【正文】 32 要快得多比 xx。(39。()(0000000AxfxxxxxxUAxfxUxfnnnnnnxx??????????則有且若數(shù)列任意含于內(nèi)有定義，在??定理 注： 本定理有如下幾點注釋： 1 本定理建立了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，將 函數(shù)極限的存在性轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限的存在性。 ? 3 以上的定義可以用鄰域的形式簡單給出。(l i m xfx ???)。(l i m xfx ???)。 )(xf )。,1li m???????記作是等價的無窮小與則稱如果特殊地.),0,0(l i m)3(無窮小階的的是就說如果 kkCCk???????例 1 解 .ta n4,0: 3 的四階無窮小為時當證明 xxxx ?430t a n4limxxxx ?30)t a n(li m4 x xx ?? ,4?.ta n4,0 3 的四階無窮小為時故當 xxxx ?例 2 .s int an,0 的階數(shù)關(guān)于求時當 xxxx ??解 30s i nt anli mxxxx??? )c os1t an(li m 20 xxxxx???? ,21?.s i nta n 的三階無窮小為 xxx ??常用等價無窮小 : ,0時當 ?x,1lim ???? ,0lim ?? ???? ),( ????? o即).( ????? o于是有例如 , ),(s in xoxx ??).(211c os 22 xoxx ???.21~c os1,~1,~)1l n(,~ar c t an,~t an,~ar c s i n,~s i n2xxxexxxxxxxxxxx???定理 4(等價無窮小替換定理 ) .limlim,lim~,~ ?????????? ??????? 則存在且設證 ??lim )l i m ( ?? ??? ?? ??? ????? ??? ?? ??? ??? l i ml i ml i m .li m?????例 3 .cos1 2t anl i m20 xxx ??求解 .2~2t an,21~c os1,0 2 xxxxx ?? 時當22021)2(l i mxxx ??原式.8?不能濫用等價無窮小代換 . 對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換 . 注意 例 4 .2s i n s i nt anl i m 30 xxxx??求解 .~s i n,~t a n,0 xxxxx 時當 ?30 )2(l i m xxxx???原式 .0?解 ,0時當 ?x)c o s1(t a ns i nt a n xxxx ??? ,21~ 3x,2~2s i n xx330 )2(21l i mxxx ??原式 .161?錯 ?例 5 .3s in 1c o s5t a nli m0 xxxx???求解 ),(5t a n xoxx ??? ),(33s in xoxx ??).(21c os1 22 xoxx ???)(3)(21)(5li m220 xoxxoxxoxx ??????原式xxoxxoxxxox )(3)(21)(5lim20?????? .35?三、無窮大 定義 2 如果對于任意給定的正數(shù) M ( 不論它多么小 ), 總存在正數(shù) ? ( 或正數(shù) X ), 使得對于適合不等式????00 xx ( 或 ?x X ) 的一切 x , 所對應的函數(shù)值 )( xf 都滿足不等式 Mxf ?)( ,則稱函數(shù) )( xf 當 0xx ? ( 或 ??x ) 時為無窮小 ,記作 ).)(lim()(lim0???????xfxfxxx或絕對值無限增大的變量稱為 無窮大 . 特殊情形：正無窮大，負無窮大． ))(lim()(lim)()( 00????????????xfxfxxxxxx或注意 ,不能與很大的數(shù)混淆 。1s i nl i m1 0 ?? ?某過程.)1(l i m210 e??? ?某過程,為某過程中的無窮小設 ?第五節(jié) 無窮小量和無窮大量 一、無窮小量 : 定義 1 如果對于任意給定的正數(shù) ? ( 不論它多么小 ), 總存在正數(shù) ? ( 或正數(shù) X ), 使得對于適合不等式 ? ? ? ? 0 0 x x ( 或 ? x X ) 的一切 x , 對應的函數(shù)值 ) ( x f 都滿足不等式 ? ? ) ( x f , 那末 稱函數(shù) ) ( x f 當 0 x x （或 ） 時為無窮小 , 記作 ). 0 ) ( lim ( 0 ) ( lim 0 ? ? x f x f x x x 或 極限為零的變量稱為 無窮小 量 . ????x??例如 , ,0s i nl i m 0 ?? xx? .0s i n 時的無窮小是當函數(shù) ?? xx,01lim ??? xx? .1 時的無窮小是當函數(shù) ??? xx,0)1(l i m ???? nnn? .})1({ 時的無窮小是當數(shù)列 ???? nnn注意 ,不能與很小的數(shù)混淆 。()( 000xfxUxfxx ???定理 Cauchy收斂準則 ： 設函數(shù) 在 內(nèi)有定義。 .)(lim )( )()( )。第 三章 函數(shù)極限 本章內(nèi)容 ?函數(shù)極限概念 ?函數(shù)極限的性質(zhì) ?函