第五章代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)-全文預(yù)覽
【正文】 , 是 S上的所有函數(shù)的集合 ,則合成運(yùn)算 .是 上的二元運(yùn)算 . 算 符 通常用 ?,*,?,… 等符號表示二元運(yùn)算， 稱為 算符 . 設(shè) f:S S→S 是 S上的二元運(yùn)算 ,對任意的 x,y∈ S,如 x與 y的運(yùn)算結(jié)果是 z,即 f(x,y)＝ z, 可利用算符 ?簡記為 x?y=z N元運(yùn)算 定義 設(shè) S為集合 ,n為正整數(shù) ,則函數(shù) 稱為 S上的一個(gè) n元運(yùn)算 ,簡稱為 n元運(yùn)算 . 例如 ,求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是實(shí)數(shù)集 R上的 一元運(yùn)算 ,求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是非零實(shí)數(shù)集 R*上的 一元運(yùn)算 ,在冪集合 P(S)上 ,如果規(guī)定全集為 S,那么求集合的絕對補(bǔ)運(yùn)算可以看作是 P(S)上的 一元運(yùn)算 .在空間直角坐標(biāo)系中求某一點(diǎn) (x,y,z)的坐標(biāo)在 x軸上的投影可以看作是實(shí)數(shù)集 R上的 三元運(yùn)算 f(x,y,z)＝ x,因?yàn)閰⒓舆\(yùn)算的是有序的 3個(gè)實(shí)數(shù) ,而結(jié)果也是實(shí)數(shù) . 使用算符表示 n元運(yùn)算 若 f(a1,a2, 對于集合 A，一個(gè)從 An到 B的映射，稱為集合 A上的一個(gè) n元運(yùn)算。,an)=b,則可記為 ?(a1,a2, 既是左幺元 , 又是右幺元 ,則稱 e為 S上關(guān)于運(yùn)算 ?的 幺元 . 誰是幺元 ? 自然數(shù)集合上的加法運(yùn)算的幺元是誰 ? 自然數(shù)集合上的乘法運(yùn)算的幺元是誰 ? 在 Mn(R)上 ,矩陣加法的幺元是誰 ? 在 Mn(R)上 ,矩陣乘法的幺元是誰 ? 在冪集 P(S)上 ,∪ 運(yùn)算的幺元是誰 ? 在冪集 P(S)上 ,∩運(yùn)算的幺元是誰 ? R*是非零實(shí)數(shù)集 ,任意的 a,b?R*有 a?b=a,運(yùn)算?的幺元是誰 ? 左幺元 ,右幺元 ,幺元 定理 設(shè) ?為 S上的二元運(yùn)算 , el,er分別為運(yùn)算 ?的左幺元和右幺元 ,則有 el＝ er＝ e. 且 e為 S上關(guān)于運(yùn)算 ?的唯一的幺元 . 證明 el＝ el ? er, el ? er＝ er 所以 , el=er 把 el＝ er記作 S中存在幺元 e’,則有 e’=e ? e’＝ e 所以 ,e是 S中關(guān)于運(yùn)算 ?的唯一的幺元 , 左零元 ,右零元 ,零元 定義 設(shè) ?為 S上的二元運(yùn)算 ,若存在元素 ?l (或 ?r)∈ S使得對任意的 x∈ S有 ?l ?x＝ ?l (或 x ? ?r＝ ?r) 則稱 ?l (或 ?r )是 S上關(guān)于運(yùn)算 ?的左零元 (或右零元 )若 ?∈ S關(guān)于運(yùn)算 ?既是 左零元 ,又是 右零元 ,則稱 ? 為 S上關(guān)于運(yùn)算 ?的 零元 . 自然數(shù)集 N上普通乘法的零元是誰 ?普通加法零元是誰 ? Mn(R)上矩陣乘法的零元 ?矩陣加法零元 ? 在冪集 P(S)上 ∪ 運(yùn)算的零元是 ?∩運(yùn)算的零元是 ? R*是非零實(shí)數(shù)集 ,任意的 a,b?R*有 a?b=a,運(yùn)算 ?的零元 ? 定理 設(shè) ?為 S上的二元運(yùn)算 , ?l ,?r分別為運(yùn)算 ?的左 零元 和右 零元 ,則有 ?l ＝ ?r ＝ ? 且 ?為 S上關(guān)于運(yùn)算 ?的唯一的 零元 . 定理 :設(shè) A,*是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng) ,且集合 A中元素的個(gè)數(shù)大于 e和零元 θ ,則 θ≠ e. 證明：用反證法，設(shè) θ =e，那么對于任意x?A,必有 x=e*x=θ *x=θ =e 于是， A中所有元素都是相同的，這與 A中含有多個(gè)元素相矛盾。即： *具有封閉性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表中每個(gè)元素都 屬于 A。 5. A中關(guān)于 *有幺元，當(dāng)且僅當(dāng)該元素所對應(yīng)的行和列依次與運(yùn)算表的行和列相一致。,R,＋ , 分別表示矩陣加法和矩陣乘法 . P(S),?,?,~也是代數(shù)系統(tǒng) ,它包含兩個(gè)二元運(yùn)算和一個(gè)一元運(yùn)算 . Zn, ?,?是代數(shù)系統(tǒng)，其中 代數(shù)常數(shù) 二元運(yùn)算的幺元或零元 ,對系統(tǒng)性質(zhì)起著重要的作用 ,稱之為系統(tǒng)的 特異元素 ,或 代數(shù)常數(shù) . , , 0( ) , , , ~ , ,ZP S S? ? ?? ? ?子代數(shù)系統(tǒng)、子代數(shù) 定義 設(shè) V= S, f1,f2,…,f k 是代數(shù)系統(tǒng) ,B?S且 B≠?,如果 B對 f1,f2,…,f k都是封閉的 ,且 B和 S含有相同的代數(shù)常數(shù) ,則稱 B, f1,f2,…,f k 是 V的 子代數(shù)系統(tǒng) ,簡稱 子代數(shù) . 例如 .N,＋ ,0是 Z,＋ ,0的子代數(shù) ,因?yàn)?N對加法封閉 ,且它們都具有相同的代數(shù)常數(shù) 0. N{0},＋ 不是 Z,＋ ,0的子代數(shù) .因?yàn)榇鷶?shù)常數(shù) 0不出現(xiàn)在 N{0}中 . 平凡的子代數(shù)、真子代數(shù) 對任何代數(shù)系統(tǒng) V= S, f1,f2,…,
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