【正文】 擇和改進(jìn)提供了數(shù)據(jù)參考和依據(jù)關(guān)鍵詞：信號(hào)；圖像銳化；圖像去噪；小波分析 CC 版權(quán)所有僅供參考?。。X：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用IIThe application of wavelet analysis in signal processingABSTRACTWavelet analysis is pure mathematics, applied mathematics and engineering the perfect bination. Wavelet transform is the audio signal processing of the image signal has an important significance. In conventional Fourier analysis, the signal is pletely expanded in the frequency domain, the frequency does not contain any information, which for some applications is very appropriate because of its frequency of the signal information is very important. But its timedomain information may be discarded for certain applications is also very important.The wavelet analysis is to overe the shorttime Fourier transform in a single resolution of defects, with the multiresolution analysis of the characteristics of the time domain and frequency domain signals are characterized by the ability of local information. But rather among the image signal is an important source of information, through image processing can help people understand the information content. This paper describes the principle of wavelet packet analysis, and based on MATLAB realization of twodimensional image signal denoising. Several monly used thresholding methods were analyzed and pared and Simulation. Finally, theoretical analysis and experimental results are discussed denoising process a variety of factors affect the performance of denoising. As in the actual image processing, wavelet packet thresholding method selection and improvement of a data reference and basis.Keywords: signal。 image denoising。能否從受擾信號(hào)中獲得去噪的信息，不僅與干擾的性質(zhì)和信號(hào)形式有關(guān)，也與信號(hào)的處理方式有關(guān)。目前有很多方法可用于信號(hào)降噪，如中值濾波，低通濾波，傅立葉變換等，但它們都濾掉了信號(hào)細(xì)節(jié)中的有用部分。根據(jù)有效信號(hào)的時(shí)域或頻域特性去除噪聲，而不能同時(shí)兼顧信號(hào)在時(shí)域和頻域的局部和全貌。近幾年來，許多文獻(xiàn)介紹了非平穩(wěn)信號(hào)去噪的小波閾值方法。常用的硬閾值法則和軟閾值法則采用設(shè)置高頻小波系數(shù)為零的方法從信號(hào)中濾除噪聲。閾值法則主要依賴于參數(shù)的選擇。閾值太小或太大，都會(huì)直接關(guān)系到信號(hào)去噪效果的優(yōu)劣。實(shí)際上，比較有效的閾值去噪方法往往根據(jù)小波分解的不同層次確定不同的閾值參數(shù)，進(jìn)而確定相應(yīng)的閾值法則。小波包變換是小波變換的推廣，它在表示信號(hào)時(shí)具有比小波變換更強(qiáng)的靈活性。因此小波包與信號(hào)去噪的閾值方法相結(jié)合具有更加良好的應(yīng)用價(jià)值。但其丟棄的時(shí)域信息可能對(duì)某些應(yīng)用同樣非常重要，所以人們對(duì)傅立葉分析進(jìn)行了推廣，提出了很多能表征時(shí)域和頻域信息的信號(hào)分析方法，如短時(shí)傅立葉變換，Gabor 變換，時(shí)頻分析，小波變換等。換言之，短時(shí)傅立葉分析只能在一個(gè)分辨率上進(jìn)行。而小波分析則克服了短時(shí)傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點(diǎn)，在時(shí)域和頻域都有表征信號(hào)局部信息的能力，時(shí)間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號(hào)的具體形態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整，在一般情況下，在低頻部分（信號(hào)較平穩(wěn)）可以采用較低的時(shí)間分辨率，而提高頻率的分辨率，在高頻情況下（頻率變化不大）可以用較低的頻率分辨率來?yè)Q取精確的時(shí)間定位。CC 提示請(qǐng)勿直接翻抄本文介紹了小波變換的基本理論，并介紹了一些常用的小波函數(shù)，它們的主要性質(zhì)包括緊支集長(zhǎng)度、濾波器長(zhǎng)度、對(duì)稱性、消失矩等，都做了簡(jiǎn)要的說明。小波分析在圖像處理中有非常重要的應(yīng)用，包括圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖像分解，圖像增強(qiáng)等。由于文本性質(zhì)決定故決定此次小波分析與信號(hào)處理將以圖片分析與處理作為示例。小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)3第二章 相關(guān)技術(shù)原理 小波分析的基本原理 小波是函數(shù)空間 中滿足下述條件的一個(gè)函數(shù)或者信號(hào) ：2()LR()x? （）2?().Cd???????式中， 表示非零實(shí)數(shù)全體， 是 的傅里葉變換， 成為小*{0}??()?x()x波母函數(shù)。其(,)中： 稱為伸縮因子； 稱為平移因子。顯然小波函數(shù)具有多樣性。實(shí)際應(yīng)XX：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用4用中應(yīng)根據(jù)支撐長(zhǎng)度、對(duì)稱性、正則性等標(biāo)準(zhǔn)選擇合適的小波函數(shù)。一般簡(jiǎn)??kh寫為 dbN，N 是小波的階數(shù)。 的消失矩為??N。但 的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達(dá)式。通常的用法是采用一個(gè)函數(shù)進(jìn)行分解，用另外一個(gè)小波函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)。（4）Coiflet（coifN）小波系coiflet 函數(shù)也是由 Daubechies 構(gòu)造的一個(gè)小波函數(shù)，它具有coifN（ N=1， 2，3，4，5 ）這一系列，coiflet 具有比 dbN 更好的對(duì)稱性。（5）SymletsA（symN ）小波系Symlets 函數(shù)系是由 Daubechies 提出的近似對(duì)稱的小波函數(shù)，它是對(duì) db 函數(shù)的一種改進(jìn)。（6）Morlet（morl ）小波Morlet 函數(shù)定義為 ，它的尺度函數(shù)不存在，且不具有正交性。墨西哥帽函數(shù)在時(shí)間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足 0)(????dx?由于它的尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性。 （）????????0)123(cos)2(in?2//1// ??????jje ]38,2[432????其中， 為構(gòu)造 Meyer 小波的輔助函數(shù)，且有)(a? （） [1]???????0)123(cos)2(?/1/ ?????? 3423????XX：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用6 傅立葉變換與小波變換 傅立葉變換與小波變換歷史小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓。它的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅立葉分析，二者是相輔相成的。（2）傅立葉變換用到基本函數(shù)只有 ，具有唯一性；小波分)xp(),cos(,sintitt?析用到的函數(shù)（即小波函數(shù)）則具有不唯一性，同一個(gè)工程問題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。（3）在頻域中，傅立葉變換具有較好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較簡(jiǎn)單的確定性信號(hào)，傅立葉變換很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式。事實(shí)上，f??f(f是關(guān)于頻率為 的諧波分量的振幅，在傅立葉展開式中，它是由 的整體性態(tài)df?? )(tf所決定的。?（5）在短時(shí)傅立葉變換中，變換系數(shù) 主要依賴于信號(hào)在 片段中的),(??S],[????情況，時(shí)間寬度是 （因?yàn)?是由窗函數(shù) 唯一確定，所以 是一個(gè)定值） 。??a2（6）若用信號(hào)通過濾波器來結(jié)實(shí)，小波變換與短時(shí)傅立葉變換不同之處在于：對(duì)短時(shí)傅立葉變換來說，帶通濾波器的帶寬 與中心頻率 無關(guān)；相反，小波變換帶通濾波f?f器的帶寬 則正比于中心頻率 ，即ff C 為常數(shù)fQ?亦即濾波器有一個(gè)恒定的相對(duì)帶寬，稱之為等 Q 結(jié)構(gòu)（ Q 為濾波器的品質(zhì)因數(shù)，且有 ） 。而二進(jìn)小波變換雖然在離散的尺度上進(jìn)行伸縮和平移，但是小波之間沒有正交性，各個(gè)分量的信息攙雜在一起，為我們的分析帶來了不便。在此結(jié)果基礎(chǔ)上， 1988 年 在構(gòu)造正)(2RL交小波時(shí)提出了多分辨分析的概念，從函數(shù)分析的角度給出了正交小波的數(shù)學(xué)解釋，在空間的概念上形象的說明了小波的多分辨率特性，給出了通用的構(gòu)造正交小波的方法，并將之前所有的正交小波構(gòu)造方法統(tǒng)一起來，并類似傅立葉分析中的快速傅立葉算法，給出了小波變換的快速算法——Mallat 算法。形象一點(diǎn)說，多分辨分析就是要構(gòu)造一組函數(shù)空間，每組空間的構(gòu)成都有一個(gè)統(tǒng)一的形式，而所有空間的閉包則逼近 。而且由于空間數(shù)目是無限可數(shù)的，可以很方便地分析我們所關(guān)心的信號(hào)的某些特性 [2]。對(duì)很多信號(hào)來說，傅立葉分析非常有用。但是、傅立葉變換有著嚴(yán)重的缺點(diǎn)：變換之后使信號(hào)失去了時(shí)間信息，它不能告訴人們?cè)谀扯螘r(shí)間里發(fā)生了什么變化。這些特性是信號(hào)的最重要部分。雖然傅立葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號(hào)的時(shí)域和頻域觀察，但卻不能把二者有機(jī)地結(jié)合起來。而其傅立葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，從其表達(dá)式中也可以看出，它是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，沒有局部化分析信號(hào)的功能，完全不具備時(shí)域信息，也就是說，對(duì)于傅立葉譜中的某一頻率，不知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的。在實(shí)際的信號(hào)處理過程中，尤其是對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理中，信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻域特征都很重要。這就促使去尋找一種新方法，能夠?qū)r(shí)域和頻域結(jié)合起來描述觀察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號(hào)的時(shí)頻譜。由于標(biāo)準(zhǔn)傅立葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時(shí)域里不存在這種能力，Dennis Gabor 于 1946 年引入了短時(shí)傅立葉變換。其表達(dá)式為 （）dtegtfSjR???????)(),(*其中*表示復(fù)共軛，g(t) 是有緊支集的函數(shù)， f(t)是進(jìn)入分析的信號(hào)。隨著時(shí)間 的變化，g(t) 所確定的“時(shí)間窗”tje?在 t 軸上移動(dòng)，是 f（t） “逐漸”進(jìn)行分析。這樣信號(hào)在),(??S??窗函數(shù)上的展開就可以表示為在 、 這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一],[???],[???區(qū)域稱為窗口， 和 分別稱為窗口的時(shí)寬和頻寬，表示了時(shí)頻分析中的分辨率，窗寬越??小則分辨率就越高。可以說短時(shí)??傅立葉變換實(shí)質(zhì)上是具有單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù)g(t)。而短時(shí)傅立葉變換不能?兼顧兩者。??RLt2????w? （）???????????RdC2^?稱 為一個(gè)基本小波或母小波(Mother Wavelet)。其中，當(dāng) 時(shí)，有 =0，即 同時(shí)有 。事實(shí)上，任何均值為零(即 )且在頻率增加時(shí)以足夠快的速度消減為零(空間局域化特征)的帶??0????dt?通濾波器的沖激響應(yīng)(傳遞函數(shù))，都可以作為一個(gè)基本小波。,1, ?????????aRbattba其 中?稱其為一個(gè)小波序列。通常情況下，基本小波以原點(diǎn)為中心，因此 是基本小波 以 為中心進(jìn)行伸縮得到。在大尺度 a 上，??at1?1?膨脹的基函數(shù)搜索大的特征，而對(duì)于較小的 a 則搜索細(xì)節(jié)特征。為了使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)上是穩(wěn)定的，除了滿足重構(gòu)條件外，??t?還要求 的傅立葉變換滿足如下穩(wěn)定性條件： （）??BwAj??????2^?式中， 。（5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。也就是說，信號(hào) f（t ）的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對(duì)應(yīng)的。小波變換在不同的（a ，b ）之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因此，小波變換的冗余度應(yīng)盡可能減小，它是小波分析中的主要問題之一。因此有必要討論連續(xù)小波 和連續(xù)小波變換 的離散化。這一點(diǎn)與我們以前的習(xí)慣不同。為方便起見，在離散化中，總限制 a 只取正值。jjb0,?Zj?10? 10?a所以對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù) 即可寫作：??tkj, （）??0000,1kbtaabt jjokj ???????????而離散化小波變換系數(shù)則可表示為： （）??,. ???????kjkjkj fdttfC其重構(gòu)公式為：