三角恒等變換專題復(fù)習(xí)學(xué)案(編輯修改稿)
2025-05-13 12:49 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 θ＋cos θ＝________.解法一由θ在第二象限，且tan＝，故sin＝－，故sin θ＋cos θ＝ sin＝－.法二：如果將tan＝利用兩角和的正切公式展開(kāi)，則＝，求得tan θ＝－.又因?yàn)棣仍诘诙笙蓿瑒tsin θ＝，cos θ＝－，從而sin θ＋cos θ＝－＝－.2．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．解：∵0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π，[來(lái)源:學(xué)+科+網(wǎng)]∴cos＝ ＝，sin＝ ＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝＋＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2－1＝－.考點(diǎn)四： 三角變換的綜合應(yīng)用1．三角恒等變換是三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值、證明的主要依據(jù)．高考常與三角函數(shù)的其他知識(shí)相結(jié)合命題，題目難度適中，為中檔題．2．高考對(duì)三角恒等變換綜合問(wèn)題的考查常有以下幾個(gè)命題角度：(1)與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)相結(jié)合命題；(2)與向量相結(jié)合命題；(3)與解三角形相結(jié)合命題．[例4] (1)(2013天津高考)已知函數(shù)f(x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R.①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值．(2)(2013遼寧高考)設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.①若|a|＝|b|，求x的值；②設(shè)函數(shù)f(x)＝ab，求f(x)的最大值．[解] (1)①f(x)＝－sin 2xcos－cos 2xsin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝(x)的最小正周期T＝＝π.②因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間，上是減函數(shù)，又f(0)＝－2，f＝2，f＝2，故函數(shù)f(x)在上的最大值為2，最小值為－2.(2)①由|a|2＝(sin x)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，從而sin x＝，所以x＝.②f(x)＝ab＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，當(dāng)x＝∈時(shí)，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.【方法規(guī)律】三角恒等變換綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)相結(jié)合的綜合問(wèn)題．借助三角恒等變換將已知條件中的函數(shù)解析式整理為f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函數(shù)圖象解決．(2)與向量相結(jié)合的綜合問(wèn)題．此類問(wèn)題通常是先利用向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，然后再利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等問(wèn)題解決． [來(lái)源:]變式4：1．已知平面向量a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，R是實(shí)數(shù)集，f(x)＝ab＋4cos2x＋2sin xcos x，如果存在m∈R，任意的x∈R，f(x)≥f(m)，那么f(m)＝( )A．2＋2 B．3 C．0 D．2－2解析：選C 依題意得f(x)＝sin4x－cos4x＋4cos2x＋sin 2x＝sin2x＋3c
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