數(shù)分定理上冊(編輯修改稿)
2025-08-21 06:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 式，是組合系數(shù)。58. ，y的n階微分等于它的n階導(dǎo)數(shù)乘上自變量的微分的n次方（此公式不能推廣到中間變量的情況）。59. 費馬Fermat引理：設(shè)是的一個極值點，且在處存在導(dǎo)數(shù)，則 。60. 羅爾Rolle定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且，則至少存在一點，使得。61. 羅爾Rolle定理的幾何意義：滿足定理條件的函數(shù)一定在某一點存在一條與x軸平行，亦即與曲線的兩個端點的連線平行的切線。62. 拉格朗日Lagrange中值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，則至少存在一點，使得（Lagrange公式）。63. 若函數(shù)在上可導(dǎo)且有，則在上恒為常數(shù)。64. 一階導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則在I上單調(diào)增加的充分必要條件是：對于任意有；特別地，若對于任意有，則在I上嚴格單調(diào)增加。65. 二階導(dǎo)數(shù)與凸性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，則在區(qū)間I上是下凸函數(shù)的充分必要條件是：對于任意有；特別地，若對于任意有，則在I上是嚴格下凸函數(shù)。66. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)。a) 設(shè)函數(shù)在和上二階可導(dǎo)。若在與上的符號相反，則點是曲線的拐點；若在與上的符號相同，則點不是曲線的拐點。b) 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，若點是曲線的拐點，則=0.67. Jensen不等式：若函數(shù)為區(qū)間I上的下凸（上凸）函數(shù)，則對于任意和滿足的，成立a) （）b) 特別地，取，就有（）68. Cauchy中值定理：設(shè)函數(shù)和都在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且對于任意。則至少存在一點，使得。69. L’Hospital法則：設(shè)函數(shù)和在上可導(dǎo)（d是某個正常數(shù)），且。若此時有==0或=，且存在（可以是有限數(shù)或），則成立=。70. 帶Peano余項的Taylor公式：設(shè)在處有n階導(dǎo)數(shù)，則存在的一個鄰域，對于該鄰域中的任一點x，成立 其中余項。上述公式稱為在x=處的帶Peano余項的Taylor公式，它的前n+1項組成的多項式稱為的n次Taylor多項式，余項稱為Peano余項。71. 帶Lagrange余項的Taylor公式：設(shè)在上具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且在有n+1階導(dǎo)數(shù)，設(shè)為一定點，則對于任意x，成立 其中余項在x和之間。上述公式稱為在x=處的帶Lagrange余項的Taylor公式，余項（在x和之間）稱為Lagrange余項。72. 插值多項式和余項等其余內(nèi)容詳見P195—201.73. 函數(shù)在x=0處的Taylor公式又稱為函數(shù)的麥克勞林Maclaurin公式：（Peano余項），(Lagrange余項)。74. 余項或。75. 。76. 。77. 。78. 極值點判定定理：設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域中有定義，且在點連續(xù)。a) 設(shè)存在0,使得在與上可導(dǎo)，
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