李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理(編輯修改稿)
2025-08-21 10:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0, P≤0。 矩陣正定性的判別方法 (1/5) (3) 矩陣正定性的判別方法 ?判別矩陣的正定性 (定號(hào)性 )的方法主要有 ? 塞爾維斯特判別法、 ? 矩陣特征值判別法和 ? 合同變換法。 下面分別介紹。 矩陣正定性的判別方法 (2/5)塞爾維斯特定理 ?定理 51(塞爾維斯特定理 ) (1) 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 P為正定的充要條件是 P的各階順序主子式均大于零 ,即 0||...00222112112111 ?????? PΔppppΔpΔn其中 pij為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 P的第 i行第 j列元素。 (2) 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 P為負(fù)定的充要條件是 P的各階順序主子式滿足 niiii ,...,2,100 ???????為奇數(shù)為偶數(shù) 矩陣正定性的判別方法 (2/5)— 矩陣定號(hào)性判定定理 ? 定理 52 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 P為正定、負(fù)定、非負(fù)定與非正定的充分必要條件是 P的所有特征值分別大于零、小于零、大于等于零與小于等于零 。 ? 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 P為不定的充分必要條件是 P的特征值有正有負(fù)。 □ ? 定理 53 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 P必定可經(jīng)合同變換化成對(duì)角線矩陣 ,則P為正定、負(fù)定、非負(fù)定與非正定的充分必要條件是的所有對(duì)角線元素分別大于零、小于零、大于等于零與小于等于零 。 ? P為不定的充分必要條件是的對(duì)角線元素有正有負(fù)。 矩陣正定性的判別方法 (3/5)— 矩陣定號(hào)性判定定理 ? 定理 53中的合同變換是指對(duì)對(duì)稱(chēng)矩陣的同樣序號(hào)的行和列同時(shí)作同樣的初等變換。 ? 上述三種判別實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 P的定號(hào)性的方法 ,各有千秋。但總的說(shuō)來(lái) , ?基于塞爾維斯特定理的方法計(jì)算量較大 ,若將該方法推廣到判別非負(fù)定性和非正定性 ,則計(jì)算量成指數(shù)性地增加。 ?特征值判別法需求解高階特征方程以獲得特征值 ,計(jì)算較復(fù)雜 ,計(jì)算量也較大。 ?合同變換法對(duì)矩陣只作初等變換 ,計(jì)算簡(jiǎn)單 ,便于應(yīng)用。 矩陣正定性的判別方法 (4/5)— 例 52 ?例 52 試用合同變換法判別下列實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 P的定號(hào)性 : ???????????521231111P? 解 先對(duì)對(duì)稱(chēng)矩陣 P作合同變換如下 矩陣正定性的判別方法 (5/5)— 例 52 ????????????????????????????????????????????????????????2/700020001410120001511120101521231111)3(2/)2()3(:)3(2/)2()3(:)3()1()3(:)3()1()3(:)2()1()2(:)2()1()2(:行列行列行列P因此 ,由定理 53知 ,矩陣 P為正定矩陣。 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義 (1/5) 2. 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義 ?從平衡態(tài)的定義可知 ,平衡態(tài)是使得系統(tǒng)靜止不動(dòng) (導(dǎo)數(shù)為零 ,即運(yùn)動(dòng)變化的趨勢(shì)為零 )的狀態(tài)。 ?從能量的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō) ,靜止不動(dòng)即不存在運(yùn)動(dòng)變化所需要的能量 ,即變化所需的能量為零。 ?通過(guò)分析狀態(tài)變化所反映的能量變化關(guān)系可以分析出狀態(tài)的變遷或演變 ,可以分析出平衡態(tài)是否穩(wěn)定或不穩(wěn)定。 ?下面通過(guò)一剛體運(yùn)動(dòng)的能量變化來(lái)簡(jiǎn)介李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義。 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義 (2/5) ?右圖所示動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡態(tài)在一定范圍內(nèi)為漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)。 ?對(duì)該平衡態(tài)的鄰域 ,可定義其能量 (動(dòng)能 +勢(shì)能 )函數(shù)如下 : h 漸近穩(wěn)定 平衡態(tài) mg v f ? x 0)c os(212122???????xmgxmmghmvV其中 x為位移 , x’為速度 ,兩者且選為狀態(tài)變量。 ? 在圖中所示狀態(tài) ,v=x’,由牛頓第二定律可知 ,其運(yùn)動(dòng)滿足如下方程 : m(x’’)=mgcos?fmgsin? 其中 f為 摩擦阻尼系數(shù)。 ? 因此 ,有 mx’’=mg(cos?fsin?) ? 因此 ,能量的變化趨勢(shì) (導(dǎo)數(shù) )為 V’=mx’x’’+mgx’cos? =mgx’(cos?fsin?)+mgx’cos? =mgx’fsin? 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義 (3/5) h 漸近穩(wěn)定 平衡態(tài) mg v f ? x 當(dāng) ?取值為 [0,90?],由于 v的方向與 x相反， x’為負(fù) ,因此上式恒小于零。 ? 即漸近穩(wěn)定的平衡態(tài) ,其正定的能量函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (變化趨勢(shì) )為負(fù)。 ? 對(duì)小球向上運(yùn)動(dòng)時(shí)亦可作同樣分析。 ?從直觀物理意義的角度 ,也非常易于理解。 ? 由于物體運(yùn)動(dòng)所受到的摩擦力作負(fù)功 ,由能量守恒定律可知 ,物體的能量將隨物體運(yùn)動(dòng)減少 , ? 即其導(dǎo)數(shù) (變化趨勢(shì) )為負(fù)。 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義 (4/5) ?再如右圖所示的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) ,其平衡態(tài)在一定范圍內(nèi)為不穩(wěn)定的平衡態(tài)。 ?對(duì)該平衡態(tài)的鄰域 ,可定義其能量 (動(dòng)能 +勢(shì)能 )函數(shù)如下 : 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義 (5/5) h 不穩(wěn)定 平衡態(tài) mg v f ? ( h 0 , v 0 ) x 0)c o s(2121)(21212202200???????????xmgmvxmhhmgmvmvV?由牛頓第二定律可知 ,其運(yùn)動(dòng)滿足如下方程 : ma=mgcos?fmgsin? ?因此 ,有 mx’’=mg(cos?fsin?) ?因此 ,能量的變化趨勢(shì) (導(dǎo)數(shù) )為 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義 (6/5) h 不穩(wěn)定
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