20xx年8-6橢圓(編輯修改稿)
2025-08-20 04:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 定系數(shù)法． (3)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可設(shè)為 ＝ 1 (m＞ 0， n＞ 0)，可避免討論和繁雜的計(jì)算，也可設(shè)為 Ax2＋ By2＝ 1 (A＞ 0， B＞ 0)，這種形式在解題中較為方便． 【 例 2】 橢圓 C： ＝ 1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1， F2， 點(diǎn) P在橢圓 C上 ， 且 PF1⊥ F1F2， |PF1|＝ ， |PF2|＝ . (1)求橢圓 C的方程； (2)若直線 l過圓 x2＋ y2＋ 4x－ 2y＝ 0的圓心 M， 交橢圓 C于 A， B且 A， B 關(guān)于點(diǎn) M對(duì)稱 ， 求直線 l的方程 ． 解答： (1)因?yàn)辄c(diǎn) P在橢圓 C上 ， 所以 2a＝ |PF1|＋ |PF2|＝ 6， a＝ 3. 在 Rt△ PF1F2中 ， |F1F2|＝ ， 故橢圓的半 焦距 c＝ ， 從而 b2＝ a2－ c2＝ C的方程為 ＝ 1. (2)設(shè) A， B的坐標(biāo)分別為 (x1， y1)， (x2， y2)． 已知圓的方程為 (x＋ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 5， 所以圓心 M 的坐標(biāo)為 (－ 2,1)． 從而可設(shè)直線 l 的方程為 y＝ k(x＋ 2)＋ 1. 代入橢圓 C的方程得 (4＋ 9k2)x2＋ (36k2＋ 18k)x＋ 36k2＋ 36k－ 27＝ 0. 因?yàn)?A， B關(guān)于點(diǎn) M對(duì)稱 ， 所以 ＝ 2， 解得 k＝ ， 所以直線 l 的方程為 y－ 1＝ (x＋ 2)， 即 8x－ 9y＋ 25＝ 0. (經(jīng)檢驗(yàn) ， 所求直線方程符合題意 ) 變式 知在平面直角坐標(biāo)系 xOy中的一個(gè)橢圓 ， 它的中心在 原點(diǎn) ， 左焦點(diǎn)為 F1(－ ， 0)， 且右頂點(diǎn)為 D(2,0)． 設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 (1， )． (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若 P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn) ， 求線段 PA中點(diǎn) M的軌跡方程； (3)過原點(diǎn) O的直線交橢圓于點(diǎn) B、 C， 求 △ ABC面積的最大值 ． 解答： (1)∵ a＝ 2， c＝ ， ∴ b＝ ＝ 1. ∴ 橢 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ＋ y2＝ 1. (2)設(shè) P(x0， y0)， M(x， y)， 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式： ∴ 又 ∵ ＝ 1， ∴ ＝ 1， 即為中點(diǎn) M的軌跡方程 ． (3)設(shè) C(x1， y1)， B(x2， y2)， 直線方程為 y＝ kx與橢圓方程 x2＋ 4y2＝ 4聯(lián)立得 ， x2＝ ， ∴ |CB|＝ |x1－ x2|＝ 又 A點(diǎn)到直線 y＝ kx的距離 d＝ ， 于是 S△ ABC＝ |CB|d ＝ ∵ S2＝ ＝ 1－ 當(dāng) k＝ 0時(shí) ， S2＝ 1；當(dāng) k0時(shí) ， S21； 當(dāng) k0時(shí) ， S2＝ 1＋ ＝ 2， 當(dāng)且僅當(dāng) 4(－ k)＝
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