【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (22)同時(shí)，在介質(zhì)中有物質(zhì)本構(gòu)方程： (23a) (23b) (23c)其中,與分別為介質(zhì)的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率與電導(dǎo)率。在各向同性均勻介質(zhì)中，,與均為常數(shù)。若假設(shè)介質(zhì)為不帶電荷的各向同性均勻介質(zhì)(在光學(xué)薄膜中通常如此)，此時(shí)，，且方程(21c)和(21d)可得到電場(chǎng)強(qiáng)度E的波動(dòng)方程： (24)上述波動(dòng)方程有如下平面波解： (25a)同理可得到磁場(chǎng)強(qiáng)度H波動(dòng)方程的平面波解： (25b)式(25a)或(25a)中，為電磁波圓頻率(為頻率)，為波矢，為波矢方向(電磁波傳播方向)上的單位矢量，N為介質(zhì)的復(fù)折射率(或稱光學(xué)導(dǎo)納)。若令，并將式(25a)代入方程(24)，可得到 (26)對(duì)于不導(dǎo)電介質(zhì)，，此時(shí)N為實(shí)數(shù)，且。這時(shí)電磁波為正弦(余弦)波： (27)對(duì)于導(dǎo)電介質(zhì)，，此時(shí)電磁波為衰減的正弦(余弦)波： (28) 導(dǎo)納方程由式(25a)、(21d)、(22)與(23a)，可得到 (29)根據(jù)矢量旋度與矢量叉積的定義， (210) (211)同時(shí)利用式(29)，我們可以得到 (212)式(210)與(211)中，()為j坐標(biāo)軸方向上的單位矢量，與分別為波矢方向單位矢量與磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H在j軸方向上的分量。同理，可以得到 (213)式(212)與(213)稱為光學(xué)導(dǎo)納方程，在計(jì)算光學(xué)膜系的光學(xué)性質(zhì)很有用處[15]。 光波在介質(zhì)界面上的反射與折射在光學(xué)膜系中總存在若干介質(zhì)界面，膜系的光學(xué)性質(zhì)與光波在各介質(zhì)界面上的反射和折射規(guī)律有關(guān)?，F(xiàn)考慮光波自復(fù)折射率為的介質(zhì)入射到該介質(zhì)與另一介質(zhì)(復(fù)折射率為)的界面時(shí)的反射和折射過(guò)程。圖21 正入射的光波在界面反射與折射示意圖N0N1首先討論光波垂直入射于界面的情形。此時(shí)，光波的傳播方向垂直于界面，而電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E與磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H均平行于截面；在介質(zhì)中有正向行波(, )與反向行波(,)，在介質(zhì)中僅有正向行波(,)，如圖21所示。根據(jù)導(dǎo)納方程(213)，有 (214a) (214b) (214c)同時(shí)，由于在E與H在切線方向上連續(xù)，故有如下邊界條件： (215a) (215b)由式(214a)～(215b)可得到 (216)定義反射系數(shù)r為反射波振幅與入射波振幅之比，則 (217)定義透射系數(shù)t為透射波振幅與入射波振幅之比，則 (218)而反射率R與透射率T分別為 (219) (220)其次，討論光波斜入射于界面的情形。此時(shí)，E與H依然在切線方向上連續(xù)，但邊界條件(215a)與(215b)不再適用，須考慮入射角以及E與H的極化方向。設(shè)E與H的切線分量Et與Ht仍滿足如式(213)的導(dǎo)納方程： (221)式中稱為有效導(dǎo)納，不僅與導(dǎo)納N有關(guān)，還與入射角以及E與H的極化方向有關(guān)。對(duì)于E或H，總可以將其分解為入射面內(nèi)的分量與垂直于入射面的分量。電場(chǎng)極化方向垂直于入射面(此時(shí)磁場(chǎng)極化方向在入射面內(nèi))的光波稱為TE波(橫電波)，又稱S偏振波或s偏振波(如圖22a所示)；電場(chǎng)極化方向在入射面內(nèi)(此時(shí)磁場(chǎng)極化方向垂直于入射面)的光波稱為TM波(橫磁波)，又稱P偏振波或p偏圖22 斜入射TE波(a)與TM波(b)在界面反射和折射示意圖N0N1(a)N0N1(b)振波(如圖22b所示)。可以證明：在界面上反射和折射時(shí)，TE波與TM波是相互獨(dú)立的[15,29]。若入射光波為TE波，則，(為切線方向上的單位矢量)，相應(yīng)的導(dǎo)納方程成為 (222)其中為對(duì)TE波的有效導(dǎo)納。若入射光波為TM波，則時(shí)，相應(yīng)的導(dǎo)納方程成為 (223)其中為對(duì)TM波的有效導(dǎo)納。無(wú)論是TE波還是TM波，均有如下邊界條件： (224a) (224b)與正入射的情形相似，可得到如下反射系數(shù)r與透射系數(shù)t的表達(dá)式： (225) (226)其中系數(shù)(對(duì)于TE波)或(對(duì)于TM波)。 光學(xué)薄膜的特征矩陣圖23 光波在薄膜中傳播示意圖N0N1N2現(xiàn)考慮光波在一層薄膜中的傳播過(guò)程。此時(shí)，涉及到3種不同介質(zhì)和2個(gè)介質(zhì)界面。如圖23所示，設(shè)光波自介質(zhì)入射到界面S01上，在界面S01上反射與折射，透過(guò)界面S01的光波在介質(zhì)膜層(幾何厚度為)內(nèi)傳播，然后在界面S12上反射和折射，最后進(jìn)入出射介質(zhì)。在入射介質(zhì)內(nèi)，電磁場(chǎng)E與H包括了正向行波和反向行波，即。在介質(zhì)內(nèi)，同樣有正向行波與反向行波。記在介質(zhì)內(nèi)且接近界面S01的正行波為與，接近界面S01的反行波為與；接近界面S12的正行波為與，接近界面S12的反行波為與。在出射介質(zhì)內(nèi)，僅有正行波，即。在界面S01上，有切向分量連續(xù)性邊界條件： (227a) (227b)考慮電磁場(chǎng)在介質(zhì)膜層傳播過(guò)程中的相位變化，有 (228a) (228b)其中稱為相位厚度，稱為光學(xué)厚度，為波長(zhǎng)，為光波在界面S01處的折射角。因此有 (229)同時(shí)，對(duì)介質(zhì)內(nèi)且接近界面S01的切向波和應(yīng)用導(dǎo)納方程，并利用相位關(guān)系(228a)和(228b)以及邊界條件(227b)，可得到 (230)上式與式(229)可合寫成如下矩陣形式： (231)在界面S12上，有切向分量連續(xù)性邊界條件： (232a) (232b)重復(fù)以上相似的步驟，可得到 (233) (234)式(233)與式(234)寫成矩陣形式為 (235)根據(jù)方程(231)與(235)，可建立入射場(chǎng)與出射場(chǎng)之間的關(guān)系： (236)矩陣 (237)稱為膜層的特征矩陣，其使電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量在膜層的入射端與出射端之間建立起聯(lián)系，且僅包含膜層的參數(shù)。利用膜層的特征矩陣，可方便地計(jì)算膜層的反射系數(shù)與透射系數(shù)[29]。膜層對(duì)光波的反射和折射，可等價(jià)地視為一介質(zhì)界面對(duì)光波的反射與折射。因此引入膜層的組合導(dǎo)納Y，其滿足如下導(dǎo)納方程： (238)同時(shí)，我們有邊界條件。利用關(guān)系(236)并應(yīng)用出射介質(zhì)中電磁場(chǎng)的切向分量導(dǎo)納方程，可得到 (239)其中 (240)而且 (241)類似于式(225)與(226)，我們有膜層的反射系數(shù)與透射系數(shù)： (242) (243)其中系數(shù)(對(duì)于TE波)或(對(duì)于TM波)。 光學(xué)膜系的光學(xué)性質(zhì)上述過(guò)程可推廣到最一般的光學(xué)膜系。考慮由m層介質(zhì)膜與基片所構(gòu)成的膜系，其中第j層薄膜的復(fù)折射率與幾何厚度分別為和，基片的復(fù)折射率為，圖24 光學(xué)膜系結(jié)構(gòu)示意圖N1N2NmNgd1d2dmN0并假設(shè)膜系置于介質(zhì)中(如圖24所示)。此時(shí)，我們將涉及種介質(zhì)以及個(gè)介質(zhì)界面。設(shè)第j膜層的特征矩陣為， (244)其中， ， (245) (246)為在界面的折射角，可由Snell定律求得： (247)與得到式(239)的過(guò)程相似，我們有 (248)令 (249)則 (250)整個(gè)膜系的組合導(dǎo)納為 (251)反射系數(shù)與透射系數(shù)分別為 (252) (253)其中系數(shù) (254)反射率與透射率分別為 (255) (256)而反射或透射光相位變化或分別為復(fù)反射系數(shù)r與復(fù)透射系數(shù)t的相角。 光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理光學(xué)膜系的優(yōu)化設(shè)計(jì)，是尋找合適(最優(yōu))的膜系結(jié)構(gòu)參數(shù)使膜系的光學(xué)性質(zhì)盡可能地滿足預(yù)定的性質(zhì)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程。以光學(xué)膜系的反射光譜為例，說(shuō)明光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理。與其他光學(xué)性質(zhì)一樣，膜系的反射光譜與膜系的膜層數(shù)m，各膜層的折射率與厚度，以及環(huán)境介質(zhì)和載片介質(zhì)的折射率和有關(guān)，不僅是波長(zhǎng)的函數(shù)，而且是這些參數(shù)的函數(shù)。假設(shè)環(huán)境和載片介質(zhì)已確定，為使光學(xué)膜系在指定的波長(zhǎng)范圍內(nèi)具有所要求的反射光譜，必須選擇合適的膜系結(jié)構(gòu)參數(shù)m, 和，使得函數(shù)與的取值在波長(zhǎng)區(qū)間內(nèi)盡量一致。在實(shí)際計(jì)算中，對(duì)波長(zhǎng)區(qū)間離散化，因此上述膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題可描述為如下非線性最小二乘問(wèn)題： (257)其中, 。在數(shù)學(xué)上，這是一個(gè)維非線性規(guī)劃問(wèn)題。推廣至更一般的情況：優(yōu)化膜系的結(jié)構(gòu)，使其n個(gè)光學(xué)性質(zhì)分別與n個(gè)目標(biāo)光學(xué)性質(zhì)盡可能地接近，即在數(shù)學(xué)上求解如下最優(yōu)化問(wèn)題： (258)其中為目標(biāo)函數(shù)(或稱評(píng)價(jià)函數(shù))，為自變量，和分別為對(duì)應(yīng)于的權(quán)重因子和容限。一般而言，上述問(wèn)題中的目標(biāo)函數(shù)為復(fù)雜的非線性函數(shù)。在最一般情況下，上述最優(yōu)化問(wèn)題是維的不定維問(wèn)題(膜層數(shù)m可變)；若限定膜層數(shù)m，則問(wèn)題成為維問(wèn)題；若更進(jìn)一步，指定選擇各膜層的介質(zhì)，則問(wèn)題成為m問(wèn)題。在具體的膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)中，如何定義問(wèn)題(258)中的目標(biāo)函數(shù)對(duì)于能否得到理想的結(jié)果以及能否提高數(shù)值計(jì)算的效率至關(guān)重要。定義目標(biāo)函數(shù)時(shí)引入容限，是為了允許優(yōu)化后的光學(xué)性質(zhì)相對(duì)于目標(biāo)性質(zhì)存在一定的偏差。在實(shí)際的光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通常取，則目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值時(shí)，所得到的最優(yōu)光學(xué)性質(zhì)與所要求的有1％的平均偏差[30]。在目標(biāo)函數(shù)中引入權(quán)重因子，是因?yàn)樵趯?shí)際的膜系設(shè)計(jì)中對(duì)膜系的不同性質(zhì)或不同波長(zhǎng)處的性質(zhì)有不同程度的精度要求；引入權(quán)重因子另一個(gè)原因是為了減少計(jì)算量、提高計(jì)算效率。例如，在設(shè)計(jì)帶通濾波片時(shí)，如通帶波段很窄而截止波段較寬，此時(shí)若對(duì)波長(zhǎng)等間隔離散化，則可能因截止波段取點(diǎn)過(guò)多而導(dǎo)致通帶特性的要求被忽略，而通帶特性的要求卻恰恰是設(shè)計(jì)的目的，在數(shù)值分析中這樣得到的最優(yōu)解卻往往是實(shí)際上很不理想的結(jié)果；當(dāng)然也可以在通帶波段內(nèi)更密集地取點(diǎn)，但卻大大增加了計(jì)算量。此時(shí)，可通過(guò)提高通帶波段內(nèi)的權(quán)重而簡(jiǎn)單地解決問(wèn)題。 關(guān)于最優(yōu)化方法在理論上設(shè)計(jì)光學(xué)膜系的主要過(guò)程是以最優(yōu)化方法求解形如(258)的規(guī)劃問(wèn)題。如第1章中所述，在光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域中，已成功應(yīng)用或發(fā)展了各種最優(yōu)化方法。由于具體問(wèn)題的復(fù)雜性，迄今任何一種最優(yōu)化方法都不是普遍適用的。光學(xué)膜系優(yōu)化設(shè)