【正文】 點(diǎn)、. 若，證明：的外心為的垂心. 證明 如圖，設(shè)的三條高線分別為，垂心為，與交于點(diǎn). 由于是的中位線，則為線段的中垂線，應(yīng)用（★）式，有. 同理，. 注意到垂心的性質(zhì)，有，及已知條件，從而. 故的垂心為的外心，即的外心為的垂心. 79. 已知、是的邊、的中點(diǎn)，、是邊、上的高，連結(jié)、交于點(diǎn). 又設(shè)、分別是的外心、垂心，連結(jié)、. 求證：. 證明 如圖，聯(lián)結(jié)，設(shè)，分別為，的中點(diǎn). 在中，；在中，于是點(diǎn)在線段的中垂線上，應(yīng)用（★）式，有. ①注意到為的中位線，而在的中垂線上，從而也在線段的中垂線上，應(yīng)用（★）式，有. ②又注意到，知，四點(diǎn)共圓，有. 而，知，四點(diǎn)共圓，且為其圓心，有. 于是，由①，②，③，④，并注意，有. 從而由定差冪線定理，知. 因，故. 80. 如圖，和是的割線，分別交于，且. 過(guò)的直線交于，（在與之間），交于，交于. 求證：. 證明 因?yàn)榈妊切?，注意到，知，即也為等腰三角形，?yīng)用（★）式，有. ①由，有. 再注意到，于是，. ②又在中，有. ③將②，③代入①有. 整理，即得. 81. 設(shè)和分別是的外心和內(nèi)心，的內(nèi)切圓與邊，分別相切于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，又，分別是線段，的中點(diǎn). 求證：. 對(duì)及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理有. 注意到，則. 又為的中點(diǎn)，則. 又，則，即. 同理，. 又，為內(nèi)切圓半徑. 設(shè)為外接圓半徑. 對(duì)，應(yīng)用等腰三角形性質(zhì)，有，由此得即證. 82. 如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線平分于，求證：.ABCDE證明：由定理知：在中， (1)在中， (2)又，把(1)、(2)兩式相加得：.再由相交弦定理知：，代入上式得：，即：83. 設(shè)、分別為的邊、上的點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，使得，且∽.求證：是的外接圓的切線. (2009國(guó)家集訓(xùn)隊(duì))AEDPCB證明：由條件，有.由正弦定理，.故：.由定理，.由于，故.所以是的外接圓的切線.84. 四邊形內(nèi)接于圓，滿足且. 設(shè)點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為(不同與點(diǎn))，點(diǎn)在弧上且. 設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，證明：當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在一個(gè)圓周上運(yùn)動(dòng). (2015美國(guó))APOSBTQXM證明：由中線長(zhǎng)公式得， ①由，利用勾股定理得，代入①得， ②將代入②得， ③在中用定理，結(jié)合及相交弦定理得，代入③得， ④設(shè)的中點(diǎn)為，在中用中線長(zhǎng)公式，結(jié)合④及勾股定理得，故：，即：點(diǎn)在一個(gè)以為圓心，為半徑的圓周上移動(dòng).八、歐拉定理、歐拉線、歐拉圓85. 如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，分別是三邊上的切點(diǎn)，證明：的歐拉線平分斜邊AB.證明：如圖，聯(lián)結(jié)OA′，OB′，OC′. 直線OC交AB、A′B′于N、S， 易知四邊形A39。△ADC為等腰直角三角形. 因AC＝，則CD＝1. 又△ABC也是等腰直角三角形，故BC＝，BD2＝1＋2－21cos135176。 　　　　　 從而∠E＝45176。. 由已知＝－1＝，有sin(∠EAC－30176。BD. 故當(dāng)f(P)達(dá)最小值時(shí)，P、A、B、C四點(diǎn)共圓. (2) 記∠ECB＝α，則∠ECA＝2α，由正弦定理有＝＝，從而sin3α＝2sin2α， 即(3sinα－4sin3α)＝4sinαcosα，所以3－4(1－cos2α)4cosα=0，整理得:4cos2α－4cosα－＝0， 解得cosα＝或cosα＝－(舍去)，故α＝30176。CA＋PDCA＋PCCA. 因此 f(P)＝PABC＋PCCA＋PCP是平面上的動(dòng)點(diǎn)，令f (P)＝PABC＝ACBC知，ABBD，又由托勒密定理以及ABBD. 因此，=. 又∠BAE=∠BDC，所以△BAE∽△BDC. 因此，∠ABE=∠DBC. (2)由∠ABE=∠DBC以及∠BAE=∠BDC知，△BAE∽△BDC. 所以=，即：ABBC=ACBC，且E是AC中點(diǎn)，所以 ABBC. 因?yàn)锳BBD＝ABCD＝ADBD＝ECBD. 即有ABCD＝2AECD＝ADBC＝ACAC，兩端同除以得69. 已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的外接圓半徑為2002，AB=BC=CD=200，求邊AD的長(zhǎng).DCOBA【解析】，EDCOBA由AB=BC=CD，知，∴，∴，故==，由托勒密定理得，即，AD=50070. 由外接圓的弧BC上一點(diǎn)P分別向邊BC、AC、AB作垂線PK、PL、PM. 求證：.MBCKPAL證明：連接PA、PB、PC，MBCKPAL對(duì)于四邊形ABPC利用托勒密定理有: 即由可知Rt和Rt相似，同理可得:∴由，可得71. 如圖，已知四邊形是圓內(nèi)接四邊形，直線與相交于點(diǎn)，并且. 設(shè)是的中點(diǎn). 證明：. (2017廣西預(yù)賽)證明：由托勒密定理得 ABBC＋BCAD=ABCA54. 設(shè)P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，、分別是△ABC、△PBC、△PCA、△PAB的外心. 證明：O、P關(guān)于是一對(duì)等角共軛點(diǎn).ABCPO證明：如圖，聯(lián)結(jié)，ABCPO，所以平分，令，則， 故，∴，∴這表明 關(guān)于是等角線，同理，另兩角也如此，即O、P關(guān)于是一對(duì)等角共軛點(diǎn). 55. 點(diǎn)P在△ABC外角平分線上的射影分別為，在內(nèi)角平分線上的射影分別是. 證明：三線共點(diǎn).證明：過(guò)點(diǎn)A作的平行線AQ，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所?=，這表明，此平行線即為AP的等角線.記矩形的中心為，并取點(diǎn)P關(guān)于△ABC的等角共軛點(diǎn)Q，則由中位線性質(zhì)，知平分線段PQ，即經(jīng)過(guò)PQ的中點(diǎn)M，同理、也經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，因此M即為這三線所共的點(diǎn).56. 設(shè)是的外心，是的外心，直線分別交的外接圓于另一點(diǎn)，是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn). 求證：.【析】易知，所以為垂心，與外接圓為關(guān)于對(duì)稱的等圓. 由為的外心，知為的外心，于是為等角線. 為外心，故. 57. 的內(nèi)切圓與三邊相切于，交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為. 求證：.【析】延長(zhǎng)及交于點(diǎn)，由知共圓，從而. 又為的陪位中線，關(guān)于對(duì)稱，故，于是四點(diǎn)共圓，. 58. 設(shè)是的邊上的中點(diǎn)，是邊上另一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），令，則的充要條件是分別過(guò)，點(diǎn)的的外接圓的兩切線的交點(diǎn)及、三點(diǎn)共線. 證明 充分性. 如圖，當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)直線與交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則由∽，∽，有，即有. 對(duì)四邊形應(yīng)用托勒密定理，有，即有，亦即. 注意到，則知∽，從而，故. 必要性. 如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線交的外接圓于，聯(lián)結(jié)，則由∽，有，即，亦即. 又對(duì)四邊形應(yīng)用托勒密定理，有. 于是，. 運(yùn)用三角形正弦定理，有. 延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，. 從而，有. （*）由于，注意到（*）式及，則. 由塞瓦定理的逆定理，知、三線共點(diǎn)于，即知直線與重合. 故、三點(diǎn)共線. 注：其必要性也可這樣來(lái)證：如圖，由及為中點(diǎn)，直線交圓于，由充分性中證明，知四邊形滿足條件. （**）設(shè)過(guò)的切線與直線交于，過(guò)的切線與直線交于. 由∽，有. 于是 . 同理 . 注意到（**）式有 ，從而 ，即 . 從而與重合，亦與重合. 故、三點(diǎn)共線. 59. 設(shè)、是的邊上（異于端點(diǎn)）的兩點(diǎn)，令，則的充要條件是的外接圓與的外接圓內(nèi)切于點(diǎn). 證明 充分性. 如圖，當(dāng)兩個(gè)外接圓內(nèi)切于點(diǎn)時(shí). 過(guò)作兩圓的公切線，設(shè)的外接圓分別與，交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則. 從而，即有，亦即有. 故. 必要性. 如圖，設(shè)，分別為，的外心，與，分別交于點(diǎn)，. 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則有，從而. 過(guò)作的切線，過(guò)作的切線，則，即知與重合. 故與在點(diǎn)相內(nèi)切. 60. 在中，分別為邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，的外接圓與的外接圓交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的外接圓交于點(diǎn). 求證：. 證明 如圖，聯(lián)結(jié)，則由題設(shè)有，知∽（或點(diǎn)是完全四邊形的密克爾點(diǎn)即得）. 從而當(dāng)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)，有. ①又由，即（，分別為點(diǎn)到、的距離），有. ②于是，由①，②有. 此時(shí)，由性質(zhì)中的三角形式，即知. 從而，故. 注：性質(zhì) 設(shè)、是的邊上（異于端點(diǎn)）的兩點(diǎn)，令，則的充要條件是或或. 證：如圖，應(yīng)用三角形正弦定理，有，. ①必要性. 當(dāng)時(shí)，則由上述①式，即得結(jié)論. 充分性. 當(dāng)時(shí)，在邊上取點(diǎn)，使. 此時(shí)，由①式，有. 于是，有. 從而，即知與重合. 故. 61. 如圖，設(shè)凸四邊形的兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)、的外接圓與的外接圓交于、兩點(diǎn). 求證：的充分必要條件是. 證明 如圖. 由題設(shè)有，知∽，有. ①此時(shí)由，即知，四點(diǎn)共圓. 從而，有，. ②由①，②又有. ③充分性. 當(dāng)時(shí)，有，即有，從而. ④于是，由③，④，有. 從而由性質(zhì)中的三角形式，知. 必要性. 當(dāng)時(shí)，則由性質(zhì)中的三角形式，知. 注意到③式，有. ⑤設(shè)點(diǎn)到，的距離分別為，則. ⑥于是，由⑤，⑥有，即知. 故. 62. 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn). 證明：、的垂心，外心分別四點(diǎn)共圓.證明：為了證明該結(jié)論，先看如下引理：引理：過(guò)圓內(nèi)接四邊形兩對(duì)角線交點(diǎn)作任一邊的垂線，則垂線必過(guò)以其對(duì)邊為一邊，以交點(diǎn)為一頂點(diǎn)的三角形的外心. 事實(shí)上，如圖，過(guò)作于，作的中垂線交于，交于，過(guò)作，交于，則，為的中點(diǎn). 由知，四點(diǎn)共圓. 又是直角，所以，知為的外心. 下面，回到原問(wèn)題的證明：如圖，設(shè)、與、分別為、的外心與垂心. 由上述引理知，、及、分別四點(diǎn)共線. 由于三角形的外心與垂心是等角共軛點(diǎn)，有，. 所以，所以，. 即知，. 從而 ，（）于是，即，故，四點(diǎn)共圓. 同理，與的外心，垂心四點(diǎn)共圓. 63. 已知非等腰，是其外接圓孤的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，、分別是、的內(nèi)心. 證明：、N、四點(diǎn)共圓.證明 如圖，設(shè)是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，、則 . 故、關(guān)于的平分線對(duì)稱. 同理，、關(guān)于的平分線對(duì)稱. 這表明、是的一對(duì)等角共軛點(diǎn). 因此，從而 . 故、四點(diǎn)共圓. 六、Simson 定理 、托勒密、三弦定理 Simson 定理 64. 三角形外接圓上一點(diǎn)的西姆松線平分該點(diǎn)與三角形垂心的連線. HLMNDABCP證明：如圖設(shè)AD為邊BC上的高，延長(zhǎng)AD，與△ABC的外接圓交于點(diǎn)F，QSGHFLMNDABCP連接HL、PH，并設(shè)PH，PF分別與西姆松線交于點(diǎn)S、Q， PF與BC交于點(diǎn)G，連接HG，因?yàn)镻、C、L、M，A、F、C、P分別四點(diǎn)共圓，所以===，故PQ=LQ因此，Q為Rt△PLG斜邊的中點(diǎn)，又DH=DF，則===，故HG∥ML從而，SQ為△PHG的中位線，因此S為PH的中點(diǎn).65. 已知銳角△ABC，CD是過(guò)點(diǎn)C的高線，M是邊AB的中點(diǎn)，過(guò)M的直線分別與CA、CB交于點(diǎn)K、L，且CK=CL. 若△CKL的外心為S，證明：SD=SM. (第54屆波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克)LMDABCSK證明：如圖作△ABC外接圓，延長(zhǎng)CS與外接圓交于點(diǎn)T，L()MDABCSTK連接TM，作于點(diǎn)，于點(diǎn)因?yàn)镾為△CKL的外心，且KC=LC，所以CS為的角平分線. 于是，T為弧的中點(diǎn)，又M為AB的中點(diǎn)，則，由西姆松定理知，三點(diǎn)共線，又CT是的角平分線，且三點(diǎn)共線，則，故點(diǎn)K與重合，故點(diǎn)L與重合.于是，從而四點(diǎn)共圓，故S為四邊形的外接圓圓心，于是，即S為T(mén)C的中點(diǎn)，又，則CD∥MT，故SM=SD.66. 如圖，設(shè)、是圓與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，過(guò)作直線分別交圓、圓于、兩點(diǎn)，過(guò)、兩點(diǎn)分別作圓與圓的切線，并過(guò)點(diǎn)分別作兩條切線的垂線，垂足分別為、. 求證：是以為直徑的圓的切線.證明：設(shè)、相交于點(diǎn)，則.故、四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)在的外接圓上.作于，由定理，得、三點(diǎn)共線.因?yàn)榈耐饨訄A即是以為直徑的圓，設(shè)為的中點(diǎn)，由于、三點(diǎn)共線，這里只要證明即可.且(由于、四點(diǎn)共圓) .，是以為直徑的圓的切線.67. 如圖，圓與直線相離，作，為垂足. 設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線和，和為切點(diǎn)，和相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作、為垂足. 求證：直線平分線段.證明：作PI⊥AB，I為垂足，記J為直線MN與線段PK的交點(diǎn). 易知∠QAO＝∠QBO＝∠QPO＝90o， 所以O(shè)、B、Q、P、A均在以線段OQ為直徑的圓周上. 由于PN⊥QA，PM⊥QB，PI⊥AB，所以由西姆松定理知： △QAB的外接圓上一點(diǎn)P在其三邊的垂足N、M、I三點(diǎn)共線，即N、M、J、I四點(diǎn)共線. 因?yàn)镼O⊥AB，PI⊥AB，所以QO∥PI，所以∠POQ＝∠IPO. 又因?yàn)镻、A、I、N四點(diǎn)共圓，所以∠PIJ＝∠PIM＝∠PAN＝∠POQ. 所以在直角三角形PIK中，∠PIJ＝∠JPI，所以J為PK的中點(diǎn). 因此直線MN平分線段KP. Ptolemy 定理 68. 在△ABC中，已知∠