【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 . 即此圓柱體在受壓后體積約減少了200p cm3. 例5 計(jì)算(1. 04)2. 02的近似值. 解 設(shè)函數(shù)f (x, y)=x y . 顯然, 要計(jì)算的值就是函數(shù)在x=, y=(, ). 取x=1, y=2, Dx=, Dy=. 由于f (x+Dx, y+Dy)187。 f(x, y)+f x(x, y)Dx+f y(x, y)Dy =x y+yxy1Dx+x yln x Dy , 所以()2. 02187。12+2180。121180。+12180。ln1180。=. 例6 利用單擺擺動(dòng)測(cè)定重力加速度g的公式是 .現(xiàn)測(cè)得單擺擺長l與振動(dòng)周期T分別為l=100177。、T=2177。. 問由于測(cè)定l與T的誤差而引起g的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差各為多少？ 解 如果把測(cè)量l與T所產(chǎn)生的誤差當(dāng)作|Δl|與|ΔT|, 則利用上述計(jì)算公式所產(chǎn)生的誤差就是二元函數(shù)的全增量的絕對(duì)值|Δg|. 由于|Δl|, |ΔT|都很小, 因此我們可以用dg來近似地代替Δg. 這樣就得到g的誤差為 ,其中dl與dT為l與T的絕對(duì)誤差. 把l=100, T=2, dl=, δT=, 得g的絕對(duì)誤差約為 . . 從上面的例子可以看到, 對(duì)于一般的二元函數(shù)z=f(x, y), 如果自變量x 、y 的絕對(duì)誤差分別為dx、dy, 即 |Δx |163。dx, |Δy |163。dy, 則z的誤差 。從而得到z的絕對(duì)誤差約為 。z的相對(duì)誤差約為 . 167。8. 4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)z=f(u, v), 而u=j(t), v=y(t), 如何求？ 設(shè)z=f(u, v), 而u=j(x, y), v=y(x, y), 如何求和？ 1. 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 定理1 如果函數(shù)u=j(t)及v=y(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo), 函數(shù)z=f(u, v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=f[j(t), y(t)]在點(diǎn)t可導(dǎo), 且有 . 簡(jiǎn)要證明1: 因?yàn)閦=f(u, v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 所以它是可微的, 即有 .又因?yàn)閡=j(t)及v=y(t)都可導(dǎo), 因而可微, 即有 , , 代入上式得 , 從而 . 簡(jiǎn)要證明2: 當(dāng)t取得增量Dt時(shí), u、v及z相應(yīng)地也取得增量Du、Dv及Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性, 有 , , 令Dt174。0, 上式兩邊取極限, 即得 . 注:. 推廣: 設(shè)z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 則z=f[j(t), y(t), w(t)]對(duì)t 的導(dǎo)數(shù)為: . 上述稱為全導(dǎo)數(shù). 2. 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 定理2 如果函數(shù)u=j(x, y), v=y(x, y)都在點(diǎn)(x, y)具有對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)z=f(u, v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=f [j(x, y), y(x, y)]在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在, 且有 , . 推廣: 設(shè)z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 則 , . 討論: (1)設(shè)z=f(u, v), u=j(x, y), v=y(y), 則？？ 提示: , . (2)設(shè)z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 則？？ 提示: , . 這里與是不同的, 是把復(fù)合函數(shù)z=f[j(x, y), x, y]中的y看作不變而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù), 是把f(u, x, y)中的u及y看作不變而 對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù). 與也有類似的區(qū)別. 3．復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù), 又有多元函數(shù)的情形 定理3 如果函數(shù)u=j(x, y)在點(diǎn)(x, y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)v=y(y)在點(diǎn)y可導(dǎo), 函數(shù)z=f(u, v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=f[j(x, y), y(y)]在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在, 且有 , . 例1 設(shè)z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求和. 解 =eusin vy+eucos v1 =ex y[y sin(x+y)+cos(x+y)], =eusin vx+eucos v1 =exy[x sin(x+y)+cos(x+y)]. 例2 設(shè), 而. 求和. 解 . . 例3 設(shè)z=uv+sin t , 而u=et, v=cos t. 求全導(dǎo)數(shù). 解 =vet+u(sin t)+cos t =etcos te tsin t+cos t =et(cos tsin t)+cos t . 例4 設(shè)w=f(x+y+z, xyz), f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 求及. 解 令u=x+y+z, v=xyz , 則w=f(u, v). 引入記號(hào): , 。 同理有,等. , . 注: , . 例5 設(shè)u=f(x, y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的形式: (1)。 (2). 解 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系式得 u=f(x, y)=f(rcosθ, rsinθ)=F(r, θ), 其中x=rcosθ, y=rsinθ, , .應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則, 得 , .兩式平方后相加, 得 .再求二階偏導(dǎo)數(shù), 得 .同理可得 .兩式相加, 得 . 全微分形式不變性: 設(shè)z=f(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有全微分 . 如果z=f(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 而u=j(x, y), v=y(x, y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則 . 由此可見, 無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù), 它的全微分形式是一樣的. 這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性. 例6 設(shè)z=e usin v, u=x y, v=x+y, 利用全微分形式不變性求全微分. 解 = e usin vdu+ e ucos v dv = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e ucos v )dy =e xy [y sin(x+y)+cos(x+y)]dx+ e xy [x sin(x+y)+cos(x+y)]dy . 167。8. 5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一個(gè)方程的情形 隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)F(x, y)在點(diǎn)P(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), F(x0, y0)=0, Fy(x0, y0)185。0, 則方程F(x, y)=0在點(diǎn)(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x), 它滿足條件y0=f(x0), 并有 . 求導(dǎo)公式證明: 將y=f(x)代入F(x, y)=0, 得恒等式 F(x, f(x))186。0, 等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得 , 由于F y連續(xù), 且Fy(x0, y0)185。0, 所以存在(x0, y0)的一個(gè)鄰域, 在這個(gè)鄰域同F(xiàn)y 185。0, 于是得 . 例1 驗(yàn)證方程x2+y21=0在點(diǎn)(0, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x=0時(shí)y=1的隱函數(shù)y=f(x), 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x=0的值. 解 設(shè)F(x, y)=x2+y21, 則Fx=2x, Fy=2y, F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=2185。0. 因此由定理1可知, 方程x2+y21=0在點(diǎn)(0, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x=0時(shí)y=1的隱函數(shù)y=f(x). , 。 , . 隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù). 一個(gè)二元方程F(x, y)=0可以確定一個(gè)一元隱函數(shù), 一個(gè)三元方程F(x, y, z)=0可以確定一個(gè)二元隱函數(shù). 隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)F(x, y, z)在點(diǎn)P(x0, y0, z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)185。0 , 則方程F(x, y, z)=0在點(diǎn)(x0, y0, z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x, y), 它滿足條件z0=f(x0, y0), 并有 , . 公式的證明: 將z=f(x, y)代入F(x, y, z)=0, 得F(x, y, f(x, y))186。0, 將上式兩端分別對(duì)x和y求導(dǎo), 得 , . 因?yàn)镕 z連續(xù)且F z(x0, y0, z0)185。0, 所以存在點(diǎn)(x0, y0, z0)的一個(gè)鄰域, 使F z185。0, 于是得 , . 例2. 設(shè)x2+y2+z24z=0, 求. 解 設(shè)F(x, y, z)= x2+y2+z24z, 則Fx=2x, Fy=2z4, , . 二、方程組的情形 在一定條件下, 由個(gè)方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0可以確定一對(duì)二元函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y), 例如方程xuyv=0和yu+xv=1可以確定兩個(gè)二元函數(shù), . 事實(shí)上, xuyv=0 222。222。222。, . 如何根據(jù)原方程組求u, v的偏導(dǎo)數(shù)？ 隱函數(shù)存在定理3 隱函數(shù)存在定理3 設(shè)F(x, y, u, v)、G(x, y, u, v)在點(diǎn)P(x0, y0, u0, v0)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 又F(x0, y0, u0, v0)=0, G(x0, y0, u0, v0)=0, 且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式: 在點(diǎn)P(x0, y0, u0, v0)不等于零, 則方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0在點(diǎn)P(x0, y0, u0, v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y), 它們滿足條件u0=u(x0, y0), v0=v(x0, y0), 并有 , , , . 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): 設(shè)方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0確定一對(duì)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y), 則 偏導(dǎo)數(shù), 由方程組確定。 偏導(dǎo)數(shù), 由方程組確定. 例3 設(shè)xuyv=0, yu+xv=1, 求, , 和. 解 兩個(gè)方程兩邊分別對(duì)x 求偏導(dǎo), 得關(guān)于和的方程組,當(dāng)x2+y2 185。0時(shí), 解之得, .