第三章函數(shù)極限(編輯修改稿)
2025-08-16 16:44 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ???.72?小結(jié) : 為非負(fù)整數(shù)時(shí)有和當(dāng) nmba ,0,0 00 ??????????????????????????,0,l i m00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)??例 5 ).(lim,0,10,1)(02xfxx xxxfx ????????? 求設(shè)yo x1xy ?? 112 ?? xy解 兩個(gè)單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點(diǎn) ,0?x)1(lim)(lim 00 xxf xx ?? ?? ?? ,1?)1(lim)(lim 200 ?? ?? ?? xxf xx ,1?左右極限存在且相等 , .1)(l i m 0 ?? xfx故?例 6 求 ?例 7 求 ?例 8 證明 ??????? xxx1lim0?????? ????? 1311l i m31 xxx).1(,1lim 0 ??? aa xx第三節(jié) 函數(shù)極限存在的條件 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 (海涅定理 ) .)(lim ,lim},{)。(,)(lim)。()(0000000AxfxxxxxxUAxfxUxfnnnnnnxx??????????則有且若數(shù)列任意含于內(nèi)有定義，在??定理 注： 本定理有如下幾點(diǎn)注釋： 1 本定理建立了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，將 函數(shù)極限的存在性轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限的存在性。 2 本定理通常用來(lái)證明函數(shù)極限的不存在性。 證 .)(,0,0,0 0??????????????Axfxx 恒有時(shí)使當(dāng)Axfxx ?? )(l i m0?.0,0,00 ??????????xxNnNn恒有時(shí)使當(dāng)對(duì)上述,)( ??? Axf n從而有 .)(lim Axf nx ???故,lim 00 xxxx nnn ???? 且又 ?例如 , xxy sin?1s i nl i m0?? xxx,11s i nlim ??? nnn,11s i nlim ??? nnn11s i n1l i m 22????? nnnnnxy 1sin?例 1 .1s i nlim0不存在證明 xx ?證 ? ? ,1 ?????? ?? nx n取,0lim ??? nn x 。0?nx且? ? ,2141??????????????nx n取,0lim ???? nn x 。0??nx且?nxnnns inlim1s inlim?????而,1??2 14s inlim1s inlim ???????nx nnn而1lim??? n二者不相等 , .1s inlim0 不存在故 xx ?,0?單調(diào)有界準(zhǔn)則： )。(l i m xfx ???)。(l i m xfx ???)。(l i m0xfxx ??)。(l i m0xfxx ??以上 4種極限有相互對(duì)應(yīng)的單調(diào)有界準(zhǔn)則 。 存在。則右極限上的單調(diào)有界函數(shù)，為定義在設(shè))(lim)。()( 000xfxUxfxx ???定理 Cauchy收斂準(zhǔn)則 ： 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義。 存在的充要條件為： ?????????????|)39。39。()39。(|),。(39。39。,39。,0,0 00xfxfxUxx1 收斂函數(shù)的函數(shù)值在 幾乎“擠”在了一起。 2 通常用 Cauchy收斂準(zhǔn)則證明函數(shù)的極限不存在 。 )(xf )。( 00 ?xU )(lim0xfxx ?)。( 00 ?xU第四節(jié) 兩個(gè)重要極限 AC一 1s i nl i m0?? xxx)20(, ????? xxA O BO 圓心角設(shè)單位圓,t a n,s i n ACxABxBDx ??? 弧于是有xoBD.A C O?，得作單位圓的切線,xO A B 的圓心角為扇形 ,BDO A B 的高為?,t a ns i n xxx ??? ,1s i ncos ?? x xx即.02 也成立上式對(duì)于 ???? x,20 時(shí)當(dāng) ??? xxx c o s11c o s0 ???? 2sin2 2 x? 2)2(2 x? ,22x?,02lim20??xx? ,0)c o s1(lim 0 ??? ? xx,1c o slim 0 ?? ? xx ,11lim 0 ??x?又 .1s i nlim0 ?? ? xxx例 1 .cos1l i m 20 xxx??求解 2202s i n2l i mxxx ??原式 220)2(2s i nlim21xxx ??20)22s i n(l i m21xxx ??2121 ?? .21?二 ex xx ???? )11(l i mnn nx )11( ??設(shè)???????? 21!2 )1(1!11 nnnnn).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn ?????????? ??nnnnnnn 1!)1()1( ????? ?).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(!21111???????????????????????nnnnnnn
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