線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納整理(編輯修改稿)
2024-07-25 21:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 課本P4849（2）設(shè)A為mn矩陣，則對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘上一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣；（3）課本P51第3大題1行階梯形矩陣 與 行最簡(jiǎn)形矩陣（1）對(duì)任意一個(gè)非零矩陣，都可以通過(guò)若干次初等行變換（或?qū)Q列）化為行階梯型矩陣（2）行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形矩陣：若在矩陣中可畫(huà)出一條階梯線(xiàn)，線(xiàn)的下方全為0，每個(gè)臺(tái)階只有一行（臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)），階梯線(xiàn)的豎線(xiàn)（每段豎線(xiàn)的長(zhǎng)度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元素，也就是非零行的第一個(gè)非零元素，則稱(chēng)該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎(chǔ)上，若非零行的第一個(gè)非零元素為都為1，且這些非零元素所在的列的其他元素都為0，則稱(chēng)該矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣。例題：課本P4作業(yè)P6全部、課本P51第2大題1逆矩陣（1）設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB＝BA＝E，則稱(chēng)方陣A是可逆的，并稱(chēng)B為A的逆矩陣.（由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣）（2）如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的，并將A的逆矩陣記作A－1，AA－1＝E（3）n階方陣A可逆的充要條件為≠0，并且，當(dāng)A可逆時(shí)，A－1＝（證明詳見(jiàn)課本P54） 例題：課本P59第1大題（4）可逆矩陣也稱(chēng)為非奇異方陣（否則稱(chēng)為奇異方陣）（5）性質(zhì)：設(shè)A，B都是n階的可逆方陣，常數(shù)k≠0，那么① (A－1)－1＝A ② AT也可逆，并且(AT )1＝(A1)T③ kA也可逆，并且 (kA)1＝A1 ④ AB也可逆，并且(AB) 1＝B1A1⑤ A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)1≠A1＋B1⑥ AA1＝E AA1＝E＝1 AA1＝1 A1＝ 例題：、作業(yè)P7第1題（6）分塊對(duì)角矩陣的可逆性：課本P57（7）由方陣等式求逆矩陣：（8）單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的（初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過(guò)初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1≠0可逆，所以初等矩陣可逆）（9）初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣（10）任一可逆方陣都可以通過(guò)若干次初等行變換化成單位矩陣（11）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積（證明：課本P67）（12）利用初等行變換求逆矩陣：A1（例題：課本P6課本P71）（13）形如AX＝B的矩陣方程，當(dāng)方陣A可逆時(shí)，有A1 AX＝A1B，即X＝A1B.此時(shí)有：矩陣方程的例題：課本P3課本P6課本P41第6大題、課本P5課本P5課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P60第7大題、課本P71第3大題矩陣方程計(jì)算中易犯的錯(cuò)誤：課本P56“注意不能寫(xiě)成……”1充分性與必要性的證明題（1）必要性：由結(jié)論推出條件（2）充分性：由條件推出結(jié)論例題：課本P41第8大題、作業(yè)P5第5大題1伴隨矩陣（1）定義：課本P52 （2）設(shè)A為n階方陣（n≥2），則AA*＝A*A＝En（證明詳見(jiàn)課本P5354）（3）性質(zhì)：（注意伴隨矩陣是方陣）① A*＝A－1 ② (kA)* ＝ (kA)1 ＝ k nA1 ＝ k n A1 ＝ k n1A*（k≠0）③ |A*| ＝ | A－1 | ＝n| A－1| ＝ n（因?yàn)榇嬖贏－1，所以≠0 ）＝ n1④ (A*)* ＝ (A－1)* ＝ | A－1 |(A－1)－1 ＝ n | A－1|(A－1)－1 ＝ nA ＝ n2A （因?yàn)锳A－1 ＝ E，所以A－1的逆矩陣是A，即(A－1)－1 ）⑤ (AB) *＝B*A*⑥ (A*)1＝(A1) *＝（4）例題：課本P5課本P55 、課本P5課本P60第6大題、作業(yè)P7第2題、作業(yè)P8全部1矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：（1）定
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