第五章代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-08-16 21:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (2)若 y?x＝ z?x且 x不是零元 ,則 y＝ z 就稱運(yùn)算 ?滿足 消去律 整數(shù)集合上加法 ,乘法 ?冪集 P(S)上 ∪ 運(yùn)算 ?∩運(yùn)算滿足 消去律嗎 ? ?運(yùn)算滿足 消去律嗎 ? A,*是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng) ,*是 A上的一個(gè)二元運(yùn)算，那么該運(yùn)算的有些性質(zhì)可以從運(yùn)算表中直接看出。即： *具有封閉性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表中每個(gè)元素都 屬于 A。 *具有可交換性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表關(guān)于主對(duì)角線是對(duì)稱的。 *具有等冪性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表的主對(duì)角線上每一個(gè)元素與它所在行（列）的表頭元素相同。 *有零元，當(dāng)且僅當(dāng)該元素所對(duì)應(yīng)的行和列中的元素都與該元素相同。 5. A中關(guān)于 *有幺元，當(dāng)且僅當(dāng)該元素所對(duì)應(yīng)的行和列依次與運(yùn)算表的行和列相一致。 A中有幺元， a和 b互逆，當(dāng)且僅當(dāng)位于 a所在行， b所在列的元素以及 b所在行， a所在列的元素都是幺元。 設(shè) ∑是字母的有窮集 ,稱為 字母表 , ∑中的有限個(gè)字母組成的序列稱為 ∑上的 串 .對(duì)任何串 ω,串中字母的個(gè)數(shù)叫做 串的長(zhǎng)度 ,記作 |ω|.長(zhǎng)度是0的串叫做 空串 .記作 k,令 ∑k= 特別有 : 12{ | , 1 , 2 , , }kji i i iv v v v j k???012* 0 1{ } ,??????? ? ?? ? ?規(guī)定 ∑*上的二元運(yùn)算 ?如下 :對(duì)任意 ω ,?∈ ∑*,ω＝ a1a2…a m, ? =b1b2…b n ω??＝ a1a2…a m b1b2…b n, 運(yùn)算 ?把串 ?接在串 ω的后面 ,稱之為 連接運(yùn)算 .它是 Σ*上的二元運(yùn)算 . 對(duì)任意 ω,?, γ ∈ ∑*有 (ω?? ) ?γ＝ ω?(??γ ), 即連接運(yùn)算滿足 結(jié)合律 ,但 不滿是交換律 .它的幺元是空串 λ. Σ*上的一元運(yùn)算 — 求一個(gè)串的反串 ,記作 ′.對(duì)于任意 ω ∈ ∑*,ω＝ a1a2…a n,有 ω’=an … a 2a1 對(duì)任意串 ω∈ ∑*,如果 ω＝ ω′,則稱該串是一個(gè) 回文 . 例如 ,1,100001,10101都是 {0,1}*上的回文 . 對(duì)給定的 Σ,Σ*的任何子集都稱為 Σ上的一個(gè) 語(yǔ)言 ,記作L,L ? Σ *.因?yàn)?P(∑*)是 Σ*的所有子集的集合 ,它恰好表示了 Σ上所有語(yǔ)言的集合 .例如 ,∑＝ {0,1},那么 都是 ∑上的語(yǔ)言 ,其中 L3是 回文語(yǔ)言 , 如果對(duì)于某個(gè) L∈ P(∑*)有 L’＝ L,則稱 L為 ∑上的 鏡象語(yǔ)言 ,易見回文語(yǔ)言一定是鏡象語(yǔ)言 ,但鏡象語(yǔ)言不一定是回文語(yǔ)言 ,例如 ,語(yǔ)言 {01,10}是鏡象語(yǔ)言但不是回文語(yǔ)言 . 39。{ 0 1 | }, { 1 0 | }n n n nL n N L n N? ? ? ?則 代數(shù)系統(tǒng)及其子代數(shù)和積代數(shù) 定義 非空集合 S和 S上的 k個(gè)運(yùn)算f1,f2,…,f k(其中 fi為 ni元運(yùn)算 ,i=1,2,…,k) 組成的系統(tǒng)稱為一個(gè) 代數(shù)系統(tǒng) ,簡(jiǎn)稱 代數(shù) ,記作 S, f1,f2,…,f k . 例如 ,N,＋ ,Z,＋ , ,R,＋ , ,都是代數(shù)系統(tǒng) ,其中＋為普通加法 ,為普通乘法 ,Mn(R),＋ ,是代數(shù)系統(tǒng) ,其中＋和 分別表示矩陣加法和矩陣乘法 . P(S),?,?,~也是代數(shù)系統(tǒng) ,它包含兩個(gè)二元運(yùn)算和一個(gè)一元運(yùn)算 . Zn, ?,?是代數(shù)系統(tǒng)，其中 代數(shù)常數(shù) 二元運(yùn)算的幺元或零元 ,對(duì)系統(tǒng)性質(zhì)起著重要的作用 ,稱之為系統(tǒng)的 特異元素 ,或 代數(shù)常數(shù) . , , 0( ) , , , ~ , ,ZP S S? ? ?? ? ?子代數(shù)系統(tǒng)、子代數(shù) 定義 設(shè) V= S, f1,f2,…,f k 是代數(shù)系統(tǒng) ,B?S且 B≠?,如果 B對(duì) f1,f2,…,f k都是封閉的 ,且 B和 S含有相同的代數(shù)常數(shù) ,則稱 B, f1,f2,…,f k 是 V的 子代數(shù)系統(tǒng) ,簡(jiǎn)稱 子代數(shù) . 例如 .N,＋ ,0是 Z,＋ ,0的子代數(shù) ,因?yàn)?N對(duì)加法封閉 ,且它們都具有相同的代數(shù)常數(shù) 0. N{0},＋ 不是 Z,＋ ,0的子代數(shù) .因?yàn)榇鷶?shù)常數(shù) 0不出現(xiàn)在 N{0}中 . 平凡的子代數(shù)、真子代數(shù) 對(duì)任何代數(shù)系統(tǒng) V= S, f1,f2,…,f k ,其子代數(shù)定存在 . 最大的子代數(shù) 就是 V本身 . 如果令 V中所有的代數(shù)常數(shù)構(gòu)成的集合是 B,且 B對(duì) V中所有的運(yùn)算都是封閉的 ,那么 , B就構(gòu)成了 V的 最小的子代數(shù) . 這種最大與最小的子代數(shù)稱為 V的 平凡的子代數(shù) ． 如果 V的子代數(shù) V’= B, f1,f2,…,f k 滿足 B?S,則稱 V’是 V的 真子代數(shù) . 例 設(shè) V = Z,＋ ,0 ,令 , nZ={nz|z?Z} n為自然數(shù)
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