第五章代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)(文件)
【正文】 ,那么∑*={an|n∈ N}．這時 ?是雙射的 ,就是 V1到 V2的同構(gòu)了 . 一般的代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài) 定義 系統(tǒng)中去 . 設(shè) V1=S1 ,?,*, V2= S2,?’,*’是代數(shù)系統(tǒng) ,其中 ?,*, ?’ , *’ 都是二元運算．如果 ? : S1 → S 2滿足以下條件 :?x,y? S1有 (1) ? (x?y)= ?(x)?’ ?(y), (2) ? (x*y)= ? (x)* ’ ? (y), 則稱 ?是 V1到 V2的 同態(tài)映射 ,簡稱 同態(tài) ． 例如 , V1= Z,＋ ,分別表示整數(shù)加法和矩陣乘法 ,那么 V1 V2是 V1 V2 =Z M3(R) , ? . 對任意的 1 1 2 2 31 1 2 2 1 2 1 2, , , ( ), , ,z M z M Z M Rz M z M z z M M? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?如果原來的兩個代數(shù)系統(tǒng)分別含有代數(shù)常數(shù) ,比如說 V1的代數(shù)常數(shù)為 a1 , V2的代數(shù)常數(shù)為 a2 ,a1 , a2就是積代數(shù) V1 V2中的代數(shù)常數(shù)．例如 , V1=Z,+,0,V2= 那么積代數(shù) V1 V2 的代數(shù)常數(shù)就是 這時有 V1 V2 = 3個代數(shù)系統(tǒng)的積代數(shù) : 例如 ,V=Z,+,0,那么有 V V V = Z Z Z ,*,0,0,0 并且對任意的 x1,y1,z1,x2,y2,z2? Z Z Z有 x1, y1, z1*x2, y2, z2= x1+x2, y1+y2,z1+z2 如果 V1和 V2中的二元運算都是可交換的 (可結(jié)合的或冪等的 ),則積代數(shù)中相應(yīng)的二元運算 也是可交換的 (可結(jié)合的或冪等的 )． 如果 e1,e2分別為 V1和 V2的幺元 ,那么 e1, e2就是積代數(shù) V1 V2的 幺元 . 如果 x1在 V1中的逆元為 x11,x2在 V2中的逆元為 x21 ,那么在積代數(shù) V1 V2中 ,x1,x2的逆元就是 x11, x21. 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu) 定義 設(shè) V1=S1, ? ,V2=S2,*是代數(shù)系統(tǒng) , ?和 *是二元運算 ,如果存在映射 : ?:S1→S 2滿足對任意的 x,y? S1有 ?(x ? y)=?(x)*?(y), 則稱 ?是 V1到 V2的 同態(tài)映射 ,簡稱 同態(tài) ． 例如 , V1 =Z,＋ , V2 =Zn,?,其中＋為普通加法 ,?為模 n加法 ,即 ?x,y?Zn有 x ? y=(x＋ y)mod n, 這里 Zn={0,1,…,n 1}．令 ? :Z→Z n, ? (x)= (x)mod n, 則 ? 是 V1到 V2的同態(tài) .因為對任意 x,y∈ Z有 ? (x＋ y)=(x＋ y)mod n =(x)mod n ? (y)mod n = ?(x) ? ? (y) 又比如令 ? :R→R ＋ , ?(x)=ex,那么 ?是 R,＋ 到 R＋ ,0?nZ．所以 ,nN是 Z,＋ ,0的子代數(shù) . 當(dāng) n=1時 ,nZ就是 V本身 ,當(dāng) n=0時 ,0Z={0}是 V的最小的子代數(shù) ,而其他的子代數(shù)都是 V的 非平凡的真子代數(shù) . 積代數(shù) 定義 設(shè) V1=S1, ? ,V2=S2,*是代數(shù)系統(tǒng) , ?和 *為二元運算 . V1和 V2的 積代數(shù) V1 V2是含有一個二元運算 ,都是代數(shù)系統(tǒng) ,其中＋為普通加法 , A中有幺元， a和 b互逆，當(dāng)且僅當(dāng)位于 a所在行， b所在列的元素以及 b所在行， a所在列的元素都是幺元。 *具有可交換性，當(dāng)且僅當(dāng)運算表關(guān)于主對角線是對稱的。 左逆元、右逆元、逆元 定義 設(shè) ?為 S上的二元運算 ,e∈ S為運算 176。如果 B?A,則稱該 n元運算是封閉的 . 二元運算及其性質(zhì) 定義 設(shè) S為集合 ,函數(shù) f:S S→S 稱為 S上的一個二元運算 ,簡稱為 二元運算 . f:N N→N, f(x,y) ＝ x＋ y 普通的減法不是自然數(shù)集合上的二元運算 ,因為兩個自然數(shù)相減可能得負數(shù) ,而負數(shù)不屬于 集合 N對減法運算 不封閉 . (1)自然數(shù)集合 N上的乘法是 N上的二元運算 ,但除法不是 . (2)整數(shù)集合 Z上的加法、減法和乘法是 Z上的二元運算 ,而除法不是 . (3)非零實數(shù)集 R*上的乘法和除法都是 R*上的二元運算 ,而加法、減法不是 . (4)設(shè) Mn(R)表示所有 n階實矩陣的集合 (n≥2),即 則矩陣加法和乘法都是 Mn(R)上的二元運算 , (5)S為任意集合 ,則 ∪ ,∩,— ,?為 S的冪集 P(S)上的二元運算 , (6)S為集合
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