【正文】 －∠AEF＝∠FEG， 所以，D、F、G、E四點(diǎn)共圓，記之為⊙S3. 由于直線TH，GE，DF恰為⊙S⊙S⊙S3兩兩之間的三條根軸， 且GE與DF交于點(diǎn)A，故由根心定理知TH過點(diǎn)A. 因?yàn)門H⊥DE，所以，AT⊥DE.100. 如圖，從半圓上的一點(diǎn)向直徑引垂線，設(shè)垂足為，作切，分別于，. 求證：. 證明 設(shè)半圓的圓心為，則，共線. 連，知，得. 連，由，知，三點(diǎn)共線. 又因，有，從而是的切線，故點(diǎn)對(duì)的冪等于點(diǎn)對(duì)的冪，即有. 101. 如圖，設(shè)是的內(nèi)心，過作的垂線，分別交邊，于，. 求證：分別于及相切于及的圓必與的外接圓相切. 證明 延長(zhǎng)交的半徑為，則點(diǎn)對(duì)的冪為，于是. 由，知. 從而，. 由此，即知與相切. 102. 如圖，過的頂點(diǎn)，且與，交于，(與不同)，的外接圓和的外接圓相交于和. 求證：. (試題)證明：設(shè)和的外接圓圓心分別為，由題設(shè)，推知，三點(diǎn)不共線（否則和重合），而直線，分別為這三個(gè)圓中兩兩圓的根軸，故它們必相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)交于點(diǎn). 由，知，四點(diǎn)共圓，則點(diǎn)對(duì)此圓的冪等于點(diǎn)對(duì)的冪，即有（設(shè)為的半徑）. 又點(diǎn)對(duì)的冪等于點(diǎn)對(duì)的冪，即有. 由上述兩式相減，得，由此有，故. 103. 如圖，已知兩個(gè)半徑不相等的⊙O1與⊙O2相交于M、N兩點(diǎn)，且⊙O⊙O2分別與⊙O內(nèi)切于S、T兩點(diǎn). 求證：OM⊥MN的充分必要條件是S、N、T三點(diǎn)共線. 證明 連，作公切線，相交于，則得，由此即知自點(diǎn)向和所昨切線長(zhǎng)相等，故點(diǎn)在這兩圓和的根軸上，且由. 連交于點(diǎn)，則，且，故，四點(diǎn)共圓. 由此，即有在直線上 ，三點(diǎn)共線. 104. 設(shè)O和I分別為的外心和內(nèi)心，的內(nèi)切圓與邊、分別相切于點(diǎn)、直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn). 求證：.證明 如圖，考慮與截線，由定理，有，所以，于是，因此，這樣=，，. 于是. 因?yàn)槭屈c(diǎn)到的內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)，所以是點(diǎn)到內(nèi)切圓的冪，而是點(diǎn)到的外接圓的冪. 等式表明點(diǎn)到的外接圓與內(nèi)功圓的冪相等，因而點(diǎn)在的外接圓與內(nèi)功切圓的根軸上. 同理，點(diǎn)也在的外接圓與內(nèi)切圓的根軸上. 故. 105. 在銳角三角形ABC中，. 設(shè)Γ是它的外接圓，H是它的垂心，F(xiàn)是由頂點(diǎn)A處所引高的垂足. 是Γ上一點(diǎn)，使得，是Γ上一點(diǎn)，使得. 已知A、B、C、K、Q互不相同，按此順序排列在Γ上. 證明：的外接圓和的外接圓相切. (2015年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克 第56屆IMO，烏克蘭供題)證明：如圖所示，延長(zhǎng)交Γ于點(diǎn)，由于，從而是Γ的直徑. 由于，故，同理，故是平行四邊形，∴是的中點(diǎn). 延長(zhǎng)交Γ于點(diǎn)，又∵，故，∴是三角形的中位線，∴是的中點(diǎn). 設(shè)直線與交于點(diǎn). 根據(jù)圓冪定理，的外接圓ω1和的外接圓ω2分別是以和為直徑的圓，這兩個(gè)圓外切于點(diǎn)，而是這兩個(gè)圓的等冪點(diǎn)，從而在這兩個(gè)圓的根軸上，即是這兩個(gè)圓的公切線，.設(shè)直線交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn). 由于的直角三角形，是斜邊的中點(diǎn)，1的切線知，也是ω1的切線. 在直角三角形中，是斜邊上的高，從而，故也是的外接圓的切線. 于是與的外接圓和的外接圓均相切于點(diǎn)處，∴這兩個(gè)圓也在點(diǎn)處相切.106. 如圖，、外離，它們的一條外公切線與、分別切于點(diǎn)A、B，一條內(nèi)公切線與、分別切于點(diǎn)C、D. 設(shè)E是直線AC、BD的交點(diǎn)，F(xiàn)是上的一點(diǎn)，過F作的切線與線段EF的中垂線交于點(diǎn)M，過M作MG切與點(diǎn)G. 求證：MF=MG. (2015年第14屆中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克 付云皓供題)證明：如圖，直線、交于點(diǎn)連接、. 設(shè)、分別是線段、的中點(diǎn)，連接、. ∵ 、是的切線，故平分，且. 同理平分，且. ∵、分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，∴. 又∵，. ∴. 而，. 得：點(diǎn)對(duì)、以及以點(diǎn)為圓心，0為半徑的圓的冪相等. 同理，點(diǎn)對(duì)、以及以點(diǎn)為圓心，0為半徑的圓的冪也相等. ∴這三個(gè)圓必有一條公共的根軸. 而在的中垂線上，∴. 又∵是的切線. ∴在這三個(gè)圓的公共根軸上，再∵是的切線. ∴. 107. 如圖，在中，為的內(nèi)心. 以為半徑作，以為半徑作，過點(diǎn)、的圓與、分別交于點(diǎn)、(不同于點(diǎn)). 設(shè)與交于點(diǎn). 證明：. (2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試題) 如圖，設(shè)、三點(diǎn)確定圓，與交于點(diǎn)（若兩圓相切，則視作點(diǎn)與重合，直線視為兩圓的公切線）. 對(duì)圓、圓應(yīng)用根心定理，有、三線共點(diǎn)于. 從而，、三點(diǎn)共線. ∴. 又∵，類似地，于是. 而，. 則=. ∴. 108. 如圖，在銳角中，、分別是邊、的中點(diǎn). 的外接圓與外接圓交于點(diǎn)P（異于點(diǎn)E），的外接圓與的外接圓交于點(diǎn)Q(異于點(diǎn)D). 求證：. (2014年第13屆中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克 付云皓) 證明：由題目的條件可知：△ADE與△ABC位似，且位似中心為點(diǎn)A，∴△ADE的外接圓與△ABC的外接圓相切于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作這兩個(gè)圓的公切線AM，則是這兩個(gè)圓的根軸. 根據(jù)蒙日定理（即根心定理）且，可知直線、交于一點(diǎn)，且直線、交于一點(diǎn)，∴直線、交于點(diǎn). 由切線的性質(zhì)可得，∴. 。. 過點(diǎn)T作TH⊥DE于點(diǎn)H，于是，D、F、T、H和H、T、G、E分別四點(diǎn)共圓， 記兩圓為⊙S1和⊙S2. 又∠FDG＝180176。－∠BMT＝90176。－∠BOC＝180176。＝∠BAE，故以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑的圓B過點(diǎn)A，且直線DC和EA都是圓B的切線，切點(diǎn)分別為C和A. 所以DC2＝DFBE. 所以F，D，E，G四點(diǎn)共圓，記此圓為⊙M3. 易見，⊙M⊙M⊙M3兩兩之間的公共弦恰為PH，EG，F(xiàn)D.由根心定理知，這三條根軸交于一點(diǎn). 又已知直線DF和EG交于點(diǎn)B，因此，直線PH過點(diǎn)B. 由PH⊥DE，知BP⊥DE.證法2：記BP的中點(diǎn)為O. 因?yàn)椤螧FP＝90176。＝∠PHD＝∠PHE，所以，F(xiàn)，D，H，P和P，H，E，G分別四點(diǎn)共圓，記兩圓為⊙M1和⊙M2. 又BFOQ＝OA2，即點(diǎn)O對(duì)圓S1的冪為OA2. 同理，點(diǎn)O對(duì)圓S2的幕為OB2. 注意到OA＝OB，有點(diǎn)O對(duì)圓S1與圓S2的冪相等. 故O在圓S1與圓S2的根軸PE上. 所以，O，P，E三點(diǎn)共線. 98. 在凸五邊形ABCDE中，AB＝BC，∠BCD＝∠EAB＝90176。一∠CBA. 連結(jié)OC，OA，則∠CAO＝90176。EA＝EBPF. 故P也為等冪點(diǎn). 綜上所述，原命題成立. 96. 如圖，⊙與⊙相交于點(diǎn)C，D，過點(diǎn)D的一條直線分別與⊙，⊙相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在⊙的弧AD上，PD與線段AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q在⊙的弧BD上，QD與線段BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N. O是△ABC的外心. 求證：的充要條件為P，Q，M，N四點(diǎn)共圓. (第7屆西部)證明：設(shè)△ABC的外接圓O的半徑為R，則M，N對(duì)圓O的冪分別為， ① . ②因?yàn)锳，C，D，P四點(diǎn)共圓，所以， ③因?yàn)镼，D，C，B四點(diǎn)共圓，所以， ④由①，②，③，④得 ，所以，P，Q，M，N四點(diǎn)共圓.97. 設(shè)凸四邊形ABCD的外接圓的圓心為O，已知AC≠BD，且AC與BD交于點(diǎn)E，若P為四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且∠PAB＋∠PCB＝∠PBC＋∠PDC＝90176。只需證A，P為△AMN，△AEF外接圓的等冪點(diǎn)即可. 注意到A為兩圓公共點(diǎn)，而由E，F(xiàn)、N，M四點(diǎn)共圓知PMH39。知AH、AO分別為△AMN，△AEF外接圓的直徑. 過AH中點(diǎn)H39。AE＝ANAB＝AN因此，即B，C，G，M四點(diǎn)共圓.九、圓冪定理、根軸、根心95. △ABC中，E、F分別為AB、AC中點(diǎn)，CM、BN為高，EF交MN于P，O、H分別為△ABC的外心與垂心. 求證：AP⊥OH.證明：由∠BMC＝∠BNC＝90176?！螦CB，即∠ABC＝∠ACB， 所以，AC＝AB故△ABC是等腰二角形，BC為底邊由于△OBH≌OCH，所以，OH平分∠BOC. 從而，OH⊥BC于D，易證Rt△BOM∽R(shí)t△BHD則＝＝＝2，所以＝＝2故AB∶AC∶BC＝2∶2 ∶1， 由余弦定理：cosA＝.90. 試證：的垂心與其外接圓上的點(diǎn)的連線被其九點(diǎn)圓平分. 證明：如圖，過垂心作外接圓的兩條弦，連，. 設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，則，. 又，則. 故，四點(diǎn)共圓，由，的任意性，得與外接圓上任意點(diǎn)連線的中點(diǎn)在同一圓上，由于這個(gè)圓過，的中點(diǎn)，故這個(gè)圓就是的九點(diǎn)圓，從而命題獲證. 91. 如圖，在中，是邊上的高，分別是，兩邊的中點(diǎn)，設(shè)直線通過點(diǎn)，且在上的射影為，連與交于點(diǎn). 求證：，四點(diǎn)共圓，且其圓心與點(diǎn)均在的九點(diǎn)圓上. 證明：，. 在中，為斜邊的中點(diǎn)，令，則. 同理，. 令，則. 于是，故. 由此，知，四點(diǎn)共圓. 而的外接圓即為的九點(diǎn)圓，即點(diǎn)在的九點(diǎn)圓上. 由，四點(diǎn)共圓，連，則知. 同理，. 于是，故，四點(diǎn)共圓. 由題設(shè)，的圓心為，連，則. 由于，四點(diǎn)共圓且以為其圓心，則知. 于是，有，四點(diǎn)共圓. 在上，即在的九點(diǎn)圓上，故命題獲證. 92. 已知、分別是的外接圓和內(nèi)切圓. 證明：過上的任意一點(diǎn)D，都可以作一個(gè)三角形DEF，使得、分別是的外接圓和內(nèi)切圓.證明：過D點(diǎn)作圓I的兩條切線與圓Ｏ相交于Ｅ，Ｆ，下面只需證明EF與圓Ｉ相切，即證I是△DEF的內(nèi)心，也只需證MI=ME即可.由EulerChapple公式及圓冪定理知，則.93. 在△ABC中，BC中點(diǎn)M，外心O，垂心H，HB、HC分別交OA于E、F，△HEF的外心為T. 求證：A，T，M三點(diǎn)共線.證明：易知△HEF∽△ABC，且AH為△HEF外接圓的切線 作△ABC外接圓的切線AP，則∠EAT=∠BPO. (相似三角形對(duì)應(yīng)邊所夾角相等，其中AH和AP是對(duì)應(yīng)邊)又O，M，P，A四點(diǎn)共圓，則∠BPO=∠EAM?∠EAT=∠EAM，故A，T，M三點(diǎn)共線.94. 銳角△ABC，高AD、BE、CF，EF交AD于G，EF中點(diǎn)M. 求證：B，C，G，M四點(diǎn)共圓.證明：設(shè)FE交BC與點(diǎn)P. 取BC的中點(diǎn).由E，F(xiàn)，B，C四點(diǎn)共圓，得。IM， 故＝87. 如圖，設(shè)為的垂心，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn). 過作的垂線交于，交的延長(zhǎng)線于. 求證：，四點(diǎn)共圓. 證明：設(shè)的外心為，連，取的中點(diǎn)，則為九點(diǎn)圓的圓心. 連，則，從而. 設(shè)為的中點(diǎn)，連，則，由此知. 又，則. 從而. 故，四點(diǎn)共圓. 88. 過銳角的頂點(diǎn)、的三條高線分別交其對(duì)邊于點(diǎn)、過點(diǎn)平行于的直線分別交、于點(diǎn)、交于點(diǎn). 證明：的外接圓過的中點(diǎn). AFEPRCBD證明：由題設(shè)，點(diǎn)的存在意味著. 由對(duì)稱性，可設(shè)，則在射線上，如圖. 取的中點(diǎn)，我們證明，四點(diǎn)共圓 ①因于，于，則，共圓，于是知. 又，有，則知，四點(diǎn)共圓，從而設(shè)，則證①式等價(jià)于證明，即，亦即. 由九點(diǎn)圓定理，知，四點(diǎn)共圓，有. 注意到，四點(diǎn)共圓，有，故得，即，亦即. 故有，亦有. 亦即，四點(diǎn)共圓，即的外接圓過的中點(diǎn). 89. 如圖，在銳角△ABC中，邊BC為最小邊，點(diǎn)O、G、I、H分別是它的外心、重心、內(nèi)心、垂心. 當(dāng)OG＝GI＝IH時(shí)，求cosA的值.解：由歐拉線定義知外心O、重心G、垂心H三點(diǎn)共線，由歐拉線性質(zhì)知OG：GH＝1：2. 可知I是GH的中點(diǎn)，即點(diǎn)I在歐拉線OH上如圖，聯(lián)結(jié)OB. OC，作OM⊥AB，垂足為M.易證∠BOM＝ ∠ACB，則有∠OBM＝∠CBH.但BI平分∠ABC，故BI平分∠OBH，同理，CI平分∠OCH因?yàn)椋剑剑瑒t有HB＝HC，于是，∠BCH＝∠HBC，進(jìn)而，90176。IH＋I(xiàn)M＝(3中的對(duì)應(yīng)線段. 則OI與BC所成的角等于IH與B39。B39。C39。C′的外心和內(nèi)心. 所以＝k，k為△ABC與△A39?！住鰽BC. 而O、l分別是△ABC的外心和內(nèi)心，I， H分別是△A39。B39。C39。B39。C39。C39。B39。B39。A39。＝∠DFC′＝∠DEB′＝∠DA39。、B39。BD＝＝. 三弦定理74. 如圖已知，AC是的平分線， 且，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓.ABCD12證明：∵，AC是的平分線，∴，從而，∵，∴，由三弦定理的逆定理，得四點(diǎn)A、B、C、D共圓75. 如圖，在△ABC中，ABACBC，D點(diǎn)在BC上，E點(diǎn)在BA的延長(zhǎng)線上，且BD=BE=AC，△BDE的外接圓與△ABC的外接圓交于F點(diǎn)，求證：BF=AF+CF.證明：對(duì)BE、BF、BD應(yīng)用三弦定理，得，∵BD=BE=AC， ， ∴. 從而== AF+CF76. 如圖，設(shè)銳角△ABC的∠A平分線交BC于L，交△ABC的外接圓于N，自點(diǎn)L分別向AB和AC作垂線LK和LM，垂足為K和M，求證：△ABC的面積等于四邊形AKNM的面積. (第28屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)證明：設(shè)∠BAN=∠NAC=α， 由三弦定理得: ，即，∵ ∴，在直角△AKL中， ，∴，又易知，∴， 從而七、Stewart 定理77. 如圖，、為的兩條切線，切點(diǎn)分別為、過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，交弦于點(diǎn). 求證：.證明 由切線長(zhǎng)定理知，應(yīng)用（★）式，有. 注意到；. 故. 78. 已知銳角的三邊、的中點(diǎn)分別為、在、的延長(zhǎng)線上分別取