【文章內(nèi)容簡介】 tf所決定的。（4）在小波分析中，尺度 a 的值越大相當(dāng)于傅立葉變換中 的值越小。?（5）在短時傅立葉變換中，變換系數(shù) 主要依賴于信號在 片段中的),(??S],[????情況，時間寬度是 （因為 是由窗函數(shù) 唯一確定，所以 是一個定值） 。在小波?2tg?2變換中，變換系數(shù) 主要依賴于信號在 片段中的情況，時間寬度),(bWf ],[????ab是 ，該時間寬度是隨著尺度 a 變化而變化的，所以小波變換具有時間局部分析能力。??a2（6）若用信號通過濾波器來結(jié)實，小波變換與短時傅立葉變換不同之處在于：對短時傅立葉變換來說，帶通濾波器的帶寬 與中心頻率 無關(guān)；相反，小波變換帶通濾波f?f器的帶寬 則正比于中心頻率 ，即ff C 為常數(shù)fQ?亦即濾波器有一個恒定的相對帶寬，稱之為等 Q 結(jié)構(gòu)（ Q 為濾波器的品質(zhì)因數(shù)，且有 ） 。帶 寬中 心 頻 率?Q小波理論包括連續(xù)小波和二進小波變換，在映射到計算域的時候存在很多問題 ，因為兩者都存在信息冗余，在對信號采樣以后，需要計算的信息量還是相當(dāng)?shù)拇螅绕涫沁B續(xù)小波變換，因為要對精度內(nèi)所有的尺度和位移都做計算，所以計算量相當(dāng)?shù)拇?。而二進小波變換雖然在離散的尺度上進行伸縮和平移，但是小波之間沒有正交性，各個分量的信息攙雜在一起，為我們的分析帶來了不便。小波分析在信號處理中的應(yīng)用 江西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計7真正使小波在應(yīng)用領(lǐng)域得到比較大發(fā)展的是 Meyer 在 1986 年提出的一組小波，其二進制伸縮和平移構(gòu)成 的標(biāo)準(zhǔn)化正交基。在此結(jié)果基礎(chǔ)上， 1988 年 在構(gòu)造正)(2RL交小波時提出了多分辨分析的概念，從函數(shù)分析的角度給出了正交小波的數(shù)學(xué)解釋，在空間的概念上形象的說明了小波的多分辨率特性，給出了通用的構(gòu)造正交小波的方法，并將之前所有的正交小波構(gòu)造方法統(tǒng)一起來，并類似傅立葉分析中的快速傅立葉算法，給出了小波變換的快速算法——Mallat 算法。這樣，在計算上變得可行以后，小波變換在各個領(lǐng)域才發(fā)揮它獨特的優(yōu)勢，解決了各類問題，為人們提供了更多的關(guān)于時域分析的信息。形象一點說，多分辨分析就是要構(gòu)造一組函數(shù)空間，每組空間的構(gòu)成都有一個統(tǒng)一的形式，而所有空間的閉包則逼近 。在每個空間中，所有的函數(shù)都構(gòu)成該空間的標(biāo))(2RL準(zhǔn)化正交基，而所有函數(shù)空間的閉包中的函數(shù)則構(gòu)成 的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，那么，如果)(2RL對信號在這類空間上進行分解，就可以得到相互正交的時頻特性。而且由于空間數(shù)目是無限可數(shù)的，可以很方便地分析我們所關(guān)心的信號的某些特性 [2]。 傅里葉變換在信號處理中重要方法之—是傅立葉變換，它架起了時間域和頻率域之間的橋梁。對很多信號來說，傅立葉分析非常有用。因為它能給出信號令包含的各種頻率成分。但是、傅立葉變換有著嚴(yán)重的缺點：變換之后使信號失去了時間信息，它不能告訴人們在某段時間里發(fā)生了什么變化。而很多信號都包含有人們感興趣的非穩(wěn)態(tài)（或者瞬變）持性，如漂移、趨勢項、突然變化以及信號的升始或結(jié)束。這些特性是信號的最重要部分。因此傅里葉變換不適于分析處理這類信號。雖然傅立葉變換能夠?qū)⑿盘柕臅r域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號的時域和頻域觀察，但卻不能把二者有機地結(jié)合起來。這是因為信號的時域波形中不包含任何頻域信息。而其傅立葉譜是信號的統(tǒng)計特性，從其表達式中也可以看出，它是整個時間域內(nèi)的積分，沒有局部化分析信號的功能，完全不具備時域信息，也就是說，對于傅立葉譜中的某一頻率，不知道這個頻率是在什么時候產(chǎn)生的。這樣在信號分析中就面臨一對最基本的矛盾：時域和頻域的局部化矛盾。在實際的信號處理過程中，尤其是對非平穩(wěn)信號的處理中，信號在任一時刻附近的頻域特征都很重要。如柴油機缸蓋表面的震動信號就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生的，是一瞬變信號，僅從時域或頻域上來分析是不夠的。這就促使去尋找一種新方法，能夠?qū)r域和頻域結(jié)合起來描述觀察信號的時頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號的時頻譜。這就是所謂的時頻分析法，也稱為時頻局部化方法。由于標(biāo)準(zhǔn)傅立葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時域里不存在這種能力，Dennis Gabor 于 1946 年引入了短時傅立葉變換。短時傅立葉變換的基本思想是：把信號劃分成許多小的時間間隔，用傅立葉變換分析每一個時間間隔，以便確定該時間間隔存在的頻率。其表達式為 （）dtegtfSjR???????)(),(*其中*表示復(fù)共軛，g(t) 是有緊支集的函數(shù)， f(t)是進入分析的信號。在這個變換中，起著頻限的作用，g(t)起著時限的作用。隨著時間 的變化，g(t) 所確定的“時間窗”tje?在 t 軸上移動，是 f（t） “逐漸”進行分析。因此，g（t ）往往被稱之為窗口函數(shù)， XX：小波分析在信號處理中的應(yīng)用8大致反映了 f（t）在時刻 時、頻率為 的“信號成分”的相對含量。這樣信號在),(??S??窗函數(shù)上的展開就可以表示為在 、 這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一],[???],[???區(qū)域稱為窗口， 和 分別稱為窗口的時寬和頻寬，表示了時頻分析中的分辨率，窗寬越??小則分辨率就越高。很顯然，希望 和 都非常小，以便有更好的時頻分析效果，但還森?堡測不準(zhǔn)原理指出 和 是互相制約的，兩者不可能同時都任意小（事實上， ，且???21僅當(dāng) 為高斯函數(shù)時，等號成立） 24/1)(??tetg?由此可見，短時傅立葉變換雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅立葉不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當(dāng)窗函數(shù) g(t)確定后，矩形窗口的形狀就確定了， ， 只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀?？梢哉f短時??傅立葉變換實質(zhì)上是具有單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù)g(t)。因此，短時傅立葉變換用來分析平穩(wěn)信號猶可，但對非平穩(wěn)信號，在信號波形變化劇烈的時刻，主頻是高頻，要求有較高的時間分辨率（即 要小） ，而波形變化比較平緩?的時刻，主頻是低頻，則要求有較高的頻率分辨率（即 要?。?。而短時傅立葉變換不能?兼顧兩者。 小波變換 連 續(xù) 小 波 變 換設(shè) ，其傅里葉變換為 ，當(dāng) 滿足允許條件（完全重構(gòu)條件） 。??RLt2????w? （）???????????RdC2^?稱 為一個基本小波或母小波(Mother Wavelet)。它說明了基本小波在其頻域內(nèi)具??w有較好的衰減性。其中，當(dāng) 時，有 =0，即 同時有 。因0w????0????dt???0???此，一個允許的基本小波的幅度頻譜類似于帶通濾波器的傳遞函數(shù)。事實上，任何均值為零(即 )且在頻率增加時以足夠快的速度消減為零(空間局域化特征)的帶??0????dt?通濾波器的沖激響應(yīng)(傳遞函數(shù))，都可以作為一個基本小波。將母函數(shù) 經(jīng)過伸縮和平移后得到：t （）??0。,1, ?????????aRbattba其 中?稱其為一個小波序列。其中 a 為伸縮因子，b 為平移因子。通常情況下，基本小波以原點為中心，因此 是基本小波 以 為中心進行伸縮得到?；拘〔??t?t, ??t?被伸縮為 ( 時變寬，而 時變窄 )可構(gòu)成一組基函數(shù)。在大尺度 a 上，??at1?1?膨脹的基函數(shù)搜索大的特征，而對于較小的 a 則搜索細節(jié)特征。對于任意的函數(shù) 的連續(xù)小波變換為：??RLtf2?小波分析在信號處理中的應(yīng)用 江西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計9 （）????dtabtfafbaWRbf ???????????2,當(dāng)此小波為正交小波時，其重構(gòu)公式為： （）????btaCtff ????????????,12在小波變換過程中必須保持能量成比例，即： （）????dxfdbWdRRf 222,????由于基小波 生成的小波 在小波變換中對被分析的信號起著觀測窗的作用，??ttba,所以 還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件： ??t? （）???????dt故 是一個連續(xù)函數(shù)，這意味著為了滿足重構(gòu)條件式()， 在原點必須等于??w^ ??w^?零，即： （）??00^?????dt?此即說明 具有波動性。為了使信號重構(gòu)的實現(xiàn)上是穩(wěn)定的，除了滿足重構(gòu)條件外，??t?還要求 的傅立葉變換滿足如下穩(wěn)定性條件： （）??BwAj??????2^?式中， 。?B0連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：（1）線性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和（2）平移不變性：若 f（t）的小波變換為 ，則 的小波變換為),(baWf )(??tf),(??baWf（3）伸縮共變性：若 f（t）的小波變換為 ，則 f（ct ）的小波變換為,f，0),(1?ccf（4）自相似性：對應(yīng)不同尺度參數(shù) a 和不同平移參數(shù) b 的連續(xù)小波變換之間是自相似的。（5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。小波變換的冗余性事實上也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個方面：（1）由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說，信號 f（t ）的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對應(yīng)的。（2）小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù) 存在許多可能的選擇（例如，它們可以是)(,tba?XX：小波分析在信號處理中的應(yīng)用10非正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的） 。小波變換在不同的（a ，b ）之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因此，小波變換的冗余度應(yīng)盡可能減小，它是小波分析中的主要問題之一。離 散 小 波 變 換在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。因此有必要討論連續(xù)小波 和連續(xù)小波變換 的離散化。需要強調(diào)指出的是，這一離散化都??tba,???baWf,是針對連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù) b 的，而不是針對時間 t 的。這一點與我們以前的習(xí)慣不同。在公式()中，a ,b ∈R；a≠0 是容許的。為方便起見，在離散化中，總限制 a 只取正值。通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù) a 和平移參數(shù) b 的離散化公式分別取作 ，這里 ，擴展步長 是固定值，為方便起見，總是假定 。jjb0,?Zj?10? 10?a所以對應(yīng)的離散小波函數(shù) 即可寫作：??tkj, （）??0000,1kbtaabt jjokj ???????????而離散化小波變換系數(shù)則可表示為： （）??,. ???????kjkjkj fdttfC其重構(gòu)公式為： （）??tCtfkj,?????C 是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。如何選擇 和 ，才能保證重構(gòu)信號的精度呢？顯然，0ab網(wǎng)絡(luò)點應(yīng)盡可能密(即 和 盡可能的小)，因為如果網(wǎng)絡(luò)點越稀疏，使用的小波函數(shù)0ab和離散小波系數(shù) 就越少，信號重構(gòu)的精確度也就會越低。由于圖像是二維信號，??tkj,?kjC,因此首先需要把小波變換由一維推廣到二維。令 表示一個二維信號， 分別是??21,xf 21,x其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)， 表示二維的基本小波，對應(yīng)的尺度函數(shù)為 。若尺度??21,x? ???函數(shù)可分離，即： 。令 是與 對應(yīng)的一維小波函數(shù)，則二??2?????1?1?維小波可表示為以下三個可分離的正交小波基函數(shù)： （）??2121,xx?? （） （）????21213,xx?這說明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進行。先沿 方向分別用 和1x??1x?做分析，把 分解成平滑和細節(jié)兩部分，然后對這兩部分再沿 方向用??2x???21,xf 2和 做同樣分析，所得到的四路輸出中經(jīng) ， 處理所得的一路是第一級?1 ??1x?2平滑逼近 ，其它三路輸出 ， ， 都是細節(jié)函數(shù)。,A?21,xfD,f??13,fD如果把 和 的對應(yīng)頻譜 ， 設(shè)想成理想的半帶低通濾波器 和高通濾波11?w??h器 ，則 反映的是 , 兩個方向的低頻分量， 反映的是水平方g??2,xf1x2 21,xf小波分析在信號處理中的應(yīng)用 江西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計11向的低頻分量和垂直方向的高頻分量， 反映的是水平方向的高頻分量和垂直方??21,xfD向的低頻分量， 反映的是兩個方向的高頻分量。對圖像進行小波變換就是用低??213,xfD通濾波器 和高通濾波器 對圖像的行列進行濾波（卷積） ，然后進行二取一的下抽樣。hg在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論連續(xù)小波 和連續(xù)小波變換 的離散化。需要強調(diào)指出的是，這一離散)(,tba?),(baWf化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù) a 和連續(xù)平移參數(shù) b 的，而不是針對時間變量 t 的。這一點與我們以前習(xí)慣的時