：而且在點(diǎn)處僅有沿方向作用的單位集中力，域內(nèi)不可能有分布的力，而在邊界則應(yīng)該作用與（）式的位移場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的面力，若將邊界上任意場(chǎng)點(diǎn)記作，則可得 （）代入（）式可以得到：（）對(duì)于待解問(wèn)題的真實(shí)解略去上標(biāo)（1），即可寫(xiě)成 （）這就是彈性理論的Somigliana 等式，對(duì)無(wú)體積力情況則簡(jiǎn)化為： （）由（）式我們得到了以下幾種結(jié)論，彈性理論的解的性質(zhì)大都可以這樣確定：邊界各點(diǎn)的位移與面力全部已經(jīng)確定，則域內(nèi)任意點(diǎn)的位移也都隨之確定。這是求解彈性力學(xué)問(wèn)題的理論方法，即把邊界上未知的量全部求解出來(lái)。對(duì)于邊界元的方法我們?cè)谙乱徽逻M(jìn)行討論 本章小結(jié)通過(guò)推導(dǎo)我們可以看出建立邊界積分方程，然后對(duì)一般問(wèn)題進(jìn)行推廣，最后介紹Betti 定理、Kelvin解及 Somigliana 等式，從而對(duì)邊界元方程進(jìn)行理論研究，這樣求解一般問(wèn)題是，求解思路與方法就比較清晰。本章在列出彈性力學(xué)的微分提法即其偏微分方程邊值問(wèn)題的基礎(chǔ)上，介紹利用賦予力學(xué)意義的數(shù)學(xué)公式（即為公式化的力學(xué)規(guī)律）來(lái)推導(dǎo)邊界積分方程：由Betti 功互等定理出發(fā)，利用Kelvin基本解，導(dǎo)出Somigliana 等式，最終得到彈性力學(xué)的邊界積分方程。3 幾種常見(jiàn)的邊界元方法 下面簡(jiǎn)單介紹幾種邊界元方法適用的問(wèn)題在平面應(yīng)變問(wèn)題的各向同性彈性半平面內(nèi)任意一點(diǎn)作用單位集中力所引起的位移和面力可表示成Kelvin解與輔助解之和，即： （）疊加輔助解后滿足半平面的直線邊界無(wú)面力作用的邊界條件。其中下標(biāo)代表在點(diǎn)作用方向的單位集中力引起的點(diǎn)方向的位移分量。的具體公式為： （）其中（） 相應(yīng)的面力分量為： （）為與上述位移輔助解對(duì)應(yīng)的應(yīng)力輔助解，其具體公式列出如下： （）其中。當(dāng)點(diǎn)為半平面邊界線上的點(diǎn)時(shí)，上述由Kelvin解和輔助解疊加所得基本解即Flamant解，其公式可以寫(xiě)成： （）其中。這種解可用于上有外力作用的部分。相應(yīng)的邊界積分方程為： （）其中為半平面內(nèi)部的邊界，例如空洞邊界，為半平面邊界上有面力作用的部分。以上對(duì)于半平面問(wèn)題的基本解公式都是針對(duì)平面應(yīng)變問(wèn)題給出的，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題只要將公式中的泊松比改為即可。對(duì)于半空間問(wèn)題，如果在板空間的平面邊界有部分受外力作用，也可以做類似處理。 Flamant問(wèn)題我們首先建立一個(gè)各向同性的半平面，在這個(gè)半平面上作用一個(gè)集中力f，這樣的問(wèn)題就是我們所研究的Flamant問(wèn)題，這一節(jié)我們就來(lái)用這種方法下的奇異解構(gòu)造邊界方程的邊界元方法。這種問(wèn)題一般應(yīng)用到固體力學(xué)領(lǐng)域，對(duì)于Flamant問(wèn)題的說(shuō)明我們可以通過(guò)右圖可以看出：.Fy代表沿z軸作用的線荷載，而它的單位為:N/m。這樣的求解問(wèn)題，我們可以看成是平面求解問(wèn)題，很顯然，邊界元法降低了求解問(wèn)題的維數(shù)。它的求解域?yàn)椋??？梢缘玫皆跁r(shí)半平面的應(yīng)力為: （）位移為（其中是常量）: （）得到在半平面邊界上，向量的分量為: 和，的這樣我們可以得到單位外法線向量為，而它的兩個(gè)方向的分量分別為為: 和。通過(guò)方程()我們可以得到，在原點(diǎn)不可以求解外，對(duì)于半平面上的任意一點(diǎn)，應(yīng)力大小為0。也就是說(shuō)，在原點(diǎn)處，半平面受到的力是單一的。也就是前面所說(shuō)的集中力。這樣我們就可以建立下面的函數(shù)：該函數(shù)定義如下： （）為了得到在方程（）中位移分量，我們就必須得到反正切函數(shù)的值。其中表示的主值，有： （）k由變量x和y決定，即: （） 因此的值位于和之間。對(duì)半無(wú)限區(qū)域，該函數(shù)的值在和0之間，即有： ， （）特別的，當(dāng)y=0時(shí)，有： （）把這些結(jié)果代入（）的第一個(gè)方程可得： （）可以看出半平面表面位移在x方向的分量為一個(gè)定值，不隨著方向去改變。也就是說(shuō)，（）半平面上的點(diǎn)都會(huì)向著偏離O點(diǎn)的方向移動(dòng)。相面對(duì)()中的另外的一個(gè)方程進(jìn)行討論，令，可以得到: （）在（）方程中得到：位移在力作用點(diǎn)為正無(wú)窮大，在遠(yuǎn)離這個(gè)作用點(diǎn)時(shí)越來(lái)越小。從而能夠看出邊界上，施加載荷時(shí)的一些性質(zhì)。雖然我們是在平面設(shè)定的一些平面應(yīng)變條件，平面應(yīng)變條件適用于法向平行于軸的任意平面，但是線型力在方向是無(wú)限長(zhǎng)的，我們是沒(méi)有辦法改變的。對(duì)Flamant問(wèn)題，方程()中的是用來(lái)量化值的常量。由方程()知，當(dāng)時(shí)： 。 （）下面簡(jiǎn)單介紹幾種邊界元方法適用的方法邊界元法是基于邊界積分方程，采用與有限元法類似的分元、離散思想建立起來(lái)的。由于邊界積分方程是定義在邊界上的，因此邊界元法只要在邊界上劃分單元。以二維位勢(shì)問(wèn)題為例，首先假設(shè)把整個(gè)邊界劃分為個(gè)單元，即在每個(gè)單元上對(duì)邊界變量采用一定的插值函數(shù)（也稱形函數(shù)）插值，例如可采用只保證相鄰單元間未知量本身連續(xù)的Lagrange插值： （）其中是單元上的局部坐標(biāo)，一般情況下；m為單元節(jié)點(diǎn)數(shù)，l為單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)序號(hào)，為相應(yīng)的插值函數(shù)。需要提到與一般有限元不同的是，這里還可以采用相鄰單元間未知量本身都不連續(xù)的常值單元。原則上說(shuō)，只有未知量是必須利用型函數(shù)插值的，邊界給定量可以不進(jìn)行插值離散化，而直接利用精確給定函數(shù)。此外，一般說(shuō)來(lái)對(duì)不同邊界未知量還可以采用不同的插值規(guī)律。但為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，下面不妨對(duì)未知量、給定量?jī)烧叨歼M(jìn)行離散插值，且對(duì)函數(shù)值和法向?qū)?shù)值采用同樣的插值函數(shù)。將（）式代入邊界積分方程（）得 （） 將離散插值以后的弱解代入此方程，將得到誤差 （）采用加權(quán)余量法的配點(diǎn)格式，即權(quán)函數(shù)采用各節(jié)點(diǎn)處的Dirac Delta函數(shù)，得： （）其中為總節(jié)點(diǎn)數(shù)。由此即得： （）注意到單元號(hào)，單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)號(hào)和節(jié)點(diǎn)整體編號(hào) 的關(guān)系，并區(qū)分節(jié)點(diǎn)未知量和節(jié)點(diǎn)給定量，實(shí)際上（）式剛好是對(duì)于個(gè)節(jié)點(diǎn)未知量的個(gè)線性代數(shù)方程。方程的未知量系數(shù)給定和給定量系數(shù)中包含有積分： （）它們叫做核函數(shù)與形函數(shù)乘積的積分。核函數(shù)即與基本解有關(guān)的量，如，它們是離散化前積分方程中的積分核。這些積分一般用數(shù)值積分法積分，而且當(dāng)核函數(shù)的奇異點(diǎn)在