第01講函數(shù)的概念(編輯修改稿)
2025-07-27 04:14 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 得，代入原函數(shù)，不合，不是值域中的值，∴函數(shù)的值域?yàn)?[解法二]作換元，令（注意：這里對(duì)θ的范圍的規(guī)定非常重要），，由正弦函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)，而，∴函數(shù)的值域?yàn)椋唬?）函數(shù)的定義域?yàn)?作換元，令，上為增函數(shù)，∴函數(shù)的值域?yàn)椋籟解法二]令，∴原函數(shù)，∵在定義域內(nèi)都是減函數(shù)，∴原函數(shù)在定義域是減函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)的值域?yàn)?（4）函數(shù)的定義域?yàn)椋啥魏瘮?shù)性質(zhì)知函數(shù)的值域?yàn)閇0，1]；[解法二]令， ，即函數(shù)的值域?yàn)閇0，1].CAQBP[評(píng)析]上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類型與方法，在現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值，在后面的復(fù)習(xí)中要作詳盡的討論.[例4]如圖，在Rt△ABC中，∠B=30176。，AC=1，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，沿三角形的周界運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿A→B→C方向，點(diǎn)Q沿A→C→B方向運(yùn)動(dòng)，直到相遇為止，若點(diǎn)Q的速度是點(diǎn)P速度的3倍，設(shè)AP=x，△APQ的面積為y，求函數(shù)的解析式并確定P、Q分別在什么位置時(shí)S最大.[解答]顯然，是分段函數(shù)，必須首先確定分段點(diǎn)， 點(diǎn)一直在AB上運(yùn)動(dòng)，而運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為，∴整個(gè)定義域需要分三段：CAQBP，（1）當(dāng)時(shí)，P、Q分別在AB、AC上，C，此時(shí)；Q（2）當(dāng)時(shí)，P、Q分別在AB、CB上，PBA，，此時(shí)；（3）當(dāng)時(shí)，P、Q都在AB上，；綜上：而當(dāng)P在，Q在CB上且.[評(píng)析]上面是關(guān)于函數(shù)的綜合問題，整個(gè)解題過程就是檢驗(yàn)函數(shù)三要素的基本能力，這也是高三復(fù)習(xí)過程中常見的重要題型，應(yīng)不斷地積累經(jīng)驗(yàn).二、反函數(shù)： （一）知道歸納：1．定義：在函數(shù)（定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃）中，用y將x表示出來，得到.若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過，x在A中都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，則函數(shù)稱的反函數(shù)，記作.一般改寫成，其定義域?yàn)镃，值域?yàn)锳.從反函數(shù)的定義中可以看出，函數(shù)要存在反函數(shù)，必須是映射為一一映射.2．簡(jiǎn)單性質(zhì)：①函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.②單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)，但有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)（因?yàn)橛蟹春瘮?shù)的函數(shù)可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間）.③奇函數(shù)不一定有反函靈敏，偶函數(shù)在一般情況下無反函數(shù)（但有一種例外：偶函數(shù)的反函數(shù)是）.④若在定義域A上為增函數(shù)（或減函數(shù)），則在定義域C上也是增函數(shù)（或減函數(shù)）.⑤若，則.（二）學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1．學(xué)習(xí)反函數(shù)的最基本的能力是求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)，求函數(shù)的反函數(shù)的基本步驟是①由解出 （即用y來表示x）；②交換中的字母x、y，得到的反函數(shù)的表達(dá)式；③求函數(shù)的值域，特別是或有限制型定義域的情況，因?yàn)?
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