第24講三角恒等變形及應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-26 16:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 巧性較強，但輔助角公式，或在歷年高考中使用頻率是相當高的，應(yīng)加以關(guān)注；解法三利用了換元法，但實質(zhì)上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點，所以解法三最佳。例6．（2000全國理，17）已知函數(shù)y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈R.（1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖象可由y＝sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?（理）（1）解析：y＝cos2x＋sinxcosx＋1＝（2cos2x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1＝cos2x＋sin2x＋＝（cos2xsin＋sin2xcos）＋＝sin（2x＋）＋y取得最大值必須且只需2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z。所以當函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為｛x|x＝＋kπ，k∈Z｝。（2）將函數(shù)y＝sinx依次進行如下變換：①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y＝sin（x＋）的圖象；②把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y＝sin（2x＋）的圖象；③把得到的圖象上各點縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)y＝sin（2x＋）的圖象；④把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)y＝sin（2x＋）＋的圖象；綜上得到函數(shù)y＝cos2x＋sinxcosx＋1的圖象。點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力。（2000全國文，17）已知函數(shù)y＝sinx＋cosx，x∈R.（1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖象可由y＝sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?解析：（1）y＝sinx＋cosx＝2（sinxcos＋cosxsin）＝2sin（x＋），x∈Ry取得最大值必須且只需x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z。所以，當函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為｛x|x＝＋2kπ，k∈Z｝（2）變換的步驟是：①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y＝sin（x＋）的圖象；②令所得到的圖象上各點橫坐標不變，把縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y＝2sin（x＋）的圖象；經(jīng)過這樣的變換就得到函數(shù)y＝sinx＋cosx的圖象。點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進行恒等變形的技能及運算能力。題型4：三角函數(shù)式化簡例7．（1995全國理，22）求sin220176。＋cos250176。＋sin20176。cos50176。的值。解析：原式＝（1－cos40176。）＋（1＋cos100176。）＋（sin70176。－sin30176。）＝1＋（cos
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