第三章函數(shù)極限(文件)
【正文】 lim21xxx ??20)22s i n(l i m21xxx ??2121 ?? .21?二 ex xx ???? )11(l i mnn nx )11( ??設(shè)???????? 21!2 )1(1!11 nnnnn).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn ?????????? ??nnnnnnn 1!)1()1( ????? ?).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(!21111???????????????????????nnnnnnnnnnnx n???,1 nn xx ??顯然 ? ? 。1s i nl i m1 0 ?? ?某過(guò)程.)1(l i m210 e??? ?某過(guò)程,為某過(guò)程中的無(wú)窮小設(shè) ?第五節(jié) 無(wú)窮小量和無(wú)窮大量 一、無(wú)窮小量 : 定義 1 如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ? ( 不論它多么小 ), 總存在正數(shù) ? ( 或正數(shù) X ), 使得對(duì)于適合不等式 ? ? ? ? 0 0 x x ( 或 ? x X ) 的一切 x , 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 ) ( x f 都滿(mǎn)足不等式 ? ? ) ( x f , 那末 稱(chēng)函數(shù) ) ( x f 當(dāng) 0 x x （或 ） 時(shí)為無(wú)窮小 , 記作 ). 0 ) ( lim ( 0 ) ( lim 0 ? ? x f x f x x x 或 極限為零的變量稱(chēng)為 無(wú)窮小 量 . ????x??例如 , ,0s i nl i m 0 ?? xx? .0s i n 時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)函數(shù) ?? xx,01lim ??? xx? .1 時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)函數(shù) ??? xx,0)1(l i m ???? nnn? .})1({ 時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)數(shù)列 ???? nnn注意 ,不能與很小的數(shù)混淆 。Xx 22 ?? ?? 時(shí)恒有當(dāng)},X,Xm a x {X 21?取 恒有時(shí)當(dāng) ,Xx ???????? 22 ???? ,??)(0 ??????? x注意 無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小 . 是無(wú)窮小，時(shí)例如 nn 1, ??.11 不是無(wú)窮小之和為個(gè)但 nn定理 3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 證 內(nèi)有界，在設(shè)函數(shù) ),( 100 ?xUu.0,0,0 101MuxxM?????????恒有時(shí)使得當(dāng)則,0 時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)又設(shè) xx ??.0,0,0 202Mxx??????????????恒有時(shí)使得當(dāng)推論 1 在同一過(guò)程中 ,有極限的變量與無(wú)窮小的 乘積是無(wú)窮小 . 推論 2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 推論 3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小 . },m i n { 21 ????取 恒有時(shí)則當(dāng) ,0 0 ???? xx????? uu MM ??? ,??.,0 為無(wú)窮小時(shí)當(dāng) ???? uxxxxxxx1arc t an,1s i n,0, 2時(shí)當(dāng)例如 ?都是無(wú)窮小 二、無(wú)窮小的比較 例如 , xxx 3lim20?xxxsinlim0?2201s i nl i mxxxx ?.1s in,s in,0 22 都是無(wú)窮小時(shí)當(dāng) xxxxxx ?極限不同 , 反映了趨向于零的 “ 快慢 ” 程度不同 . 。),0(lim)2( 是同階的無(wú)窮小與就說(shuō)如果 ?????? CC。 恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大 . 證 .)(lim0??? xfxx設(shè),1)(0,0,0 0?????????????xfxx恒有時(shí)使得當(dāng).)(1 ??xf即.)(1,0 為無(wú)窮小時(shí)當(dāng) xfxx ??.0)(,0)(lim,0??? xfxfxx 且設(shè)反之,1)(0,0,0 0MxfxxM???????????恒有時(shí)使得當(dāng).)(1 Mxf ?從而.)(1,0 為無(wú)窮大時(shí)當(dāng) xfxx ??,0)( ?xf由于意義 關(guān)于無(wú)窮大的討論 ,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論 . 五、小結(jié) 幾點(diǎn)注意 : 無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的 . （ 1） 無(wú)窮小（ 大）是變量 ,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆， 零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)； （ 2） 無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小 . （ 3） 無(wú)界變量未必是無(wú)窮大 . 例 7 .4l i m 22 ?? xx證明證 4)( 2 ??? xAxf?,0??任給,5?? ?取 ,0 0 時(shí)當(dāng) ???? xx4)( 2 ??? xAxf有 ,成立?? 4lim 22 ?? ? xx,22 ??? xx,31 ?? x限制 ,2522 ????? xxx????? 4)( 2xAxf要使,25 ???x只需。,1li m???????記作是等價(jià)的無(wú)窮小與則稱(chēng)如果特殊地.),0,0(l i m)3(無(wú)窮小階的的是就說(shuō)如果 kkCCk???????例 1 解 .ta n4,0: 3 的四階無(wú)窮小為時(shí)當(dāng)證明 xxxx ?430t a n4limxxxx ?30)t a n(li m4 x xx ?? ,4?.ta n4,0 3 的四階無(wú)窮小為時(shí)故當(dāng) xxxx ?例 2 .s int an,0 的階數(shù)關(guān)于求時(shí)當(dāng) xxxx ??解 30s i nt anli mxxxx??? )c os1t an(li m 20 xxxxx???? ,21?.s i nta n 的三階無(wú)窮小為 xxx ??常用等價(jià)無(wú)窮小 : ,0時(shí)當(dāng) ?x,1lim ???? ,0lim ?? ?
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