32整環(huán)-除環(huán)-域(編輯修改稿)
2024-08-19 17:05 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 否則稱(chēng)為 無(wú)限域 ： |R|= ∞ 例 2．（ Q,+, ? ）（ R,+, ? ）（ C,+, ? ）都是域，但是（ Z，+， ? ）不是域。因?yàn)?Z＊ 中關(guān)于乘法不構(gòu)成群： a∈ Z＊ 的逆元 a1不一定存在， 如 a=3，則 a1= 31?Z＊ 。 Th （ R,+,?）是一個(gè)環(huán)，且有單位 e，若a∈ R* 關(guān)于乘法有逆元，則 a不是零因子，從而除環(huán)沒(méi)有零因子， 域是整環(huán) 。 證明： ① 設(shè) ab=0，則 a1(ab)=a10=0, a1(ab)= (a1a)b = e b= b， 從而 b=，若 ba=0，則可推得 b=0，從而 a不是零因子。 ② 因?yàn)槌h(huán)中每一個(gè) a≠0可逆，由①知 除環(huán)沒(méi)有零因子 。 ③ 因?yàn)橛蚴浅h(huán)，故域沒(méi)有零因子；又域是有單位元 e≠0的可換環(huán)，故域是整環(huán)。 1 2 1 2, 1 , 1 ,n n n n n? ? ?1 2 1 20 , 0 , 0 ,n n n n? ? ? ?且12nn，*/ ( ) { 0 } , ,pZ p k Z? ? ?11,a k k a???得 所 以*/ ( ) ,k Z p?? k *( , )pZ ?/( )Zp 例 3． 剩余類(lèi)環(huán)（ Z/（ n）， +， ?），當(dāng) n不是素?cái)?shù)時(shí)，Z/（ n） 中有零因子，因?yàn)? 則有 所以 是零因子。但是當(dāng) n是素?cái)?shù)時(shí)， Z/（ n） 是域。設(shè) n=p是素?cái)?shù) ,則 由于
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