【正文】 作是等價的無窮小與則稱如果特殊地.),0,0(l i m)3(無窮小階的的是就說如果 kkCCk???????例 1 解 .ta n4,0: 3 的四階無窮小為時當(dāng)證明 xxxx ?430t a n4limxxxx ?30)t a n(li m4 x xx ?? ,4?.ta n4,0 3 的四階無窮小為時故當(dāng) xxxx ?例 2 .s int an,0 的階數(shù)關(guān)于求時當(dāng) xxxx ??解 30s i nt anli mxxxx??? )c os1t an(li m 20 xxxxx???? ,21?.s i nta n 的三階無窮小為 xxx ??常用等價無窮小 : ,0時當(dāng) ?x,1lim ???? ,0lim ?? ???? ),( ????? o即).( ????? o于是有例如 , ),(s in xoxx ??).(211c os 22 xoxx ???.21~c os1,~1,~)1l n(,~ar c t an,~t an,~ar c s i n,~s i n2xxxexxxxxxxxxxx???定理 4(等價無窮小替換定理 ) .limlim,lim~,~ ?????????? ??????? 則存在且設(shè)證 ??lim )l i m ( ?? ??? ?? ??? ????? ??? ?? ??? ??? l i ml i ml i m .li m?????例 3 .cos1 2t anl i m20 xxx ??求解 .2~2t an,21~c os1,0 2 xxxxx ?? 時當(dāng)22021)2(l i mxxx ??原式.8?不能濫用等價無窮小代換 . 對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換 . 注意 例 4 .2s i n s i nt anl i m 30 xxxx??求解 .~s i n,~t a n,0 xxxxx 時當(dāng) ?30 )2(l i m xxxx???原式 .0?解 ,0時當(dāng) ?x)c o s1(t a ns i nt a n xxxx ??? ,21~ 3x,2~2s i n xx330 )2(21l i mxxx ??原式 .161?錯 ?例 5 .3s in 1c o s5t a nli m0 xxxx???求解 ),(5t a n xoxx ??? ),(33s in xoxx ??).(21c os1 22 xoxx ???)(3)(21)(5li m220 xoxxoxxoxx ??????原式xxoxxoxxxox )(3)(21)(5lim20?????? .35?三、無窮大 定義 2 如果對于任意給定的正數(shù) M ( 不論它多么小 ), 總存在正數(shù) ? ( 或正數(shù) X ), 使得對于適合不等式????00 xx ( 或 ?x X ) 的一切 x , 所對應(yīng)的函數(shù)值 )( xf 都滿足不等式 Mxf ?)( ,則稱函數(shù) )( xf 當(dāng) 0xx ? ( 或 ??x ) 時為無窮小 ,記作 ).)(lim()(lim0???????xfxfxxx或絕對值無限增大的變量稱為 無窮大 . 特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大． ))(lim()(lim)()( 00????????????xfxfxxxxxx或注意 ,不能與很大的數(shù)混淆 。 ).(,)()(.2 0xAxfxxf?? 誤差為附近的近似表達(dá)式在給出了函數(shù) : 定理 2 在同一過程中 ,有限個無窮小的 代數(shù)和仍是無窮小 . 證 ,時的兩個無窮小是當(dāng)及設(shè) ???? x使得,X,X, 000 21 ????? ?。 )(xf )。39。(l i m xfx ???)。)()(lim)2(。(l i m xfx ???)。)()( 任意小表示 AxfAxf ????x0x??0x ??0x??,0 鄰域的去心點 ?x .xx 程度接近體現(xiàn) 0?.xxxx 的過程表示 00 0 ?????:.1 定義定義 ???.)(,0,0,0 0?????????????Axfxx恒有時使當(dāng)定義 2 如果對于任意給定的正數(shù) (不論它多么小 ),總存在正數(shù) ,使得對于適合不等式 的一切 ,對應(yīng)的函數(shù)值 都滿足不等式 , 那末常數(shù) 就叫函數(shù) 當(dāng) 時的極限 ,記作 ?? ???? 00 xxx)(xf??? Axf )(A)(xf0xx ?)()()(l i m 00xxAxfAxfxx ???? 當(dāng)或 : )(xfy ???A??AA??0x ??0x0x??xyo .2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)寬為為中心線線圖形完全落在以直函數(shù)域時鄰的去心在當(dāng)????Ayxfyxx注意： 。 ? 3 以上的定義可以用鄰域的形式簡單給出。(l i m0xfxx ??)。()(0000000AxfxxxxxxUAxfxUxfnnnnnnxx??????????則有且若數(shù)列任意含于內(nèi)有定義，在??定理 注： 本定理有如下幾點注釋： 1 本定理建立了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，將 函數(shù)極限的存在性轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限的存在性。(l i m0xfxx ??以上 4種極限有相互對應(yīng)的單調(diào)有界準(zhǔn)則 。(39。是單調(diào)遞增的n?!1!2111nx n ????? ? 1212111?????? n?1213??? n,3? ? ? 。32 要快得多比 xx