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離散優(yōu)化模型及算法設計(編輯修改稿)

2025-02-01 01:51 本頁面
 

【文章內容簡介】 ),問能否由一個頂點出發(fā),經且僅經過每條邊一次并返回原出發(fā)頂點。如果能夠,則每一個這樣的圈被稱為圖 G的歐拉圈,而圖 G則被稱為是一個歐拉圖。顯然,圖 G為歐拉圖的充要條件是它可以被一筆畫出且首尾相連(當首尾不能相連時則被稱為歐拉路)。由此,立即可得出下面的定理: 定理 G為 歐拉圖的充要條件是: G是連通的且 G的每一個頂點都與偶數(shù)條件相關聯(lián)。 把關聯(lián)偶數(shù)條邊的頂點稱為偶頂點,把關聯(lián)奇數(shù)條邊的頂點稱為奇頂點,則容易看出奇頂點的個數(shù)必為偶數(shù)個(因為每一筆畫都產生一個起點與一個終點),又易得出 定理 G為歐拉路的充要條件為: G是連通的且奇頂點的個數(shù)為 2。 綜合定理 , G可一筆畫出的充要條件為 G是連通的且奇頂點的個數(shù)為 0或 2,當奇頂點個數(shù)為零時,尚可設法使起點和終點相重。下面的圖 ( a)為歐拉圈,而圖 ( b)則為歐拉路,后者雖可一筆畫出,但必須以一個奇頂點為起點,以另一個奇頂為終點。 圖的連通性可以十分容易地用標號算法加以檢驗。而圖的奇頂點數(shù)又可通過對其頂點一一檢測而求得。容易看出總計算量是多頂式時間的,故歐拉圈問題和歐拉路問題均是十分簡單的 P問題,從而,等價地,一筆畫問題也可十分容易地求解:若圖 G是歐拉圖,則從任一頂點出發(fā)均可將它一筆畫出;若圖 G是歐拉路,則由一奇頂點出發(fā),一一經偶頂點地走過各條邊,最后到達另一奇頂點,即可將 G一筆畫出;否則 G不能一筆畫出,(當然,如何走法仍需規(guī)劃一下)。 與歐拉圖有較大聯(lián)系的另一有名的 P問題是無向圖上的中國郵路問題。給定一個無向圖,它的每一條邊上都賦有一個表示該邊長度(或費用)的權。要求從一指定頂點出發(fā),至少經過每一條邊一次最后返回原出發(fā)點,并使經過邊的總長度最小。其中如重復走過某些邊,則邊長應重復計算,重復幾次計算幾次。一個由郵局出發(fā)去各街道送信最后返回郵局的郵遞員遇到的問題就是一個中國郵路問題。 無向圖上的中國郵路問題也不難解決。若無向圖 G是歐拉圖,則任一歐拉圖都提供了一條最佳郵路。若 G不是歐拉圖,如前所說,圖中的奇頂點數(shù)必為偶數(shù)。然后,求出任意兩個奇頂點之間的最短路徑及最短矩離最短路徑長度),再解一個奇頂點之間的最小權匹配(或指派問題,注意這里的距離矩陣是對稱的)。將各匹配奇點間的最短路徑加入 G中,就得到了最知路問題的解,我們將在 167。 。 在本節(jié)中,我們例舉了幾個較為典型而又時常遇到的 P問題。由于事實上存在著無窮多個 P問題,而且即使某問題是 NP完全的,它的許多特殊條件下的子問題也仍然可以是多項式時間可解的,因而我們不可能對 P類作一完整的介紹。如果本章內容能起到拋磚引玉的作用,使讀者看到一些 P問題所具有的某些特征及構造算法上的某些技巧,那么,我們的目的也就達到了。從上述 P問題(包括第八章中的線性規(guī)劃、運輸問題及指派問題)可以看出,它們都可以用某種逐次改進的方法來求解。每次改進中的計算量是多項式界的,改進的次數(shù)也是多項式界的。線性規(guī)劃的單純形法例外,改進次數(shù)可能達到指數(shù)次。但即使是線性規(guī)劃問題,也已經找到了具有這種特性的算法,如橢球算法、卡馬卡算法,雖然其結構是相當復雜的,但計算量卻是多項式時間的。 最后,我們還想強調幾點: 許多表面有點相象的問題事實上可能具有完全不同的計算復雜性。 這樣的例子舉不勝舉,我們略舉一、二,以提醒讀者注意。 ( 1)最短路徑問題是 P問題,而由一點出發(fā)到達每一頂點一次(不必返回原點)的哈密頓路問題及由一頂點出發(fā)經所有頂點一次到達另一頂點的最短路徑問題 ——流浪的旅行商問題( WTSP)均是 NP完全的。這里只增加了每個頂點都要去一次的要求,但問題發(fā)生了質的變化,由 P問題變成了NP完全問題。 ( 2)指派問題與 TSP也有相似之處,前者求一置換而使目標值最小,后者求一循環(huán)置換(不包含子圈)而使目標值最小。前者是 P問題,而后者則是NP完全的。 ( 3)歐拉圈問題求由一頂點出發(fā)經且僅經過每邊一次回到原頂點的圈,而TSP則求由一頂點出發(fā)經且僅經過每個頂點一次返回原頂點的圈。前者是十分容易的 P問題,而后者是極其困難的 NP完全問題,迄今還沒有求解它的較好算法。 ( 4)線性規(guī)劃問題、運輸問題及指派問題均為 P問題,但相應的整數(shù)線性規(guī)劃及 0—1規(guī)劃均為 NP完全的。 ( 5)無向圖中國郵路問題是 P問題,而有向圖中中國郵路問題則是 NP完全的,(容易看出,會解有向圖上的某問題必也會解無向圖上的相同問題,但反之不真)。 求最小的問題是 P問題,求最大的問題可以是 NP完全的,這樣的例子也不少。例如,最短路徑問題是 P問題,而最長簡單路徑(不含圈的路徑)問題卻是 NP完全的。如若不然,我們可以利用它的有效算法如下構造出哈密頓問題的有效算:令圖 G=( V, E)的所有邊的權均為 1,以一端點為起點求到其余各頂點的最長簡單路徑。由于簡單路徑不含圈,所有頂點均不會重復到達,故 G有哈密頓路當且僅當存在一起點及一終點,其最長簡單路徑為 | V |- 1。由于哈密頓路問題是 NP 完全的,故最長簡單路徑問題的有效算法不可能存在,除非 P=NP。所以,如果你想設計一個求圖上兩點間的最長簡單路徑的有效算法,不管你是多么努力,最終必將以失敗告終。又譬如,網絡流中的最大流問題是 P問題。相應地,最小切割問題也是 P問題(它是最大流問題的對偶問題,見線性規(guī)劃的對偶理論)。但可以證明,最大切割問題卻是 NP完全的。 總之,在研究離散模型時應當極其小心。一方面,我們必須先搞清問題的計算復雜性,而另一方面,條件的微小改變就有可能將一個 P問題轉變?yōu)镹P完全的。當然,相反的轉變也完全是可能的。 167。 關于 NP完全性證明的幾個例子 上節(jié)介紹了幾個 P問題及求解它們的算法。從某種意義上說,可以認為這些問題已被較好地解決了。然而,在研究離散問題時并非都能遇上這樣的好運。正如第八章所講,存在著大量具有 NP完全性的問題,雖然許多人作了巨大的努力,仍未找到任何有效算法。其中的許多問題,例如 TSP,甚至經受了兩代數(shù)學家的頑強攻擊,竟然毫無進展。各種跡象使人們來越來越傾向于相信,對這些問題根本不存在有效算法,自 1972年 Cook發(fā)表那篇著名的論文以來,這些問題越來越多地被發(fā)現(xiàn)。因此,當我們著手研究一個離散問題時,不得不首先搞清遇到的會不會也是這樣一個問題。有時,我們可以從有關書籍或文獻中查到它,因為別人早已對它作過研究。例如可查閱 “計算機和難解性”,其中例舉了大量 NP完全問題。但這類問題事實上有無限多個,很多時候,我們會遇到一些對其計算機復雜性一無所知的問題。這時,假如我們仍要去研究它,首當其沖的問題就是搞清問題的性質,以便保證研究工作沿正確的途徑展開。要判定一個離散問題的性質沒有一個固定的程式可以沿用(雖然總是用多項式轉換的方法),常常要用到較高的技巧,并要求對問題的組合結構有相當?shù)牧私?。盡管如此,別人的經驗對我們仍然是很有用的。本節(jié)將再分析一些問題,看看別人是如何判定它們的 NP完全性的。 例 (獨立集問題) 給定圖 G=( V, E),求 G的一個最大獨立集。 所謂獨立集是指 V的一個子集 ,有 1{ , , }, 1 ,kii s t k?? ? ? ?( , )stii E?? ?例 (復蓋問題) 給定圖 G=( V, E),求 G的頂點的一個最小復蓋。 所謂復蓋是指 V的一個子集 C, , u∈ C或 υ∈ C至少有一個成立。 ( , )uE???對于例 ,我們?yōu)閿⑹龇奖悖捎昧藞D的語言,其實也完全可以將它們表達成其他方式。 定理 獨立集問題與點復蓋問題都是 NP完全的。 證明 稱圖 為圖 G的補集,若 與 G有相同的頂點集,且( υi,υj)是 的邊當且僅當它不是 G的邊。顯然,求 G的獨立集即求 的團,由 G作出 可在多項式時間內完成,故獨立集問題等價于團問題。而團問題是 NP完全的(見第八章六個基本 NP完全問題),故獨立集問題是 NP完全的。類似地,容易證明 K是 G的團當且僅當 V- K是 的復蓋,故點復蓋問題也是 NP完全的。事實上,對任意 中的邊( υi,υj),有( υi,υj)不在 G中,故 υi,υj不能全在 G的團 K中,從而 υi與 υj中至少有一個在 V- K中,由邊( υi,υj)的任意性可知, V- K中,由邊( υi,υj)的任意性可知, V- K 必為 的一個復蓋。 G G GG GGGG前面已經講過,哈密頓圈問題已被證明是 NP完全的,從而可得出 TSP是 NP完全的,哈密頓問題是 NP完全的,進而又可得出有向圖上的哈密頓圈、哈密頓路和 TSP也是 NP完全的,因為用兩條具有相反方向的弧來代替每一條邊,就可將一個無向圖上的問題轉化為一個有向圖上的問題,從而任一有向圖問題的有效算法必能用來求解無向圖問題。 例 (背包問題) 給定一組整數(shù) C={c1,…, }以及一整數(shù) K,問是否存在C的一個子集 S,使得 。 iicSCK? ??不難看出,背包問題是 NP完全的,因為若取 , 問題就化成了劃分問題。 112niiKC?? ?例 :以 K為“背包”的容量,欲將 C中的整數(shù)裝入背包中,使背包中的各數(shù)之和盡可能地大(求- C的子集 S,使 且盡可能大),即要求求解 0- 1(線性)規(guī)劃問題: i icSCK? ??St xi≥0, xi≤1 xi為整數(shù) 1m ax n iiicx??1niiic x K???例 (裝箱問題 —— Bin— packing)有一批待裝箱的物品J={p1,?, pn}, pj的長度為 l(pj)?,F(xiàn)有一批容量為 C的箱子(足夠數(shù)量),要求找到一種裝箱方法,使得所用的箱子數(shù)最少。 例 。例如,我們有一批具有相同長度的鋼材,如果想取出幾根已知長度的鋼料生產某種設備,當然會希望少用幾根原始鋼材以減少浪費。此時,我們就遇到了一個一維的 Bin—packing問題。當我們想從購買來的三夾板上鋸出 n塊已知長、寬的板來制作家具時,遇到的是二維Bin—packing問題。而當我們真正想把一批已知長、寬、高的物體裝入具有相同尺寸的箱子時,又遇到了三維的。下面的定理 告訴我們,即使是一維的 Bin—packing問題也是 NP完全的,故二維和三維的 Bin—packing問題更不可能是 P問題(它們也是 NP完全的)。 定理 (一維) Bin—packing問題是 NP—完全的。 證明: 易見,劃分問題可轉化為 Bin— packing問題。事實上, 取 , J={c1,…, }可劃分為兩個相等的集合的充要條件是 它們可裝入兩只容量為 C的箱中。 112njjCc?? ?從某種意義上講, 3—劃分問題(即分為三個相等子集的問題)也許比 2—劃分問題更難,因為已經找到了求解 2—劃分問題的一些較好算法(稱為偽多項式時間算法)。但對 3—劃分問題不可能存在類似算法,由于本書篇幅有限,不再作詳盡的討論。讀者不難發(fā)現(xiàn), Bin—packing問題至少不會比 3—劃分問題容易。順便指出, Bin—packin問題中的臬子容量 C可以取為 1,這樣的問題與例 。 例 (排序問題 —Scheduling) 擬用 m臺機器加工 n個零件,對零件的加工可以提出各種不同的附加條件,希望排出一個加工順序(或時間表),使在某種衡量標準下所求得的加工順序為最佳。 Scheduling是一類應用面極廣的離散問題,可以講它不是一個問題,而是一類問題,因為不同的機器環(huán)境、不同的加工要求或不同的衡量標準所得出的模型是不同的。按目前流行的做法,人們常用三個參數(shù) α, β, υ來描述一個特定的排序問題,并記為 α/β/υ排序問題,其中 α描述機器情況, β描述加工零件時的附加要求或附加條件, υ表示衡量排序好壞的標準。按此方法分類,有人作過統(tǒng)計,認為至少有 9000多個不同的排序問題已被或多或少地研究過,其中 76%為 NP完全的 , 12%的為 P問題 ,余下的 12%目前還未搞清其計算復雜性,但根據種種跡象 ,大部分可能是 NP完全的。有關排序問題,目前已有十多本專著及至少數(shù)千篇論文,這里不準備細述專業(yè)知識,僅以幾個排序問題模型為例,來分析其計算復雜性。 Jm/ no wait /Cmax問題是 NP完全的。在這一模型中, α=Jm, J代表一類被稱為 Job shop的問題, m表示有 m臺機器。 Job shop意指每一工件要在 m臺機器的每一臺上加工(當不需某臺加工時可令加工時間為零),且各工件使用機器的順序可以不同。 β=no wiat,表示任一工件在開始第一道工序加工后不允許中間等待,直到它的各道加工均被完成。 υ =Cmax表示排序優(yōu)劣的評價標準是全系統(tǒng)的加工時間最短,即由第一臺機器開始加工起到最后一臺
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