單種群生態(tài)模型的解析解-sunxiaodan(編輯修改稿)
2025-07-26 12:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ()化減得 ()變量分離得 ()兩邊同時積分 ()即 ()得 ()兩邊求指數(shù)化簡得 ()得 ()從而得模型的解析解為 ()４、反向Rosenzweig模型 ()此模型又稱為Richards增長模型，進(jìn)一步發(fā)展了Logistic模型．與Logistic模型相比此模型改變了密度制約因子，減弱了對增長率的影響，使其更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果．與Rosenzweig模型的求解過程類似，可得此模型的解析解為 ()５、Von Bertalanffy’s growth equation[10] ()為了建立魚的體重增長模型，Von Bertalanffy 提出了這個模型．這里考慮到了生理上的新陳代謝使Logistic模型得到進(jìn)一步改善．為求解上述模型，令 則 ，從而．故原式化為 ()即 ()分離變量并積分得 ()得 ()整理得模型的解析解為 ()６、具有Allee效應(yīng)的Logistic模型［1］生物種群為了生存、繁殖和防御外敵侵犯，個體之間需要有共同的合作行動．當(dāng)種群數(shù)量或密度增加時，由于個體間的合作增加了種群的生殖成功率或成活率，即高的，也就是通常的種內(nèi)合作或Allee效應(yīng)．Allee效應(yīng)對一個種群的動態(tài)行為具有非常大的影響，它描述了當(dāng)種群水平低于某一閾值時會發(fā)生由生殖成功概率下降造成的種群負(fù)增長．所以，當(dāng)Allee效應(yīng)的強(qiáng)度處于一定范圍時，模型將產(chǎn)生一個除了以外的局部穩(wěn)定狀態(tài)，具有Allee效應(yīng)的Logistic模型的一般形式為： ()整理該方程得 ()分離變量并積分得 ()得 ()整理并取指數(shù)得 ()解得模型的解析解為，其中 () 離散模型連續(xù)模型描述了當(dāng)種群數(shù)量相對較大或世代是重疊時的種群增長規(guī)律．如果種群各個世代彼此不相重疊，如一年生植物和許多一年生殖一次的昆蟲，它們的增長不是連續(xù)的，而是分步的，稱為離散增長的，一般用差分方程來描述．許多時候離散模型比連續(xù)模型更能真實(shí)的刻畫種群的增長規(guī)律．記種群數(shù)量在每一代的凈增長率為，若設(shè)初始種群的密度為，下一代的種群數(shù)量為，第二代的數(shù)量為，依次類推，我們記第代的種群密度為．可得到下而的差分方程 ()當(dāng)種群數(shù)量非常非常小時，種群內(nèi)的相互競爭非常小或沒有，此時凈增長率不需要任何修改．以上差分方程成立．然而，隨著種群數(shù)量的增加，種群內(nèi)的競爭越來越強(qiáng)，這使得精確的凈增長率被這種競爭修正，并且一定存在一點(diǎn)使得競爭強(qiáng)到種群的數(shù)量不再增長，即充分接近１．此時的種群數(shù)量達(dá)到位種群的環(huán)境容納量．為簡單起見，我們假設(shè)比值與具有直線關(guān)系，該直線方程為 ()簡化上式得 ()記 ，則上式可簡化為 ()從()式可看出，當(dāng)考慮種群內(nèi)的競爭時凈增長率被因子代替,該因子與連續(xù)Logistic模型中的因子具有相同的作用．差分方程()就是ver tonHolt模型．為求解此模型將方程進(jìn)行變形 ()令，得 ()這是一個一階線性非齊次差分方程，先求其對應(yīng)的齊次方程的通解，齊次方程為 ()用形待定參數(shù)法，將代入方程（２）得，所以方程（２）的一般解為 ()其中為任意常數(shù)．再求其不變解，得由此得()的通解為 ()因?yàn)椋?，所以差分方?)的解為 ()因，可得 ()將代回上式得vet tonHolt模型的解析解為 ()3．非自治單種群模型任何一種生物都不能脫離特定的生活環(huán)境，當(dāng)考慮到環(huán)境對種群數(shù)量或增長規(guī)律的影響時，假設(shè)種群的增長率和環(huán)境容納量等參數(shù)為常數(shù)是不實(shí)際的，因此考慮這些參數(shù)隨時間改變的非自治單種群模型是十分必要的．
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