高中數(shù)學求函數(shù)值域的7類題型和16種方法(編輯修改稿)
2024-08-19 11:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位正方形。設HK=,則EK=2,KF=2,AK=,KC=?！ ∮扇切稳呹P系知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共線時取等號?！嘣瘮?shù)的知域為｛y|y≥5｝。例3．求函數(shù)的值域。解析：令，則，，原問題轉(zhuǎn)化為：當直線與圓在直角坐標系的第一象限有公共點時，求直線的截距的取值范圍。由圖1知：當經(jīng)過點時，；當直線與圓相切時。所以，值域為例4. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點到點的距離之差。即由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有綜上所述，可知函數(shù)的值域為注：求兩距離之和時，通常需要將函數(shù)式變形，使A、B兩點在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，則要使A，B兩點在x軸的同側(cè)。（12）復合函數(shù)法：對函數(shù)，先求的值域充當?shù)亩x域，從而求出的值域的方法。例求函數(shù) 的值域（復合函數(shù)法）設 ，則 例2：求函數(shù)的值域。 （13）“平方開方法” 求函數(shù)值域的方法有很多種，如：“配方法”、“單調(diào)性法”、“換元法”、“判別式法”以及“平方開方法”“平方開方法”的函數(shù)有哪些共同的特征以及“平方開方法”的運算步驟，并給出四道典型的例題.設（）是待求值域的函數(shù)，若它能采用“平方開方法”，則它通常具有如下三個特征：（1）的值總是非負，即對于任意的，恒成立；（2）具有兩個函數(shù)加和的形式，即（）；（3）的平方可以寫成一個常數(shù)與一個新函數(shù)加和的形式，即（，為常數(shù)），其中，新函數(shù)（）的值域比較容易求得. 若函數(shù)（）具備了上述的三個特征，則可以將先平方、再開方，從而得到（，為常數(shù)）.然后，則顯然.能夠應用“平方開方法”求值域的函數(shù)不勝枚舉,這里僅以其中四道典型的例題來演示此法在解決具體問題時的技巧. 例1 求函數(shù)（，）的值域.解：首先，當時，；其次，是函數(shù)與的和；最后， 可見，函數(shù)滿足了采用“平方開方法”，對平方、開方得（）.這里，（）.對根號下面的二次函數(shù)采用“配方法”，的值域為.例2 求函數(shù)（，）的值域.解：顯然，該題就是例1的推廣，且此題的也滿足了采用“平方開方法”，對平方、開方得（）.這里，（）.對根號下面的二次函數(shù)采用“配方法”，的值域也仍為.例3 求函數(shù)（）的值域.解：參照例1的驗證步驟，顯然，此題的也滿足了采用“平方開方法”，對平方、開方得（）.這里，（）.易知，的值域為.例4 求函數(shù)（）的值域.解：參照例1的驗證步驟，顯然，此題的也滿足了采用“平方開方法”，對平方、開方得（）.這里，（）.易知，的值域為.例5 求函數(shù) 的值域解：（平方法）函數(shù)定義域為： 平方法）函數(shù)定義域為： （14）其他方法其實，求解函數(shù)值域的方法，只不過是從解題過程中，對關鍵環(huán)節(jié)或典型步驟的一種稱呼。實際上，其解法也遠非上面總結(jié)的16種方法，還有倒數(shù)法等。此外我們還要明白：多種方法的配合使用，以及一題采用多種方法，在不斷積累過程中，體會不同方法的長短，和練就根據(jù)實際問題選擇較為簡捷方法的能力。例1. 求函數(shù)的值域。解：令，則（1）當時，當且僅當t=1，即時取等號，所以（2）當t=0時，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域為：注：先換元，后用不等式法例2. 求函數(shù)的值域。解：令，則∴當時，當時，此時都存在，故函數(shù)的值域為注：此題先用換元法，后用配方法，然后再運用的有界性。 的值域解：（圖象法）如圖，值域為 的值域解（復合函數(shù)法）：令，則由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，原函數(shù)的值域為解（三角代換法）： 設 小結(jié)：（1）若題目中含有，則可設 （2）若題目中含有則可設，其中（3）若題目中含有，則可設，其中（4）若題目中含有，則可設，其中（5）若題目中含有，則可設。其中例求函數(shù) 的值域解法一：（逆求法） 解法二：（復合函數(shù)法）設 ，則 解法三：（判別式法）原函數(shù)可化為 1） 時 不成立2） 時，綜合1）、2）值域解法四：（三角代換法）設，則 原函數(shù)的值域為小結(jié)：已知分式函數(shù) ，如果在其自然定義域內(nèi)可采用判別式法求值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為的形式，采用部分分式法，進而用基本不等式法求出函數(shù)的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條件，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的單調(diào)性去解。注：此題先用換元法，后用配方法，然后再運用的有界性。總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。五、與函數(shù)值域有關的綜合題例1設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為λ(λ1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最??？如果要求λ∈［］，那么λ為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最??？解 設畫面高為x cm,寬為λx cm,則λx2=4840,設紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,將x=代入上式得 S=5000+44 (8+),當8=,即λ=1)時S取得最小值 此時高
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