變量代換法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-08-20 08:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的題目可以0∞型的問題，如果直接求解十分困難，分母為0難以進(jìn)行求解，若先進(jìn)性變量代換，再進(jìn)行求解，問題就迎刃而解。解：可以令x=1t，原式可以化為：此時(shí)問題就被簡化為模型的問題，分母為0的問題得到了實(shí)際的解決。例3 求解。分析：上式可歸結(jié)為型的問題，很明顯直接通過計(jì)算是無法實(shí)現(xiàn)的，因此可以選擇首先進(jìn)行變量代換，然后再進(jìn)行計(jì)算。解：可以令ax1=t，則原式可以變化為：=lna例4 求解。分析：這種類型的題目是作為無理根式的極限代表，類型與上一題類似，但是是一個(gè)根式問題，直接通過極限運(yùn)算無法實(shí)現(xiàn)，需要經(jīng)過變量代換。解：首先可以令=t，將原式轉(zhuǎn)化為：再將分母化簡，即可以得到：=1/2例5 求解。分析：這是一類求解多元函數(shù)的極限問題，因此常規(guī)方法無法實(shí)現(xiàn)，利用變量代換可以起到事半功倍的效果。解：首先可以令=t，那么原式可以化為=0所謂變量代換法在求積分當(dāng)中的應(yīng)用,包括了將變量代換法在進(jìn)行不定積分的求解過程中的應(yīng)用和將變量代換法在進(jìn)行定積分的求解過程中的應(yīng)用。而將變量代換法在進(jìn)行不定積分的求解過程中的應(yīng)用的過程中需要利用基本的一些積分方面的公式和關(guān)于積分的一些特殊的性質(zhì),在計(jì)算過程中所涉及到的不定積分應(yīng)該是非常有限的,不過如果將運(yùn)算過程中的中間變量運(yùn)變量代換法進(jìn)行一定的代換,就能夠?qū)⒃趶?fù)合函數(shù)運(yùn)算過程中使用的微分法在這里進(jìn)行反過程的運(yùn)用用來求解不定積分,這樣也能夠得到相應(yīng)的解答,這樣的運(yùn)算方法就是換元積分法。換元積分法又分為兩種積分方法,簡稱之為第一類的換元積分法和第二類的換元積分法。在第一類換元積分法中所涉及到的定理公式是: 。也就是將f（x）假設(shè)其為連續(xù)函數(shù)，而其中的u=Φ（x）和當(dāng)然都是存在的并且也是連續(xù)的函數(shù)，而且，這樣才能夠得出上面的公式。而第二類換元積分法所涉及到的公式則是。同樣也是將f（x）假設(shè)其為連續(xù)的函數(shù)，其中和也都是連續(xù)的，而所涉及到的的反函數(shù)是存在的并且是連續(xù)的函數(shù)，然后再加上，這樣才能夠得出上面的公式。而將變量代換法在進(jìn)行定積分的求解過程中的應(yīng)用中則是需要假設(shè)f(x)函數(shù)是在區(qū)間[a,b]之中連續(xù)的,然后在其中用x=Φ(t)來做變量代換法的應(yīng)用,其中的Φ(t)函數(shù)是在封閉的區(qū)間[A,B]之中有著連續(xù)導(dǎo)數(shù)Φ’(t)的一個(gè)函數(shù),而當(dāng)t的取值范圍是在α和β之間并且包括中兩個(gè)數(shù)值的時(shí)候,Φ(t)的取值范圍則是在a和b之間,并且包括了a和b這兩個(gè)數(shù)值,并且Φ(α)=a,Φ(β)=b,在這樣的條件之下才會(huì)得出在使用變量代換法的定積分的運(yùn)算中所需要的。如果不容易計(jì)算出來，而可以看成是，則可以令=u，原式則可以轉(zhuǎn)化為，如果容易計(jì)算，求出積分以后，再將u換回，則問題得到解決。例1 求解。分析：首先仔細(xì)分析可以看出，則可以從這個(gè)方面入手進(jìn)行計(jì)算。解：首先可以令，原式則變成，此時(shí)則很容易計(jì)算出結(jié)果。原式==如果不容易計(jì)算，可以考慮作一變量代換，其中單調(diào)可導(dǎo)，并且連續(xù)，不等于0，則原式可以化為，如果關(guān)于t的積分容易計(jì)算出，那么求出原函數(shù)之后將t換為x的函數(shù)即可。例2 求解。分析：這種類型的題目屬于被積函數(shù)中含有，則可以令=t，就可以消去根式化為關(guān)于t的有理式易于積分。被積分的函數(shù)式含有可以看作是中c=0，d=1的特殊情形。解：為了消除兩個(gè)根式，我們可以令，就可以達(dá)到這個(gè)目的，此時(shí)將原式化為：進(jìn)行完這種轉(zhuǎn)化以后，消除t，則積分過程變?yōu)槌Ｒ?guī)積分過程，積分簡單。例3 求解。分析：如果被積函數(shù)中含有，可以令x=asint或者x=accost，利用三角函數(shù)之間的平方關(guān)系化去二次根式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的積分問題。類似地，如果被積函數(shù)中含有，可以令x=atgt或者x=actgt；如果被積函數(shù)中含有，可以令x=asect或者x=acsct。解：這個(gè)題中含有如上所說的，所以可以令x=asint，原式可以轉(zhuǎn)化為：得到這個(gè)式子以后就可以就變成常規(guī)的三角函數(shù)的積分。如果被積函數(shù)中含有，還可以利用，令x=acht化去根式；如果被積函數(shù)中含有，則令x=asht，化成容易積分的函數(shù)。例4求解。分析：此題如果令x=acht
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