【文章內(nèi)容簡介】 2a，a3a ，由題知 ?? ??a32a，a3a [a， a2]， ∴ a≥ 2. 11. 解： p為真，則 |x－ 4|≤ 6 的解集為 A＝ [－ 2,10]， q 為真， x2－ 2x＋ 1－ m2≤ 0(m＞ 0)的解集為 B＝ [1－ m,1＋ m]， ∵ p 是 q 的必要而不充分條件， ∴ p 是 q的充分而不必要條件， ∴ A＝ [－ ＝ [1－ m,1＋ m]， ∴????? 1＋ m≥ 10，1－ m≤ － 2. 兩式中等號不能同時成立，又 m＞ 0， ∴ m≥ 9. 12. 解： (1) 令 g(x)＝ f(x)－ x＝ x2＋ (a－ 1)x＋ a， 11 則由題意可 得????? Δ＞ 0，0＜ 1－ a2 ＜ 1，g?1?＞ 0，g?0?＞ 0????? a＞ 0，－ 1＜ a＜ 1，a＜ 3－ 2 2或 a＞ 3＋ 2 2＜ a＜ 3－ 2 求實數(shù) a 的取值范圍是 (0,3－ 2 2)． (2) f(0)f(1)－ f(0)＝ 2a2，令 h(a)＝ 2a2.∵ 當 a＞ 0 時 h(a)單調(diào)遞增， ∴ 當 0＜ a＜ 3－ 2 2時， 0＜ h(a)＜ h(3－ 2 2)＝ 2(3－ 2 2)2＝ 2(17－ 12 2)＝ 217＋ 12 2＜ 116，即 f(0)f(1)－ f(0)＜ 116. 13. 解： (1) ① 當 0＜ t≤ 10 時， V(t)＝ (－ t2＋ 14t－ 40)e14t＋ 50＜ 50，化簡得 t2－ 14t＋ 40＞ 0，解得 t＜ 4 或 t＞ 10，又 0＜ t≤ 10，故 0＜ t＜ 4.② 當 10＜ t≤ 12 時， V(t)＝ 4(t－ 10)(3t－41)＋ 50＜ 50，化簡得 (t－ 10)(3t－ 41)＜ 0，解得 10＜ t＜ 413 ，又 10＜ t≤ 12，故 10＜ t≤ 合得 0＜ t＜ 4 或 10＜ t≤ 12；故知枯水期為 1 月， 2 月， 3 月， 11 月， 12 月共 5 個月． (2)由 (1)知： V(t)的最大值只能在 (4,10)內(nèi)達到． 由 V′ (t)＝ e14t?? ??－ 14t2＋ 32t＋ 4 ＝－ 14e14t(t＋ 2)(t－ 8)，令 V′ (t)＝ 0，解得 t＝ 8(t＝－ 2 舍去 )． 當 t 變化時， V′ (t) 與 V (t)的變化情況如下表： t (4,8) 8 (8,10) V′ (t) ＋ 0 － V(t) 極大值 由上表， V(t)在 t＝ 8 時取得最大值 V(8)＝ 8e2＋ 50＝ (億立方米 )． 故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是 億立方米． 14. 解： (1) 當 x∈ [－ 2，－ 1)時， f(x)＝ x＋ 1x在 [－ 2，－ 1)上是增函數(shù) (用導數(shù)判斷 )，此時 f(x)∈ ?? ??－ 52，－ 2 ，當 x∈ ?? ??－ 1， 12 時， f(x)＝－ 2，當 x∈ ?? ??12， 2 時， f(x)＝ x－ 1x在 ?? ??12， 2 上是增函數(shù)，此時 f(x)∈ ?? ??－ 32， 32 ， ∴ f(x)的值域為 ?? ??－ 52，－ 2 ∪ ?? ??－ 32， 32 . (2) ① 若 a＝ 0， g(x)＝－ 2，對于任意 x1∈ [－ 2,2]， f(x1)∈ ?? ??－ 52，－ 2 ∪ ?? ??－ 32， 32 ，不存在 x0∈ [－ 2,2]使得 g(x0)＝ f(x1)都成立． ② 若當 a＞ 0 時， g(x)＝ ax－ 2 在 [－ 2,2]是增函數(shù)， g(x)∈ [－ 2a－ 2,2a－ 2]，任給 x1∈ [－ 2,2]， f(x1)∈ ?? ??－ 52，－ 2 ∪ ?? ??－ 32， 32 ，若存在 x0∈ [－2,2]，使得 g(x0)＝ f(x1)成立， 則 ?? ??－ 52，－ 2 ∪ ?? ??－ 32， 32 － 2a－ 2,2a－ 2]， ∴ 有??? － 2a－ 2≤ － 52，2a－ 2≥ 32，解得 a≥ 74. 12 ③ 若 a＜ 0， g(x)＝ ax－ 2 在 [－ 2,2]上是減函數(shù)， g(x)∈ [2a－ 2， － 2a－ 2]，任給 x1∈ [－ 2,2]， f(x1)∈ ?? ??－ 52，－ 2 ∪ ?? ??－ 32， 32 ， 若存在 x0∈ [－ 2,2]使得 g(x0)＝ f(x1)成立， 則 ?? ??－ 52，－ 2 ∪ ?? ??－ 32， 32 － 2，－ 2a－??? 2a－ 2≤ － 52，－ 2a－ 2≥ 32，解得 a≤ － 74. 綜上，實數(shù) a 的取值范圍是 ?? ??－ ∞ ，－ 74 ∪ ?? ??74，＋ ∞ . 13 專題二 三角函數(shù)與平面向量 第 7 講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1. y＝ sin?? ??2x＋ π3 ， x∈ R 2. 10 3. 1 解析： f(x)＝ f?? ??π4 cosx＋ sinx， f′ (x)＝－ f′ ?? ??π4 sinx＋ cosx， f′ ?? ??π4 ＝－ 22 f′ ?? ??π4 ＋22 ， f′ ?? ??π4 ＝ 2－ 1， f(x)＝ ( 2－ 1)cosx＋ sinx， f?? ??π4 ＝ ( 2－ 1) 22 ＋22 ＝ 1. 4. 6 解析：平移后 f(x)＝ cos?? ??ωx－ ωπ3 ，與原來函數(shù)圖象重合，則 ωπ3 ＝ 2kπ， k∈ Z， ∵ ω＞ 0， ∴ ωmin＝ 6. 5. ?? ??－ 54， 1 解析： a＝ cos2x－ cosx－ 1＝ ?? ??cosx－ 12 2－ 54，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題． 6. 2＋ 2 2 解析： f(x)＝ 2sinπx4 ，周期為 8， f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ ? ＋ f(2 012)＝ f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ f(4)＝ 2＋ 2 2. 7. 2 解析： T＝ 2ππ2＝ 4，對任意 x∈ R，都有 f(x1)≤ f(x)≤ f(x2)成立， f(x)min＝ f(x1)， f(x)max＝ f(x2)，于是 |x1－ x2|min＝ T2＝ 2. 8. 23 解析：考查三角函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想．線段 P1P2的長即為 sinx 的值，且其中的 x滿足 6cosx＝ 5tanx，解 得 sinx＝ P1P2的長為 23. 9. 解： f(x)＝－ 2asin?? ??2x＋ π6 ＋ 2a＋ b， sin?? ??2x＋ π6 ∈ ?? ??－ 12， 1 ， 當 a＞ 0 時，－ 2a＋ 2a＋ b＝－ 5，－ 2a ?? ??－ 12 ＋ 2a＋ b＝ 1， ∴ a＝ 2， b＝－ 5； 當 a＜ 0 時，－ 2a＋ 2a＋ b＝ 1，－ 2a ?? ??－ 12 ＋ 2a＋ b＝－ 5， ∴ a＝－ 2， b＝ 1； a＝ 0，不存在．綜上， a＝ 2， b＝－ 5 或 a＝－ 2， b＝ 1. 10. 解： (1) 由最低點為 M?? ??2π3 ，－ 2 得 A＝ 2，由 T＝ π得 ω＝ 2πT ＝ 2ππ ＝ 2， 由點 M?? ??2π3 ，－ 2 在圖象上得 2sin?? ??4π3 ＋ φ ＝－ 2，即 sin?? ??4π3 ＋ φ ＝－ 1， 所以 4π3 ＋ φ＝ 2kπ－ π2，故 φ＝ 2kπ－ 11π6 (k∈ Z)． 又 φ∈ ?? ??0， π2 ，所以 φ＝ π6，所以 f(x)＝ 2sin?? ??2x＋ π6 . (2) 因為 x∈ ?? ??0， π12 ， 2x＋ π6∈ ?? ??π6， π3 ， 14 所以當 2x＋ π6＝ π6時，即 x＝ 0 時， f(x)取得最小值 1； 當 2x＋ π6＝ π3，即 x＝ π12時， f(x)取得最大值 3. 第 8 講 三角變換與解三角形 1. 3 解析： ∵ sin2α＋ cos2α＝ 14， ∴ sin2α＋ 1－ 2sin2α＝ 14， ∴ sin2α＝ 34， ∵ α∈ ?? ??0， π2 ， ∴ sinα＝ 32 ， ∴ α＝ π3， tanα＝ 3. 2. 5 23 解析：由正弦定理 asinA＝ bsinB，得 a＝ bsinAsinB ＝51322＝ 5 23 . 3. 5 解析： 12arcsinB＝ 2， c＝ 4 2，由余弦定理可求得 b. 4. 1 解析：由 sin2α＋ sinαcosα－ 2cos2α＝ 0，得 tan2α＋ tanα－ 2＝ 0， tanα＝ 1 或 tanα＝－ 2(舍 )， sin2α＝ 2sinαcosα＝ 2tanα1＋ tan2α＝ 21＋ 1＝ 1. 5. 4 解析：由余弦定理得 ba＋ ab＝ 6cosC， a2＋ b2ab ＝ 6a2＋ b2－ c22ab ， a2＋ b2＝ 32c2， tanCtanA＋tanCtanB＝ sinCcosC?? ??cosAsinA＋ cosBsinB ＝ 1cosC?? ??sin2CsinAsinB ＝2aba2＋ b2－ c2?? ??c2ab ＝ 2c2a2＋ b2－ c2，將 a2＋ b2＝ 32c2代入上式即可． 注： (1) 在用正、余弦定理處理三角形中的問題時，要么把所有關系轉(zhuǎn)化為邊的關系，要么把所有的關系都轉(zhuǎn)化為角的關系； (2) 本題也可以轉(zhuǎn)化為角的關系來處理． 6. 724 解析： tanα＝－ 34， tanβ＝－ 12， tan2β＝－ 43. 7. － 17 解析：由余弦定理得 c＝ a2＋ b2－ 2abcosC＝ 3， 故最大角為角 B. 8. 817 解析： 12bcsinA＝－ (b2＋ c2－ a2)＋ 2bc， 12bcsinA＝－ 2bccosA＋ 2bc， 2－ 12sinA＝ 2cosA， ?? ??2－ 12sinA 2＝ (2cosA)2＝ 4(1－ sin2A)， sinA＝ 817. 9. 解： (1) ∵ c2＝ a2＋ b2－ 2abcosC＝ 1＋ 4－ 4 14＝ 4， ∴ c＝ 2， ∴ △ ABC 的周長為 a＋ b＋ c＝ 1＋ 2＋ 2＝ 5. (2) ∵ cosC＝ 14， ∴ sinC＝ 1－ cos2C＝ 1－ ?? ??14 2＝ 154 ， ∴ sinA＝ asinCc ＝1542 ＝158 .∵ a＜ c， ∴ A＜ C，故 A為銳角， ∴ cosA＝ 1－ sin2A＝1－ ??? ???158 2＝ 78， ∴ cos(A－ C)＝ cosAcosC＋ sinAsinC＝ 78 14＋ 158 154 ＝ 1116. 15 10. 解： (1) sin2B＋ C2 ＋ cos2A＝ 1－ cos?B＋ C?2 ＋ cos2A＝ 1＋ cosA2 ＋ 2cos2A－ 1＝ 5950. (2) ∵ cosA＝ 45， ∴ sinA＝ 35， ∴ S△ ABC＝ 12bcsinA＝ 310bc， ∵ a＝ 2，由余弦定理得： a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA＝ 4， ∴ 85bc＋ 4＝ b2＋ c2≥ 2bc， bc≤ 10， ∴ S△ ABC＝ 12 bcsinA＝ 310bc≤ 3，當且僅當 b＝ c 時，取得最大值，所以當 b＝ c 時， △ ABC 的面積 S 的最大值為 3. 第 9 講 平面向量及其應用 1. ?? ??45，－ 35 或 ?? ??－ 45， 35 2. 10 解析： |α|＝ 1， |β|＝ 2， α⊥ (α－ 2β)，得 α(α－ 2β)＝ 0， αβ＝ 12， |2α＋ β|＝4α2＋ 4αβ＋ β2＝ 10. 3. π3 解析： ∵ (a＋ 2b)(a－ b)＝－ 6， ∴ |a|2－ 2|b|2＋ ab＝－ 6， ∴ ab＝ 1， cos〈 a， b〉＝ ab|a||b|＝ 12. 4. 4 解析：設 BC 邊中點為 D，則 AO→ ＝ 23AD→ ， AD→ ＝ 12(AB→ ＋ AC→ )， ∴ AO→ AC→ ＝ 13(AB→ ＋ AC→ )AC→ ＝ 13(3 2 cos60176。＋ 32)＝ 4. 5. (－ 3,1)或 (－ 1,1) 解析：設 a＝ (x， y)， ∴ a＋ b＝ (x＋ 2， y－ 1)， ∴ ????? y－ 1＝ 0，?x＋ 2?2＋ ?y－ 1?2＝ 1， ∴ ????? x＝－ 1，y＝ 1 或 ????? x＝－ 3，y＝ 1. 6. － 14 解析： AD→ BE→ ＝ 12(AB→ ＋ AC→ )?? ??23AC→ － AB→ ＝ 12?? ??－ 1＋ 23－ 13 12 ＝－ 14. 7. 1－ 2 解析：設 a＋ b＝ 2d，則 d 為單位向量． (a－ c)(b－ c)＝ 1－ (a＋ b)c ＝ 1－ 2dc＝ 1－ 2cos〈 d， c〉． 8. 2 解析：取 O 為坐標原點， OA 所在直線為 x 軸，建立直角坐標系，則 A(1,0)，B??? ???－ 12， 32 ，設 ∠ COA＝ θ，