【文章內(nèi)容簡介】 dY taYdt X t a X t E X tmtadtY R Y tmtm t edtamRt????? ? ?????????????? ? ??????????例：給定微分方程定解問題： 為常數(shù)， 為平穩(wěn)隨機(jī)過程， 試分析 的統(tǒng)計 關(guān)于均值的定解問題： 解為： 關(guān)于相關(guān)函數(shù)的定解問題： 特性 ? ?? ?2 2 1221 2 1 221121 2 Y 1 2122()121,)( , ) , ( )( , 0) 0( , )( , ) ,( 0 , ) 0 ( , ) ( 1 )(,XY XnXYYYXnYat a t tXYYtaR t t R t ttRtR t taR t t R t ttRtR t t e eaRt? ? ? ???? ? ??? ? ? ?????????????????? ? ? 聯(lián)立可解得：211 2 2 12( ) ( 1 )22) ( 1 ) ( 1 )2atat at a t t et e e eaa?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 沖激響應(yīng)分析方法 ? ? ? ?XYYXYXXn E Y( t ) E [ h ( ) X ( t ) d ] h ( ) E X ( t ) d m h ( ) d mm m m h ( ) dm m h ( n )? ? ? ? ? ? ? ?????????? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??????? ? ?隨 機(jī) 信 號 輸 入 、 輸 出 均 值 間 的 關(guān) 系 ： 即 ： （ 可 以 是 時 間 的 函 數(shù) ， 因 上 述 積 分 與 t 無 關(guān) ）對 隨 機(jī) 數(shù) 字 序 列 而 言 : 稱 “ ” 均 值 定 理 ? ?? ?XYY1 1 1 2 2 21 2 1 2 1 2X ( t ) m m R ( t ,t ) E Y ( t ) Y ( t )E ( ) ( ) d ( ) ( ) d( ) ( ) ( ) ( ) d dh X t h X tE X t X t h h??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?????（ 若 平 穩(wěn) 、 與 時 間 無 關(guān) ， 則 亦 與 時 間 無 關(guān) ）自 相 關(guān) 函 數(shù) 間 的 關(guān) 系 ： 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) d d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y X X hXRR R h h R Rhh? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???????? ? ??? 即 ： 線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)信號的統(tǒng)計特性 X 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R ( t , t ) E [ X ( t ) X)()(tY X X hY X X hR R h h R RR m R m h m h m R m R m? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???自 相 關(guān) 函 數(shù) 間 的 關(guān) 系 ：稱 為 “ ”推 導(dǎo) 中 注 意 其 中 對 于 隨 機(jī) 信 號 、 確 定 性 信 號 之 間 求 相 關(guān) 時 所 用 方 式 的 不 同 ：對 于 隨 機(jī) 信 號 ： 相 關(guān) 卷 積 定 理1 2 1 2 1 2 1 2hh ( t ) h ( t ) h ( ) h ( )) ] ( , 。 , ) R ( ) h ( ) h ( ) h ( ) h ( ) tdx x p x x t t d x dxt t dt? ? ?? ? ? ??????? ? ? ????? ? ??? ? ? ? ?????注 ： 卷 積 運 算 定 義 ：對 于 確 定 信 號 （ 系 統(tǒng) 沖 激 響 應(yīng) 是 確 定 函 數(shù) ） ： 例：求白噪聲輸入線性系統(tǒng)時，系統(tǒng)輸出信號的均方值 2 021 2 1 2 1 221 2 1 2 2221( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( 0)( ) ( ) ( ) ( )( 0) ( ) ( ) ( )( 0) (XWYXYXYWWYNRRE Y t RR R h h d dR R h h d dRh? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??????? ???????? ? ?????此 前 曾 討 論 過 ， 白 噪 聲 的 自 相 關(guān) 函 數(shù) 為 ： 線 性 系 統(tǒng) 輸 出 的 均 方 值 為 ： 2) d ?????線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)信號的統(tǒng)計特性 ? ?? ?XY R ( t ,t ) E X ( t ) Y ( t ) E ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d( ) ( ) ( ) d ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X Y X XY X X Y XX t h X tE X t X t hR R h R hR R h R R h h? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????????????? ? ? ? ? ?????? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????輸入輸出互相關(guān)函數(shù)間的關(guān)系：即： 同理， ，將此代入： 后( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X Y XYXYYYXR R hR R hR R h?? ? ?? ? ????????????輸入輸出互得到： 稱： 為“ ” 相關(guān)定理 輸入輸出互相關(guān)定理示意 YYXX( ) ( ) ( ) ( m ) ( m ) ( m )( ) ( ) ( ) ( m ) ( m ) ( m ) ( ) ( ) ( ) ( m ) ( m ) ( m )( ) ( ) ( ) ( m ) ( m ) ( m )Y X Y XY Y X Y Y XX Y X X Y XY X Y XR R h R R hR R h R R hR R h R R hR R h R R h? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ???輸入輸出互相關(guān)定理: RXY(τ) RYX(τ) RY(τ) RX(τ) h(τ) h(τ) h(τ) h(τ) Y(t) h(t) X(t) 確定性信號的激勵響應(yīng)關(guān)系示意： 隨機(jī)信號相關(guān)函數(shù)間關(guān)系示意： 例：求白噪聲輸入線性系統(tǒng)時，系統(tǒng)輸入輸出信號的互相關(guān) 2 0X W W222W 2 22WWXW2X( ) ( ) ( ) ( )2( 0) ( ) d( ) ( ) ( ) d ( )()( ) d()()YYXYNRRRhRRhR h h h? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???????? ? ? ???? ? ? ??????? ? ? ? ? ?????當(dāng)線性時不變系統(tǒng)輸入白噪聲時：白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為： 線性系統(tǒng)輸出的均方值： 線性系統(tǒng)輸入、輸出的互相關(guān)函數(shù)： 、X2W1( ) ( )YhR???? 線性系統(tǒng)輸出的功率譜密度 2YX( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(() )Y X h XYXY Y XXY XY X XYXXR R R R h hR R hR R hR R hR R hS S H S H H S? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ??????? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ??對于相關(guān) 卷積定理：考慮其頻域特征(作傅里葉變換)對連續(xù)有：系統(tǒng)：) YX( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )YXY Y XXY XYXHHS S HS S HS S HS S H? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ??????????? ? ? ?? 線性系統(tǒng)輸出的功率譜密度 YX2j j j j j( m ) ( m ) ( m ) ( m ) ( m ) ( m )( m ) ( m ) ( m ) ( m ) ( m ) ( m )( m ) ( m ) ( m )( m ) ( m( e ) ( e ) ( e ) () ( mee)) ( )YY X h XYXYYXYYXXXXXSR R R R h hR R hR R hR R hS H ShHRR? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ??????????? ? ? ?? ? ? ???對于離散系其頻域特征(作 傅里葉變換)： 統(tǒng),相 關(guān) 卷 積定 理： ? ?jj1zej j jYj j jj j jj j jX( e ) : ( z ) ( z ) ( z )( e ) ( e ) ( e )( e ) ( e ) ( e )( e ) ( e ) ( e )( e ) ( e ) ( e )XYXY Y XX Y XYXH S H HS S HS S HS S HS S H??? ? ?? ? ?? ? ?? ? ????????? ? ???????????????????注 線性系統(tǒng)輸出的功率譜密度 0000( 0 ) ( ) ( ) l im ( ) ( 0 ) ( ) l im ( ) ( ) ()YXjjnYXjYXm m Hm m h dh d H H h n H ememHHe?????? ?