數(shù)學(xué)實驗之五---素數(shù)(編輯修改稿)
2025-08-15 17:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (且只給出素數(shù) )的公式 ? ? Fermat數(shù) 形如 F_n=2^{2^n}+1的數(shù)被稱為 Fermat數(shù)。 Fermat宣稱，對所有的整數(shù) n, F_n永遠(yuǎn)是素數(shù)。 的確 , F_0=3, F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4=65537都是素數(shù)。 但 Euler指出F_5=4294967297=641?6700417 是合數(shù)。 ? 后人驗證出 F_n (n=19)均為合數(shù)。因此有人猜測 F_n(n4)都是合數(shù)。 ? Fermat數(shù) F_n與正多邊形做圖有緊密的聯(lián)系 . 古代數(shù)學(xué)家認(rèn)為，當(dāng) n為大于 6的素數(shù)時，正 n邊形不能用圓規(guī)與直尺做出。但是，在 1796年， 19歲的德國數(shù)學(xué)家Gauss找到了用直尺與圓規(guī)做正 17邊形的方法。這一輝煌的成果轟動了整個數(shù)學(xué)界。 ? 五年后他進(jìn)一步證明了 : 一個正 n邊行可用直尺與園規(guī)作圖的充要條件是 , n=2^k或者 n=2^k p_1 p_2... p_r, 其中p_1,p_2,...,p_r為不同的 Fermat數(shù) . 特別地 , 正 17邊形可以用直尺與園規(guī)做出 . ? 此后，數(shù)學(xué)家梨西羅與蓋爾美斯給出了正 257邊形與正 65537邊形的做圖法！ ? 關(guān)于 Fermat數(shù)主要研究的問題是： ? （ 1）如何分解 Fermat數(shù)？ ? （ 2） Fermat素數(shù)是否只有有限個？ ? （ 3） Fermat合數(shù)是否有無窮多個？ ? （ 4） Fermat數(shù)有沒有平方因子？ ? Euler素數(shù)生成公式 Euler曾研究過公式： f(n)=n^2+n+41. 可以驗證，當(dāng) n=0,1,…,39時， f(n)都是 素數(shù)，但 f(40)是合數(shù)。有趣的是，公式能給出相當(dāng)多的素數(shù)。 ? 公式 n^2+n+41有一個非常奇特的性質(zhì) . 為揭示這一特性 , 我們考察它的二次求根公式的判別式 d=1^24?1? 41 =163. 163有什么特別的地方？有 ! 請看 00 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 7 6 8 7 4 4 . 02 6 2 5 3 7 4 1 2 6163 ???e? 作為 Hilbert第十問題的一個推論 , 馬蒂雅舍維奇證明了 : 存在一個多元多項式P(x_1,x_2,...,x_n), 其正值構(gòu)成的集合恰好是素數(shù)的全體 . 遺憾的是 , 他并沒有給出怎樣具體地構(gòu)造這樣的多項式 . 后經(jīng)眾多數(shù)學(xué)家的努力 , 終于在 1977年構(gòu)造出了一個具有 26個變量 25次的素數(shù)生成多項式 ! 素數(shù)的分布 ? 素數(shù)沿 數(shù)軸的分布 ? （ 1）隨著整數(shù)范圍的擴(kuò)大，素數(shù)是不是越來越稀疏？稀疏的程度是否單調(diào)地增加？ ? （ 2）相鄰素數(shù)之間的間隔值有哪些 ? 它們各重復(fù)多少次 ? 哪些間隔值的重復(fù)次數(shù)多 ? 最大間隔值是多少 ? 隨整數(shù)范圍擴(kuò)大 , 最大間隔值是否也隨之增大 ? ? （ 3）間隔差為 2的素數(shù)對是否有無窮多個 ? 更一般地 , 間隔差為某一個固定偶數(shù)的素數(shù)對是否有無窮多個 ? 是否存在相鄰的素數(shù) , 其間隔值可以任意大 ? ? 用 ?(n)表示不超過 n的素數(shù)的個數(shù) , ?(m,n)表示區(qū)間 [m,n]內(nèi)素數(shù)的個數(shù) . 固定 d,繪制點列（ i, ?(3^i,3^i+d)), i=1,2,…,N. 10 20 30 40 50510152025100?d10 20 30 40 502550751001251501000?d? 將素數(shù)從小到大順序排列 p_1=2, p_2=3, ..., 用 d_n=p_{n+1}p_n表示相鄰素數(shù)間的間隔 . 計算 d_1,d_2,..., d_N(如N=1000, 10000), 然后將點 (p_n,d_n)標(biāo)在平面坐標(biāo)系中 . 500 1000 1500 2022510152025500 1000 1500 20225101520255 10 15 20 25 30 35501001502002501 0 0 0?N5 10 15 20 25 30 355001000150020221 0 0 0 0?N? 素數(shù)的個數(shù) 在二維坐標(biāo)平面上標(biāo)出點列 (n, ?(n)), n=1,2,..., N(取不同的 N, 如 1000, 10000等 ). 也可以用折線將點列連接起來 . 觀察 ?(n)趨于無窮的趨勢 . 2022 4000 6000 8000 10000200400600800100012002022 4000 6000 8000 10000500100015002022
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