【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 圓，又因?yàn)樗訟，H，P，D四點(diǎn)共圓. 所以又因?yàn)樗晕妩c(diǎn)共圓，即有，所以所以46. 如圖，O，I分別為的外心和內(nèi)心，AD是BC邊上的高，I在線段OD上. 求證：△ABC的外接圓半徑等于BC邊上的旁切圓半徑. 【析】連AO，作于E，作于F，設(shè)，外接圓、旁切圓半徑分別為R，再作于N，由三角形外心性質(zhì)所以AI平分，那么所以證畢47. 已知的內(nèi)心為I，內(nèi)切圓與BC邊的切點(diǎn)為D，所對(duì)的旁心為，所在直線與圓I交于另一點(diǎn)K，H是線段的中點(diǎn)，求證：K，B，C，H四點(diǎn)共圓.【析】過(guò)作BC邊的垂線，垂足為，連結(jié)IK，ID，所以所以，即.又因?yàn)椋运訩，B，C，H四點(diǎn)共圓. 證畢. 48. 如圖，已知∠ACE＝∠CDE＝90176。，點(diǎn)B在CE上，且CA＝CB＝CD，過(guò)A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于點(diǎn)F. 求證：F為△CDE的內(nèi)心.CBADFE證明：連CF、DF、BD. ∵AC＝CB，∠ACB＝90176。，∴ ∠BAC＝∠CAB＝45176。，∴ ∠CDF＝∠CAF＝45176。，但∠CDE＝90176。，∴ DF是∠CDE的角平分線. ∵ CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，但∠CBF＝∠CDF＝45176。，∴ ∠FBD＝∠FDB，∴ BF＝DF，又∵CB＝CD，CF＝CF，BF＝DF，∴ △CBF≌△CDF，∴∠BCF＝∠DCF，即CF是∠ECD的平分線. ∴ F是△CDE的內(nèi)心. 49. △ABC的外心為O，AB＝AC，D是AB中點(diǎn)，E是△ACD的重心. 證明：OE丄CD. 證明：設(shè)AM為高亦為中線，取AC中點(diǎn)F，E必在DF上且DE：EF＝2：1. 設(shè)CD交AM于G，G必為△ABC重心. 連GE，MF，MF交DC于K. 易證：DG：GK＝DC：()DC＝2：1. ∴DG：GK＝DE：EFGE∥MF. ∵OD丄AB，MF∥AB，∴OD丄MFOD丄GE. 但OG丄DEG又是△ODE之垂心. 易證OE丄CD. 50. △ABC是一個(gè)銳角三角形，過(guò)頂點(diǎn)B與外心O的一個(gè)圓分別與BC，BA交于點(diǎn)P，Q(P≠B，Q≠B). 求證：?OPQ的垂心在直線AC上. BCAPOQ證明：作OD⊥PQ，交PQ于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)H. 連PH，延長(zhǎng)QO交PH于點(diǎn)E，連OA，OB，OC. B，P，O，Q共圓222。208。POE＝208。QBP(＝208。ABC). 208。OQP＝208。OBP＝90176。－208。BAC；208。OPQ＝208。OBQ＝90176。－208。AOB＝90176。－208。ACB222。208。POD＝208。ACB；∴ P，O，H，C共圓. ∴ 208。OPH＝208。OCH(＝208。OCA)＝90176。－208。ABC. ∴ 208。OPE＋208。POE＝90176。222。PH⊥QE. 即PH是OQ邊上的高. 從而H為?OPQ的垂心. 51. 在平行四邊形ABCD(208。A＜90176。)的邊BC上取點(diǎn)T使得?ATD是銳角三角形. 令O1，O2，O3分別是?ABT，?DAT，?CDT的外心. 求證：三角形O1O2O3的垂心位于直線AD上. O3TO1O2BCDA證明：作O1H⊥O2O3，交AD于點(diǎn)H，連O2H，O3H. 連O1A，O1T，O2D，O2A，O3D. O1，O2都在AT的中垂線上，故O1O2是AT的中垂線. 同理，O2O3是DT的中垂線. 如圖位置有208。 O1O2O3＝180176。－208。ATD. ∴ 208。 O2O1O3＋208。O1O3O2＝180176。－208。 O1O2O3＝208。 ATD. ①又O1H∥TD(都與O2O3垂直)，∴ 208。AHO1＝208。ADT，又，208。AO2O1＝208。ADT＝208。AHO1222。A，H，O2，O1共圓. ∵ 208。AO1O2＝208。TO1O2＝208。B. ∴ 208。AHO2＝180176。－208。AO1O2＝180176。－208。B＝208。C＝208。O2O3D. ∴ H，O2，O3，D共圓. ∴208。HO3O2＝208。HDO2＝90176。－208。ATD. ②由①②，208。O2O1O3＋208。HO3O1＝208。O2O1O3＋208。 O1O3O2＋208。HO3O2＝90176。. ∴ O3H⊥O1O2. ∴ H為?O1O2O3的垂心. 五、等角共軛 等角共軛52. 已知EF是圓內(nèi)接四邊形ABCD對(duì)邊AB、CD的中點(diǎn)，M是EF的中點(diǎn)，自E點(diǎn)分別作BC、AD的垂線，垂足記為P、Q，證明：MP=MQMDBEAQPCF先證明一個(gè)引理：設(shè)P、Q是l真心同側(cè)的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線l上，則稱PA+PQ的最小值為P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l “光路和”，即P與Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)間的距離.設(shè)AP、AQ是∠AOB的一對(duì)等角共軛線，則P、Q關(guān)于OA、OB光路和相等.證明：如圖分別作出P關(guān)于OA、Q關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)、則P、Q關(guān)于OA光路和為，P、Q關(guān)于OB光路和P，易證△PO≌△，則=P. 即P、Q關(guān)于OA、OB光路和相等 MDBEAQPCFK證明：點(diǎn)F、E關(guān)于BC，AD兩邊的對(duì)稱點(diǎn)、延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)K，由△KAB∽△KCD，是KE、KF是相似三角形的對(duì)應(yīng)中線，KE、KF關(guān)于∠K的等角共軛線， 是F、E關(guān)于BC“光路和”， 是F、E關(guān)于BC“光路和”，由引理知=MP= MQ ∴ MP=MQ 等角共軛點(diǎn) 53. 如圖，P、Q是△ABC的等角共軛點(diǎn)(∠PAB=∠QAC，∠PBC=∠QBA，∠PCB=∠QCA).證明：APAQBC+BPBQAC+CPCQAB= ABBCCA.ABPQC證明：設(shè)D是射線AQ上的點(diǎn)，且使得∠ACD=∠APB.ABPQDC又因?yàn)椤螦PB∠ACB.，則點(diǎn)D必在△ABC外部，∵∠PAB=∠CAD，∴△APB∽△ACD，故ABAD=APAC=BPCD（1）.由∠QAB=∠PAC， ABAD=APAC可知△ABD∽△APC，則ABAP=ADAC=BDCP（2）， ∵∠CDA=∠PBA=∠QBC，∴B、Q、C、D四點(diǎn)共圓，由托勒密（Ptolemy）定理，有BCDQ=BQCD+BDCQ即BC(AD―AQ)=BQCD+BDCQ（3），由式（1）、式（2），CD=BP?ACAP，BD=CP?ABAP，AD=AC?ABAP（4）將（4）中各式代入式（3），得 BC?AB?ACAPAQ=BP?BQ?ACAP+CP?CQ?ABAP.即APAQBC+BPBQAC+CPCQAB= ABBCCA54. 設(shè)P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，、分別是△ABC、△PBC、△PCA、△PAB的外心. 證明：O、P關(guān)于是一對(duì)等角共軛點(diǎn).ABCPO證明：如圖，聯(lián)結(jié)，ABCPO，所以平分，令，，則， 故，∴，∴這表明 關(guān)于是等角線，同理，另兩角也如此，即O、P關(guān)于是一對(duì)等角共軛點(diǎn). 55. 點(diǎn)P在△ABC外角平分線上的射影分別為，在內(nèi)角平分線上的射影分別是. 證明：三線共點(diǎn).證明：過(guò)點(diǎn)A作的平行線AQ，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所?=，這表明，此平行線即為AP的等角線.記矩形的中心為，并取點(diǎn)P關(guān)于△ABC的等角共軛點(diǎn)Q，則由中位線性質(zhì)，知平分線段PQ，即經(jīng)過(guò)PQ的中點(diǎn)M，同理、也經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，因此M即為這三線所共的點(diǎn).56. 設(shè)是的外心，是的外心，直線分別交的外接圓于另一點(diǎn)，是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn). 求證：.【析】易知，所以為垂心，與外接圓為關(guān)于對(duì)稱的等圓. 由為的外心，知為的外心，于是為等角線. 為外心，故. 57. 的內(nèi)切圓與三邊相切于，交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為. 求證：.【析】延長(zhǎng)及交于點(diǎn)，由知共圓，從而. 又為的陪位中線，關(guān)于對(duì)稱，故，于是四點(diǎn)共圓，. 58. 設(shè)是的邊上的中點(diǎn)，是邊上另一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），令，，則的充要條件是分別過(guò)，點(diǎn)的的外接圓的兩切線的交點(diǎn)及、三點(diǎn)共線. 證明 充分性. 如圖，當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)直線與交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則由∽，∽，有，即有. 對(duì)四邊形應(yīng)用托勒密定理，有，即有，亦即. 注意到，則知∽，從而，故. 必要性. 如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線交的外接圓于，聯(lián)結(jié)，則由∽，有，即，亦即. 又對(duì)四邊形應(yīng)用托勒密定理，有. 于是，. 運(yùn)用三角形正弦定理，有. 延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，. 從而，有. （*）由于，注意到（*）式及，則. 由塞瓦定理的逆定理，知、三線共點(diǎn)于，即知直線與重合. 故、三點(diǎn)共線. 注：其必要性也可這樣來(lái)證：如圖，由及為中點(diǎn)，直線交圓于，由充分性中證明，知四邊形滿足條件. （**）設(shè)過(guò)的切線與直線交于，過(guò)的切線與直線交于. 由∽，有. 于是 . 同理 . 注意到（**）式有 ，從而 ，即 . 從而與重合，亦與重合. 故、三點(diǎn)共線. 59. 設(shè)、是的邊上（異于端點(diǎn)）的兩點(diǎn)，令，，則的充要條件是的外接圓與的外接圓內(nèi)切于點(diǎn). 證明 充分性. 如圖，當(dāng)兩個(gè)外接圓內(nèi)切于點(diǎn)時(shí). 過(guò)作兩圓的公切線，設(shè)的外接圓分別與，交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則. 從而，即有，亦即有. 故. 必要性. 如圖，設(shè)，分別為，的外心，與，分別交于點(diǎn)，. 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則有，從而. 過(guò)作的切線，過(guò)作的切線，則，即知與重合. 故與在點(diǎn)相內(nèi)切. 60. 在中，分別為邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，的外接圓與的外接圓交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的外接圓交于點(diǎn). 求證：. 證明 如圖，聯(lián)結(jié)，，，則由題設(shè)有，知∽（或點(diǎn)是完全四邊形的密克爾點(diǎn)即得）. 從而當(dāng)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)，有. ①又由，即（，分別為點(diǎn)到、的距離），有. ②于是，由①，②有. 此時(shí)，由性質(zhì)中的三角形式，即知. 從而，故. 注：性質(zhì) 設(shè)、是的邊上（異于端點(diǎn)）的兩點(diǎn)，令，，則的充要條件是或或. 證：如圖，應(yīng)用三角形正弦定理，有，. ①必要性. 當(dāng)時(shí)，則由上述①式，即得結(jié)論. 充分性. 當(dāng)時(shí)，在邊上取點(diǎn)，使. 此時(shí)，由①式，有. 于是，有. 從而，即知與重合. 故. 61. 如圖，設(shè)凸四邊形的兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)、的外接圓與的外接圓交于、兩點(diǎn). 求證：的充分必要條件是. 證明 如圖. 由題設(shè)有，知∽，有. ①此時(shí)由，即知，，四點(diǎn)共圓. 從而，有，. ②由①，②又有. ③充分性. 當(dāng)時(shí)，有，即有，從而. ④于是，由③，④，有. 從而由性質(zhì)中的三角形式，知. 必要性. 當(dāng)時(shí)，則由性質(zhì)中的三角形式，知. 注意到③式，有. ⑤設(shè)點(diǎn)到，的距離分別為，則. ⑥于是，由⑤，⑥有，即知. 故. 62. 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn). 證明：、的垂心，外心分別四點(diǎn)共圓.證明：為了證明該結(jié)論，先看如下引理：引理：過(guò)圓內(nèi)接四邊形兩對(duì)角線交點(diǎn)作任一邊的垂線，則垂線必過(guò)以其對(duì)邊為一邊，以交點(diǎn)為一頂點(diǎn)的三角形的外心. 事實(shí)上，如圖，過(guò)作于，作的中垂線交于，交于，過(guò)作，交于，則，為的中點(diǎn). 由知，，四點(diǎn)共圓. 又是直角，所以，知為的外心. 下面，回到原問(wèn)題的證明：如圖，設(shè)、與、分別為、的外心與垂心. 由上述引理知，、及、分別四點(diǎn)共線. 由于三角形的外心與垂心是等角共軛點(diǎn)，有，. 所以，所以，. 即知，. 從而 ，（）于是，即，故，，四點(diǎn)共圓. 同理，與的外心，垂心四點(diǎn)共圓. 63. 已知非等腰，是其外接圓孤的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，、分別是、的內(nèi)心. 證明：、N、四點(diǎn)共圓.證明 如圖，設(shè)是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，、則 . 故、關(guān)于的平分線對(duì)稱. 同理，、關(guān)于的平分線對(duì)稱. 這表明、是的一對(duì)等角共軛點(diǎn). 因此，從而 . 故、四點(diǎn)共圓. 六、Simson 定理 、托勒密、三弦定理 Simson 定理 64. 三角形外接圓上一點(diǎn)的西姆松線平分該點(diǎn)與三角形垂心的連線. HLMNDABCP證明：如圖設(shè)AD為邊BC上的高，延長(zhǎng)AD，與△ABC的外接圓交于點(diǎn)F，QSGHFLMNDABCP連接HL、PH，并設(shè)PH，PF分別與西姆松線交于點(diǎn)S、Q， PF與BC交于點(diǎn)G，連接HG，因?yàn)镻、C、L、M，A、F、C、P分別四點(diǎn)共圓，所以===，故PQ=LQ因此，Q為Rt△PLG斜邊的中點(diǎn)，又DH=DF，則===，故HG∥ML從而，SQ為△PHG的中位線，因此S為PH的中點(diǎn).65. 已知銳角△ABC，CD是過(guò)點(diǎn)C的高線，M是邊AB的中點(diǎn)，過(guò)M的直線分別與CA、CB交于點(diǎn)K、L，且CK=CL. 若△CKL的外心為S，證明：SD=SM. (第54屆波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克)LMDABCSK證明：如圖作△ABC外接圓，延長(zhǎng)CS與外接圓交于點(diǎn)T，L()MDABCSTK連接TM，作于點(diǎn)，于點(diǎn)因?yàn)镾為△CKL的外心，且KC=LC，所以CS為的角平分線. 于是，T為弧的中點(diǎn)，又M為AB的中點(diǎn)，則，由西姆松定理知，三點(diǎn)