【正文】 －∠ADG＝180176。－2∠BAC＝∠AFE. 故B，F(xiàn)，T，M四點(diǎn)共圓. 則∠BFT＝180176。＝∠BGP，所以，B，F(xiàn)，P ，G四點(diǎn)共圓且圓心為點(diǎn)O.又因?yàn)锽A＝BC，∠BCD＝90176。P為五邊形內(nèi)一點(diǎn)，使得AP⊥BE，CP⊥BD. 證明：BP⊥DE.證法1：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥DE于點(diǎn)H. 因?yàn)椤螾FD＝∠PGE＝90176。ED，知點(diǎn)E對(duì)圓S1的冪等于E對(duì)圓S2的冪. 于是PE為圓S1與圓S2的根軸. 下面只需證明O在圓S1與圓S2的根軸上. 延長(zhǎng)OP交圓S1于點(diǎn)Q，連結(jié)QC，QA. 由條件知∠ACP＋∠CAP＝90176。PN＝PE與AO中點(diǎn)O′分別為△AMN與△AEF的外心，且易知O39。AC. 又AE＝AB，AF＝AC，則AM由E，F(xiàn)，N，D四點(diǎn)共圓（△ABC的Euler圓），得；由N，M，E，D四點(diǎn)共圓，得。＋1)C39。B39。C39。//AB， A39。. 又ID⊥BC，所以B39。. 故H為△A39。B′. 同理∠HC39。2＝1，即(a＋b－c)x＝所以x＝，故AM＝AN－x＝－＝＝c＝AB，故結(jié)論成立.86. 如圖，圓O、圓I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，圓O半徑為R，圓I半徑為r，圓I分別切AB、AC、BC于點(diǎn)F、E、D，若M為△DEF的重心，試求的值(其中R≠2r).解：取△DEF的垂心H，設(shè)DH， EH， FH分別交⊙I于A39。CB′O為正方形. 則CS＝SO. SA′＝SB′. △A′B′C′的重心G在中線C′S上. 設(shè)△A′B′C′的歐拉線GO交斜邊AB于點(diǎn)M，觀察△SNC′及直線MOG. 利用梅涅勞斯定理得： ∠DAC＝∠DCA＝∠E＝45176?！螦CE＝60176。AB≥PBAB≥PBBC＋PDCD＝ADDC＝AECD＝ADDC＋ADBD. 在△CED和△BAD中，因?yàn)椤螦BD＝∠ECD，＝， 所以△CED∽△BAD，從而∠CED＝∠BAD. 同理△ABE∽△DBC，從而∠AEB＝∠DCB. 于是得到∠AEB＝∠DCB＝180o－∠BAD＝180o－∠CED＝∠AED. 此即EP平分∠BED. 由角平分線定理得到＝. 72. 如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形且ABBD＝2ECBD. ① 因?yàn)椋剑訟BAB=ABBD＋BCCQAQCQ即BCBCBQHO3O2＝90176。O2O1O3＋208。HO3O2＝208。－208。B. ∴ 208。AHO1222。AHO1＝208。O1O3O2＝180176。 O1O2O3＝180176。222。－208。ACB；∴ P，O，H，C共圓. ∴ 208。－208。OPQ＝208。OQP＝208。208?！?∠CDF＝∠CAF＝45176。也在圓ABH上所以P，P39。由九點(diǎn)圓的性質(zhì)知XT=TH，而由圓冪定理知XT?XP39。C的交點(diǎn)分別為X、Y、P. 由帕斯卡定理可知，P、Y、X三點(diǎn)共線. 故X、Z、Y三點(diǎn)共線. 31. 如圖，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，P在邊BC、CA、AB上的射影分別為D、E、F，過(guò)點(diǎn)A分別作直線BP、CP的垂線，垂足分別為M、N. 求證：ME、NF、BC三線共點(diǎn). 證明：由題設(shè)有∠AEP＝∠AFP＝∠AMP＝∠ANP＝90186。中，其三組對(duì)邊CB與A39。、AA39。＝0. 從而λ1＋λ2＝0，即λ2＝－λ1，故λ2由λ1唯一確定. 因此，點(diǎn)H與D在直線CG上的位置無(wú)關(guān).  Pascal定理圓O上六點(diǎn)，則的交點(diǎn)X，Y，Z共線. 考慮三頂點(diǎn)引出的直線與兩邊所成角的正弦值（*） 所以（*）為1，由Ceva定理（角元形式）逆定理知原命題成立. 【注】結(jié)論與六個(gè)點(diǎn)在圓上的次序無(wú)關(guān). 六個(gè)點(diǎn)中相鄰兩個(gè)點(diǎn)若重合，則對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)連線變?yōu)樵擖c(diǎn)的切線，從而六邊形可以變?yōu)槲暹呅位蛘咚倪呅紊踔寥切? 27. △ABC內(nèi)接于圓O，P為BC弧上一點(diǎn)，點(diǎn)K在線段AP上，使得BK平分，過(guò)K，P，C三點(diǎn)的圓與邊AC交于點(diǎn)D，連結(jié)BD交圓于點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長(zhǎng)與邊AB交于點(diǎn)F，證明：.【析】設(shè)CF與圓交于點(diǎn)S，考慮圓上六點(diǎn)形KPEDCS，由Pascal定理可知B，K，S三點(diǎn)共線. 設(shè)圓與BC交于點(diǎn)T，連結(jié)KT，則.所以，所以.28. 如圖，六點(diǎn)A，B，D，E，F(xiàn)，C在圓周上順次排列，AB=AC，AD與BE交于點(diǎn)P，CD與BF交于點(diǎn)Q，AF與CE交于點(diǎn)R，AD與BF交于點(diǎn)S，AF與CD交于點(diǎn)T，在線段TS上取一點(diǎn)K，使得. 求證：.【析】由Pascal定理可知，P，Q，R三點(diǎn)共線. 因?yàn)?，所以~.所以，所以BC//TS.，同理，所以又因?yàn)樗?29. 如圖，的外心為O，CD為高線，M為邊AC的中點(diǎn)，射線DM與以AD為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)為Y，圓與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為X，直線DO與AC交于點(diǎn)Z. 證明：X，Y，Z三點(diǎn)共線.【析】設(shè)是XY，AC的交點(diǎn)，下面證明：共線即可. 設(shè)直線交圓O于點(diǎn)L，連結(jié)XD并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)P，那么，從而三點(diǎn)共線，所以連結(jié)AOP，因?yàn)槭荴Y，AC的交點(diǎn)，即XL與AC的交點(diǎn)，而延長(zhǎng)CD交圓O于點(diǎn)G，則D點(diǎn)就是XP和CG的交點(diǎn)，此時(shí)考慮六點(diǎn)形CAPXLG，只要能證明O是AP和LG的交點(diǎn)即可由Pascal定理證得. 所以下面證明：L，O，G三點(diǎn)共線. 要證L，O，G三點(diǎn)共線，只要證：因?yàn)?，所以LB//MD，所以只要證，這由可得. 證畢. 30. 如圖，過(guò)的頂點(diǎn)A、B、C各作一直線使之交于一點(diǎn)P，而分別交△ABC的外接圓于點(diǎn)、. 又在△ABC的外接圓上任取一點(diǎn)Q，證明：、與BC、CA、AB對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)X、Z、Y三點(diǎn)共線.證明：在圓內(nèi)接六邊形BCAA39。＝. ＝＝，即＝222。=1. 故＝=1. 而＝，＝. 222。)cos?(α+15176。)cos?(α+15176。45176。)sin15176。AB=AC. 以AB為一邊作△ABD，且AD=∠ADC=15176。、EY39。B2=0即MB2MA2=Z39。C2MC2MA2=Y39。P為五邊形內(nèi)一點(diǎn)，且AP⊥BE，CP⊥BD.求證：BP⊥DE. 【證明】連接BP延長(zhǎng)交DE于Q，由AP⊥BE，CP⊥BD，得：AB2+PE2=AE2+BP2，BC2+DP2=CD2+BP2兩式相減：PE2DP2=AE2CD2=BE2BD2，即：BD2+PE2=BE2+DP2，由凹四邊形得：BP⊥DE.BACDEPQ6. 如圖，在四邊形ABCD中，E和F是CD和BC上的點(diǎn)，AB=AD，DF⊥AE，AB⊥BC，AD⊥DC.求證：AF⊥BE. 證明：在四邊形ADEF中，由DF⊥AE及定差冪線定理得AD2AF2=ED2EF2，又因?yàn)锳B=AD，AB⊥BC，AD⊥+BF2=AE2AB2EF2，即AB2BF2=AE2EF2，由定差冪線定理知AF⊥BE.7. 若點(diǎn)在三邊、所在直線上的射影分別為、. 證明：自、的中點(diǎn)分別向、所作的垂線共點(diǎn). 證明：由三角形中線長(zhǎng)公式，有. 由，則 . 同理， . 以上三式相加，得 . 因?yàn)镻X⊥BC，PY⊥CA，PZ⊥AB，由定差冪線定理可得：XC2XB2=PC2PB2，YA2YC2=PA2PC2，ZB2ZA2=PB2PA2，以上三式相加得XC2XB2+YA2YC2+ZB2ZA2=PC2PB2+PA2PC2+PB2PA2=0，所以=0（*）設(shè)DX39。與EY39。C2Y39。B2Z39。、FZ39。求證：△ABD是等邊三角形. 證明：設(shè)∠DAB=α.在?ABD中，在AB邊上用分角定理可得：BEEA=BDsin∠BDEADsin∠15176。=sin?(2α+15176。)sin?(90176。)所以sin?(2α+15176。)解得α=60176。＝1222。. 設(shè)AB＝c，BC＝a，CA＝b，則＝222。AD＝b＝AC. 故證. 20. 如圖，四邊形ABCD中，AB與CD所在直線交于點(diǎn)E，AD與BC所在直線交于點(diǎn)F，BD與EF所在直線交于點(diǎn)H，AC與EF所在直線交于點(diǎn)G. 求證：.【解析】考慮被直線HBD截，應(yīng)用梅涅勞斯定理可知 ①考慮被直線BCF截，同理可得 ②考慮被直線ECD截，同理可得 ③②③247。＝1，即λ1＝1，即λ2QB39。與B39。Q、BA與QC 39。. 從而，點(diǎn)A、N、F、P、E、M都在以AP為直徑的圓上. 于是，對(duì)于圓內(nèi)接六邊形AFNPME，它的三組對(duì)邊AF與PM、FN與ME、NP與EA的交點(diǎn)分別為B、Q、C. 由帕斯卡定理可知，B、Q、C三點(diǎn)共線. 則點(diǎn)Q在直線BC上. 故ME、NF、BC三線共點(diǎn). 四、三角形五心 三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心簡(jiǎn)稱為三角形的內(nèi)心. 性質(zhì)1：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn). 性質(zhì)2：設(shè)I為內(nèi)一點(diǎn)，AI所在直線交的外接圓于D，I為內(nèi)心的充要條件是：ID=DB=DC（雞爪定理）【證明】如圖，必要性：連BI，由知ID=BD=DC充分性：由DB=DC，即知AD平分由DI=DB，有即，而從而，即BI平分故I為的內(nèi)心. 性質(zhì)3：設(shè)I為內(nèi)一點(diǎn)，I的內(nèi)心的充要條件是：的外心均在的外接圓上. 32. 已知，如圖I為的內(nèi)心，過(guò)I的BC的垂線交的外接圓于P、Q，PA、QA交BC于E、F，求證：A，I，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.【析】如圖，連結(jié)AI并延長(zhǎng)交外接圓于S，交BC邊于K，連結(jié)SP并延長(zhǎng)與BC所在直線交于點(diǎn)J，連結(jié)AJ，IJ，IE，由性質(zhì)2可知SC=SI=SB，因?yàn)椋?那么易知~，所以且，所以A，K，P，J四點(diǎn)共圓.又因?yàn)閪，又因?yàn)?，所?，所以E為的垂心，則所以A，I，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.33. 已知：如圖，O，I分別為的外心和內(nèi)心，點(diǎn)為點(diǎn)B關(guān)于OI的對(duì)稱點(diǎn). 求證：過(guò)點(diǎn)作外接圓的切線，交點(diǎn)在AC上. 【析】設(shè)為外接圓圓心，則在OI上，延長(zhǎng)BI交圓O于M，設(shè)交AC于E，由例1知所以，四點(diǎn)共圓，注意到，~，于是設(shè)過(guò)點(diǎn)I，的圓切線交點(diǎn)為D，則四點(diǎn)共圓，從而五點(diǎn)共圓. 從而所以，D在EC上. 34. 已知圓內(nèi)切圓O于點(diǎn)D，A為大圓O上任意一點(diǎn)，圓O的弦AB，AC分別切圓于點(diǎn)E，F(xiàn)，EF交于點(diǎn)I，求證：I為的內(nèi)心. 【析】延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)M，設(shè)，圓的半徑依次為R，r，由性質(zhì)2（雞爪定理）知，只要證明即可. 由圓冪定理知：整理得 三角形的外心三角形的外接圓的圓心簡(jiǎn)稱為三角形的外心. 性質(zhì)1：三角形的外心是三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn). 性質(zhì)2：三角形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)是其外心的充要條件是：該點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等性質(zhì)3：設(shè)O為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則O為的外心的充要條件是下述條件之一成立：（1）（2）35. 設(shè)O為的外心，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交的外接圓于D，BC的延長(zhǎng)線與過(guò)D點(diǎn)的⊙O的切線l交于P，直線PO交AB于N，交AC于M，求證：OM=ON.【析】過(guò)B作PO平行線交AD于F，交AC于G，作于E，則O，E，P，D四點(diǎn)共圓. 四點(diǎn)共圓，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，所以F為BG中點(diǎn)，所以O(shè)為MN中點(diǎn). 36. 設(shè)的外接圓O上的劣弧的中點(diǎn)為K，優(yōu)弧的中點(diǎn)為S，線段AK與BC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的外心. 求證：A，E，O，F(xiàn)，S五點(diǎn)共圓.【析】如圖，由題意知S，O，K 三點(diǎn)共線，下面證明S，E，C三點(diǎn)共線. 易知，所以S，E，C三點(diǎn)共線，同理S，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線. 設(shè)，那么由F是的外心可知在中，在中，所以所以所以結(jié)論得證. 37. 過(guò)B，C作的外接圓的切線交于D，、關(guān)于AC對(duì)稱，、關(guān)于AB對(duì)稱，O是的外心，求證：.【析】不妨設(shè)，同理可得 所以又因?yàn)镈B=DC且 所以，所以所以~取的外心F，則~由于所以~且所以~，所以所以AO//DF，而，所以. 三角形的重心三角形三條中線的交點(diǎn)稱為三角形的重心. 性質(zhì)1：設(shè)G是的重心，連AG并延長(zhǎng)交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，AG:GD=2:1且性質(zhì)2：設(shè)G為的重心，P為內(nèi)任一點(diǎn)，則（1）（2）證明：（1）設(shè)D為BC邊上的中點(diǎn)，則對(duì)和分別應(yīng)用余弦定理可得，而，于是，又因?yàn)镻D，DG分別是的BC邊，的BC邊上的中線，有，從而（3），此三式相加整理得38. 證明：以銳角三角形各邊為直徑作圓，從相對(duì)的頂點(diǎn)作切線，得到的六個(gè)切點(diǎn)共圓. 【析】如圖，設(shè)的三邊分別為a，b，c，圓O是以BC為直徑的圓，AT切圓O于T點(diǎn). （由AO垂直平分ST可知目標(biāo)圓圓心在AO上，同理其他兩組也在對(duì)應(yīng)中線上，所以探究重心是可行的了）連AO，在AO 上取點(diǎn)G使得AG=2GO，則G為的重心，連結(jié)OT，GT，由及有為定值，同理其他五個(gè)切點(diǎn)到G的距離的平方均為，證畢. 39. 證明：任意三角形的垂心H、重心G和外心O三點(diǎn)共線，且HG=2GO.法1：如圖1，設(shè)M為AB中點(diǎn)，連結(jié)CM，則G在CM上，且CG=2GM，連結(jié)OM，則OM垂直平分AB，延長(zhǎng)OG到，使得，連結(jié)，因?yàn)?，所以～，從而，即，同理，即為垂心，命題得證. 法2：如圖2，作出圓O，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)N，連結(jié)NB，NC，BH，HG，GO，因?yàn)?，所以，同?