【文章內容簡介】 . 即此圓柱體在受壓后體積約減少了200p cm3. 例5 計算(1. 04)2. 02的近似值. 解 設函數f (x, y)=x y . 顯然, 要計算的值就是函數在x=, y=(, ). 取x=1, y=2, Dx=, Dy=. 由于f (x+Dx, y+Dy)187。 f(x, y)+f x(x, y)Dx+f y(x, y)Dy =x y+yxy1Dx+x yln x Dy , 所以()2. 02187。12+2180。121180。+12180。ln1180。=. 例6 利用單擺擺動測定重力加速度g的公式是 .現測得單擺擺長l與振動周期T分別為l=100177。、T=2177。. 問由于測定l與T的誤差而引起g的絕對誤差和相對誤差各為多少？ 解 如果把測量l與T所產生的誤差當作|Δl|與|ΔT|, 則利用上述計算公式所產生的誤差就是二元函數的全增量的絕對值|Δg|. 由于|Δl|, |ΔT|都很小, 因此我們可以用dg來近似地代替Δg. 這樣就得到g的誤差為 ,其中dl與dT為l與T的絕對誤差. 把l=100, T=2, dl=, δT=, 得g的絕對誤差約為 . . 從上面的例子可以看到, 對于一般的二元函數z=f(x, y), 如果自變量x 、y 的絕對誤差分別為dx、dy, 即 |Δx |163。dx, |Δy |163。dy, 則z的誤差 。從而得到z的絕對誤差約為 。z的相對誤差約為 . 167。8. 4 多元復合函數的求導法則 設z=f(u, v), 而u=j(t), v=y(t), 如何求？ 設z=f(u, v), 而u=j(x, y), v=y(x, y), 如何求和？ 1. 復合函數的中間變量均為一元函數的情形 定理1 如果函數u=j(t)及v=y(t)都在點t可導, 函數z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數, 則復合函數z=f[j(t), y(t)]在點t可導, 且有 . 簡要證明1: 因為z=f(u, v)具有連續(xù)的偏導數, 所以它是可微的, 即有 .又因為u=j(t)及v=y(t)都可導, 因而可微, 即有 , , 代入上式得 , 從而 . 簡要證明2: 當t取得增量Dt時, u、v及z相應地也取得增量Du、Dv及Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性, 有 , , 令Dt174。0, 上式兩邊取極限, 即得 . 注:. 推廣: 設z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 則z=f[j(t), y(t), w(t)]對t 的導數為: . 上述稱為全導數. 2. 復合函數的中間變量均為多元函數的情形 定理2 如果函數u=j(x, y), v=y(x, y)都在點(x, y)具有對x及y的偏導數, 函數z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數, 則復合函數z=f [j(x, y), y(x, y)]在點(x, y)的兩個偏導數存在, 且有 , . 推廣: 設z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 則 , . 討論: (1)設z=f(u, v), u=j(x, y), v=y(y), 則？？ 提示: , . (2)設z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 則？？ 提示: , . 這里與是不同的, 是把復合函數z=f[j(x, y), x, y]中的y看作不變而對x的偏導數, 是把f(u, x, y)中的u及y看作不變而 對x的偏導數. 與也有類似的區(qū)別. 3．復合函數的中間變量既有一元函數, 又有多元函數的情形 定理3 如果函數u=j(x, y)在點(x, y)具有對x及對y的偏導數, 函數v=y(y)在點y可導, 函數z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數, 則復合函數z=f[j(x, y), y(y)]在點(x, y)的兩個偏導數存在, 且有 , . 例1 設z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求和. 解 =eusin vy+eucos v1 =ex y[y sin(x+y)+cos(x+y)], =eusin vx+eucos v1 =exy[x sin(x+y)+cos(x+y)]. 例2 設, 而. 求和. 解 . . 例3 設z=uv+sin t , 而u=et, v=cos t. 求全導數. 解 =vet+u(sin t)+cos t =etcos te tsin t+cos t =et(cos tsin t)+cos t . 例4 設w=f(x+y+z, xyz), f具有二階連續(xù)偏導數, 求及. 解 令u=x+y+z, v=xyz , 則w=f(u, v). 引入記號: , 。 同理有,等. , . 注: , . 例5 設u=f(x, y)的所有二階偏導數連續(xù), 把下列表達式轉換成極坐標系中的形式: (1)。 (2). 解 由直角坐標與極坐標間的關系式得 u=f(x, y)=f(rcosθ, rsinθ)=F(r, θ), 其中x=rcosθ, y=rsinθ, , .應用復合函數求導法則, 得 , .兩式平方后相加, 得 .再求二階偏導數, 得 .同理可得 .兩式相加, 得 . 全微分形式不變性: 設z=f(u, v)具有連續(xù)偏導數, 則有全微分 . 如果z=f(u, v)具有連續(xù)偏導數, 而u=j(x, y), v=y(x, y)也具有連續(xù)偏導數, 則 . 由此可見, 無論z 是自變量u、v的函數或中間變量u、v的函數, 它的全微分形式是一樣的. 這個性質叫做全微分形式不變性. 例6 設z=e usin v, u=x y, v=x+y, 利用全微分形式不變性求全微分. 解 = e usin vdu+ e ucos v dv = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e ucos v )dy =e xy [y sin(x+y)+cos(x+y)]dx+ e xy [x sin(x+y)+cos(x+y)]dy . 167。8. 5 隱函數的求導法則 一、一個方程的情形 隱函數存在定理1 設函數F(x, y)在點P(x0, y0)的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數, F(x0, y0)=0, Fy(x0, y0)185。0, 則方程F(x, y)=0在點(x0, y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數的函數y=f(x), 它滿足條件y0=f(x0), 并有 . 求導公式證明: 將y=f(x)代入F(x, y)=0, 得恒等式 F(x, f(x))186。0, 等式兩邊對x求導得 , 由于F y連續(xù), 且Fy(x0, y0)185。0, 所以存在(x0, y0)的一個鄰域, 在這個鄰域同Fy 185。0, 于是得 . 例1 驗證方程x2+y21=0在點(0, 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x=0時y=1的隱函數y=f(x), 并求這函數的一階與二階導數在x=0的值. 解 設F(x, y)=x2+y21, 則Fx=2x, Fy=2y, F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=2185。0. 因此由定理1可知, 方程x2+y21=0在點(0, 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x=0時y=1的隱函數y=f(x). , 。 , . 隱函數存在定理還可以推廣到多元函數. 一個二元方程F(x, y)=0可以確定一個一元隱函數, 一個三元方程F(x, y, z)=0可以確定一個二元隱函數. 隱函數存在定理2 設函數F(x, y, z)在點P(x0, y0, z0)的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數, 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)185。0 , 則方程F(x, y, z)=0在點(x0, y0, z0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數z=f(x, y), 它滿足條件z0=f(x0, y0), 并有 , . 公式的證明: 將z=f(x, y)代入F(x, y, z)=0, 得F(x, y, f(x, y))186。0, 將上式兩端分別對x和y求導, 得 , . 因為F z連續(xù)且F z(x0, y0, z0)185。0, 所以存在點(x0, y0, z0)的一個鄰域, 使F z185。0, 于是得 , . 例2. 設x2+y2+z24z=0, 求. 解 設F(x, y, z)= x2+y2+z24z, 則Fx=2x, Fy=2z4, , . 二、方程組的情形 在一定條件下, 由個方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0可以確定一對二元函數u=u(x, y), v=v(x, y), 例如方程xuyv=0和yu+xv=1可以確定兩個二元函數, . 事實上, xuyv=0 222。222。222。, . 如何根據原方程組求u, v的偏導數？ 隱函數存在定理3 隱函數存在定理3 設F(x, y, u, v)、G(x, y, u, v)在點P(x0, y0, u0, v0)的某一鄰域內具有對各個變量的連續(xù)偏導數, 又F(x0, y0, u0, v0)=0, G(x0, y0, u0, v0)=0, 且偏導數所組成的函數行列式: 在點P(x0, y0, u0, v0)不等于零, 則方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0在點P(x0, y0, u0, v0)的某一鄰域內恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數u=u(x, y), v=v(x, y), 它們滿足條件u0=u(x0, y0), v0=v(x0, y0), 并有 , , , . 隱函數的偏導數: 設方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0確定一對具有連續(xù)偏導數的二元函數u=u(x, y), v=v(x, y), 則 偏導數, 由方程組確定。 偏導數, 由方程組確定. 例3 設xuyv=0, yu+xv=1, 求, , 和. 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導, 得關于和的方程組,當x2+y2 185。0時, 解之得, .