畢業(yè)論文--平面自治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性分析(編輯修改稿)
2025-07-12 09:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 dx ax bydtdy cx dydt? ?????? ???? 假設(shè) 0ad bc??,即奇點 ? ?0,0O 為初等奇點 (又稱為一次奇點 ).先討論線性系統(tǒng) (2)的平衡點的定性性質(zhì) . 由線性方程組理論知系統(tǒng) (2)的通解完全由它的系數(shù)矩陣 A 的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形確定 .設(shè) A的實若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為 J,則存在非奇異實矩陣 P,使 1P AP J? ? .從而可利用非奇異線性坐標(biāo)變換 ,將系統(tǒng) (2)化為線性系統(tǒng) 4 1d PAPdt ?????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 注意到系統(tǒng) (2)與系統(tǒng) (5)可以相互轉(zhuǎn)化，因此只要把 (5)式的軌線性質(zhì)搞清楚了系統(tǒng) (2)的軌線性質(zhì)也就清楚了 . 1P AP J? ? 是下面三種形式之一： 00? ???????， 01? ???????， ???????????， 其中 , , , , , .? ? ? ? ? ? ?為 實 數(shù) ， 均 非 零這里第一、二種形式對應(yīng)于矩陣 A 僅有實特征根的情形 ,第三種形式相應(yīng)于矩陣 A 具有一對共軛復(fù)根 1,2 i? ? ??? 的情形 .用A 表示 (2)式右端的系數(shù)矩陣 .首先考慮矩陣 A非退化的情形，即 det 0A? ,這 時 A在復(fù)數(shù)域 有兩個非零特征根 12,??（ 12=,? ? ? ??這 里 令 ） .下面根據(jù)特征根的不同情形來研究系統(tǒng) (5)的平衡點 . 3 平面自治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性分析 線性系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性 A 有同號相異實根 此時， ??? 都是實數(shù)且 0??? . ① ? ?0 , 0 0 , 0 , 0 , 0 , 0q p O??? ? ? ? ? ?或 為穩(wěn)定的兩向結(jié)點 . ② ? ?0 , 0 0 , 0 , 0 , 0 , 0q p O??? ? ? ? ? ?或 為不穩(wěn)定的兩向結(jié)點 . 例 1 考慮如下的平面線性系統(tǒng) 3,2.du udtdw uwdt? ????? ???? (6) 解 首先計算系數(shù)矩陣 A 的特征根 .系統(tǒng) (6)的系數(shù)矩陣為 3021A ???????.從而特征根為 121, 3????,是一對同號相異的正實根 .因此 ,原點 ? ?0,0O 作為系統(tǒng) (6)的平衡點是一個不穩(wěn) 定的兩向結(jié)點 .為了畫出相圖 ,我們需要找出平衡點 ? ?0,0O的兩個特殊方向 .為此先求出 A 的特征向量 . 圖 1 (5) 5 ? ?1 1 1 0= 1 0 = 1AI? ? ? ???? ????當(dāng) 時 ， 由 得 ， 特 征 向 量 ；? ?2 2 2 1= 3 3 0 = 1AI? ? ? ???? ????當(dāng) 時 ， 由 得 ， 特 征 向 量. 這樣 ,我們相應(yīng)繪出兩條直線 12ll和 ,它們上面的軌道都是繼續(xù)沿著它們且背離原點 12??? ,因此除了 2l 上的軌道外 ,所有軌道的曲線都與 1l 相切于O 點 ,從而直線 12ll和 分別給出了平衡點 ? ?0,0O 的兩個特殊方向 .由此可以畫出系統(tǒng) (6)的相圖 ,見圖 1. 圖 1 A 有異號實根 此時， ??? 都是實數(shù)且 0??? . ① 0, 0????或 0, 0q?? ? , ? ?0,0O 為鞍點 . ② 0, 0????或 0, 0q?? ? , ? ?0,0O 為鞍點 . 例 2 作出系統(tǒng) 2323du uwdtdw uwdt? ?????? ???? 在 ? ?0,0O 點附近的相圖 . 解 系統(tǒng) (7)的系數(shù)矩陣 A 為 2323A ????????. (7) 6 由 ? ?? ?de t( ) 3 4 0AI? ? ?? ? ? ? ?,解得特征根 124, 3???? ? ,是一對異號實根 .因此原點 ? ?0,0O 作為系統(tǒng) (7)的平衡點是鞍點 .其相圖見圖 2. 圖 2 A 有重實根 此時 ,??? . ① 0?? 或 0, 0pq??, ? ?0,0O 為穩(wěn)定臨界結(jié)點或退化結(jié)點 . ② 0?? 或 0, 0pq??, ? ?0,0O 為不穩(wěn)定臨界結(jié)點或退化結(jié)點 . 例 3 考慮如下的平面線性系統(tǒng)
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