第五章代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)-預(yù)覽頁
【正文】 f k ,其子代數(shù)定存在 . 最大的子代數(shù) 就是 V本身 . 如果令 V中所有的代數(shù)常數(shù)構(gòu)成的集合是 B,且 B對(duì) V中所有的運(yùn)算都是封閉的 ,那么 , B就構(gòu)成了 V的 最小的子代數(shù) . 這種最大與最小的子代數(shù)稱為 V的 平凡的子代數(shù) ． 如果 V的子代數(shù) V’= B, f1,f2,…,f k 滿足 B?S,則稱 V’是 V的 真子代數(shù) . 例 設(shè) V = Z,＋ ,0 ,令 , nZ={nz|z?Z} n為自然數(shù) 那么 ,證明， nZ是 V的子代數(shù) . 證明 : 任取 nZ中的兩個(gè)元素 nz1和 nz2, nz1 ,nz2 ? nz1 ＋ nz2 =n(z1＋ z2 )?nZ, 即 nZ對(duì)＋運(yùn)算是封閉的．并且 0=n x2 , y2 = x1 ? x2 ,y1 * y2 設(shè) V1= Z,＋ ,V2=M3(R), ˙,其中＋和 ?(y) 同態(tài)象、同構(gòu) 定義 設(shè) ?是 V1=S1,?到 V2=S2,*的同態(tài) ,則稱 ? (S1),*是 V1在 ?下的 同態(tài)象 ． 定義 設(shè) ?是 V1=S1,?到 V2=S2,*的同態(tài) ,如果 ?是滿射的 ,則稱 ?為 V1到 V2的 滿同態(tài) ,記作 . 如果 ?是單射的 ,則稱 ?為 V1到 V2的 單同態(tài) .如果 ?是雙射的 ,則稱 ?為 V1到 V2的 同構(gòu) ,記作 例 (1)V=z,＋ ,給定 a∈ z,令 ?a:z→z, ?a(x)=ax, ? x∈ z, 那么易證 ,任取 z1,z2∈ z有 ?a(z1＋ z2)=a(z1＋ z2)=az1＋ az2=?a(z1)＋ ?a(z2), 所以 ? a是 V到自身的同態(tài) ,這時(shí)也稱為 V的自同態(tài) . 當(dāng) a=0時(shí) ,有 ?z∈ Z, ?0(z)=0,稱 ?0為 零 同態(tài) ,其同態(tài)象為 {0},＋ ． 當(dāng) a=1時(shí) ,有 ? z∈ Z, ?1(z)=z為 Z的恒等映射 ,顯然是雙射 ,其同態(tài)象就是 Z,＋ .這時(shí) ?1是 V的自同構(gòu) ．同理可證 ?1也是 V的自同構(gòu) . 當(dāng) a≠177。y)=(xy) mod n =(x) mod n ⊙ (y) mod n = ? (x)⊙ ? (y) 所以 ?是 V1到 V2的同態(tài) ,且是滿同態(tài) . 具有一元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)中的同態(tài) 設(shè) V1=S1 ,?,△ , V2= S2,*,△ ’是代數(shù)系統(tǒng) ,其中 ?,*是二元運(yùn)算 ,△ 和△ ′是一元運(yùn)算 .如果映射 ? : S1 → S 2滿足以下條件 (1)?x,y∈ S1 ,有 ?(x?y)=?(x)*?(y), (2)?x∈ S1 ,有 ? (△ (x))=△ ’(?(x)), 則稱 ?是 V1到 V2的 同態(tài) . 例如 , V1 =R,＋ ,,V2=R＋ ,?(y), ? x∈ R, ?(x)= ex =( ex )1=(?(x))1, 所以 , ? 是 V1到 V2的同態(tài) . 具有代數(shù)常數(shù)的代數(shù)系統(tǒng)之間的同態(tài) 設(shè) V1 = S1 ,?,k1,V2=S2,*, k2 是代數(shù)系統(tǒng) ,其中 ?,*為二元運(yùn)算 , k1 ∈ S1 ,k2∈ S2是代數(shù)常數(shù) .如果 ? : S1 → S 2滿足以下 條件 : (1)?x,y ∈ S1,有 ?(x?y)=?(x)*?(y), (2)?(k1 )= k2 , 則稱 ?是 V1到 V2的 同態(tài) . 例如 , V1 =Z,＋ ,0, V2=Zn,?,0其中＋是普通加法 , ?是模 n加法 ,令 ?:Z→ Z n , ?(x)=(x) mod n , 則有 ? x,y∈ Z, ? (x＋ y)=(x＋ y) mod n =(x) mod n ? (y) mod n =? (x) ? ? (y), ? (0)=(0) mod n =0, 所以 ? 是 V1到 V2的同態(tài) . 設(shè) V1 = S1 ,?,*, , V2= S2,?’,*’是具有兩個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng) , ? 是 V1到 V2的同態(tài) ,?具有以下性質(zhì) . (1)若 ?(或 *)是可交換的 (可結(jié)合的或冪等的 ),則 ?′(或 *′)在 ? ( S1 )中也是可交換的 (可結(jié)合的或冪等的 ). (2)若 ?對(duì) *是可分配的 ,則 ?＇對(duì) *′在 ? (S1)中也是可分配的 . (3)若 ?和 *是可吸收的 ,則 ?′和 *＇在 ? (S1 )中也是可吸收的 . (4)若 e是 S1中關(guān)于 ?運(yùn)算的幺元 ,?是 S1中關(guān)于?運(yùn)算的零元 ,那么 ? (e)和 ? (?)分別是 ? ( S1 )中關(guān)于 ?′運(yùn)算的幺元和零元．對(duì)于 x∈ S1 ,如果 x1是 x的關(guān)于 ?運(yùn)算的逆元 ,則 ? ( x1 )是? (x)關(guān)于 ?′運(yùn)算的逆元 .
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