【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 關(guān)故必能由線性表示,當(dāng)然可表為的線性組合. 證畢. 三、向量組的極大無關(guān)組及向量組的秩1．極大無關(guān)組的定義：（1）線性無關(guān)；（2）任給，都有線性相關(guān)，則稱是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.2．向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩；求向量組的極大無關(guān)組,并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法例10的行向量組的秩 ____________.測(cè)試點(diǎn) 矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系。答案 例11設(shè)是一個(gè)4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為（ ）A．1 B．2C．3 D．4測(cè)試點(diǎn) （1）向量組的秩的概念；（2）向量由向量組線性表示的概念 （3）向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念解 因?yàn)榭梢员頌榈木€性組合，且表示法惟一，必有線性無關(guān),因?yàn)樵O(shè)，由可以表為的線性組合，即故 由表示法惟一，有 于是有，故線性無關(guān)，又可以表為的線性組合，所以為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，故向量組的秩為3.答案 C例12設(shè)向量組（1）求向量組的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組；（2）將其余向量表為該極大線性無關(guān)組的線性組合.測(cè)試點(diǎn) 求向量組的極大無關(guān)組,并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法解 所以 原向量組的秩為， 為所求的極大無關(guān)組.四、子空間的定義，基、維數(shù)、向量在一組基下的坐標(biāo) 1. 維向量空間的定義：維實(shí)向量的全體構(gòu)成的集合稱為維向量空間，記為.2. 子空間的定義：設(shè)是的一個(gè)非空子集，且滿足對(duì)加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算封閉，則稱是的一個(gè)子空間,簡(jiǎn)稱為向量空間.：設(shè)則由它們的所有線性組合構(gòu)成的一個(gè)子空間，稱它為由生成的子空間.例13 設(shè)，說明哪個(gè)是子空間，那個(gè)不是.解析 在中，任取為任意數(shù)，都有所以是子空間.類似地，可以證明也是子空間.但對(duì)，取都屬于而這表明對(duì)加法運(yùn)算不封閉，故不是子空間. 4. 向量空間的基和維數(shù)的定義向量空間的一個(gè)向量組線性無關(guān)，且中每個(gè)向量都能由它線性表示，定義它為0維，否則，稱為在這組基下的坐標(biāo).例14向量空間為實(shí)數(shù)}的維數(shù)為_______________.測(cè)試點(diǎn) 向量空間維數(shù)的概念解 容易看出 是的一個(gè)基。答案 例15證明向量組是的一組基，則向量在這組基下的坐標(biāo)是____________.測(cè)試點(diǎn) 向量在一組基下的坐標(biāo)解 因?yàn)楣示€性無關(guān)，所以它是的一組基.考慮 該線性方程組的增廣矩陣為 得 所以在這組基下的坐標(biāo)是（即）答案 .例16 求由向量組生成的子空間的一個(gè)基，并說明該生成子空間的維數(shù).解析 顯然是的一個(gè)極大無關(guān)組，故是由向量組生成的子空間的一個(gè)基，所以該子空間的維數(shù)等于第四章 線性方程組一、線性方程組的三種表示方法 1. 2.，其中 .3． 其中二、齊次線性方程組1．齊次方程組有非零解的條件1）齊次方程組有非零解的充分必要條件是未知數(shù)的個(gè)數(shù)（即矩陣的列數(shù)）.2）n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是.3)，則齊次方程組必有非零解.(這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必要)例1．設(shè)為矩陣，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是（　　?。〢．的列向量組線性相關(guān) B．的列向量組線性無關(guān)C．的行向量組線性相關(guān) D．的行向量組線性無關(guān)測(cè)試點(diǎn) 齊次方程組有非零解與列向量組線性相關(guān)的關(guān)系.答案 A例2. 設(shè)是43矩陣，若齊次線性方程組只有零解，則矩陣的秩 _____________.測(cè)試點(diǎn) 。2根據(jù)系數(shù)矩陣的階數(shù),確定方程的個(gè)數(shù)和未知數(shù)的個(gè)數(shù).解析 線性方程組的系數(shù)矩陣的行數(shù)等于方程的個(gè)數(shù)，列數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)因?yàn)槭?3矩陣，故方程組的未知數(shù)的個(gè)數(shù)，故方程組只有零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩答案 ,則 .解析 有非零解而 故因?yàn)橛蟹橇憬?，則或答案 或 2. 齊次方程組解的結(jié)構(gòu)1）齊次方程組解的性質(zhì)設(shè)都是的解，則也是的解(C1，C2為任意常數(shù))2）齊次方程組的基礎(chǔ)解系的概念：（1）線性無關(guān)；（2）的任何一個(gè)解都可以表示為的線性組合，則稱為該齊次方程組的基礎(chǔ)解系.如果齊次方程組有非零解（即），則它有基礎(chǔ)解系.重要結(jié)論:齊次方程組的基礎(chǔ)解系含個(gè)線性無關(guān)的解；齊次方程組的任意個(gè)線性無關(guān)的解都構(gòu)成該齊次方程組的基礎(chǔ)解系；3）齊次方程組的基礎(chǔ)解系的求法例4 3元齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為 .測(cè)試點(diǎn) 齊次方程組的基礎(chǔ)解系 (定義。含幾個(gè)解向量。求法)解 因?yàn)辇R次方程組的系數(shù)矩陣為的秩為,未知數(shù)的個(gè)數(shù)為,所以其基礎(chǔ)解系含個(gè)解.答案 例5已知是齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則此方程組的基礎(chǔ)解系還可以選用A. B.D. 與等價(jià)的向量組測(cè)試點(diǎn) 特別是若齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系含4個(gè)解,則它的任意4個(gè)線性無關(guān)的解都是它的基礎(chǔ)解系。等價(jià)與等秩的區(qū)別4,齊次方程組解的性質(zhì).解 因?yàn)槭驱R次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,故都是齊次方程組的解,因?yàn)榕c等價(jià),故能由線性表示,所以該向量組的秩=4,又因?yàn)榈葍r(jià)的向量組有相等的秩,所以的秩也等于4,. 所以 D正確.答案 Dn矩陣的秩，是齊次線性方程組的三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為（　　　）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn) 齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的概念及所含解向量的個(gè)數(shù)。向量組線性相關(guān)性的判別解 顯然A,B,C選項(xiàng)中的三個(gè)向量都是線性相關(guān)的,而齊次方程組的基礎(chǔ)解系應(yīng)由線性無關(guān)的向量組組成.答案 D 3）齊次方程組的通解公式 如果是基礎(chǔ)解系，則它的通解為 ，其中為任意數(shù).例6求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系及通解.測(cè)試點(diǎn) 求齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解的方法解 取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),取為該齊次方程組的基礎(chǔ)解系,該齊次方程組的通解為 為任意數(shù))三．非齊次方程組 1．非齊次方程組解的性質(zhì)1）設(shè)都是的解，則是它的導(dǎo)出組的解.2）設(shè)都是的解，則當(dāng)時(shí)，也是的解.3）設(shè)是的一個(gè)解，是它的導(dǎo)出組的解,則是的解.例7已知是3元非齊次線性方程組的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)齊次線性方程組有一個(gè)非零解向量__________________.測(cè)試點(diǎn) 線性非齊次方程組解的性質(zhì) 解 答案 例8設(shè)齊次線性方程有解，而非齊次線性方程且有解,則是方程組_____________的解。測(cè)試點(diǎn) 線性方程組解的性質(zhì)答案 2．關(guān)于非齊次方程組解的討論定理 個(gè)未知數(shù)，個(gè)方程的線性方程組中，（系數(shù)矩陣是階矩陣）1）當(dāng)且僅當(dāng)（未知數(shù)的個(gè)數(shù)）時(shí)，方程組有惟一解；2）當(dāng)且僅當(dāng)（未知數(shù)的個(gè)數(shù)）時(shí)，方程組有無窮多解；3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程組無解.從以上定理可見1）線性方程組有解的充分必要條件是.2）當(dāng)線性方程組，方程的個(gè)數(shù)＝未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，該方程組有惟一解的充分必要條件是系數(shù)行列式.例9已知某個(gè)3元非齊次線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為：，若方程組無解，則的取值為____________.測(cè)試點(diǎn) ,則以為增廣矩陣的線性方程組與原方程組通解。 解 當(dāng)時(shí),故方程組無解.答案 .例10 如果非齊次線性方程組有解,則它有惟一解的充分必要條件是其導(dǎo)出組 .解 非齊次線性方程組有惟一解的充分必要條件是未知數(shù)的個(gè)數(shù)，而它恰是其導(dǎo)出組只有零解,沒有非零解的充要條件.答案 只有零解. 其中是方程的一個(gè)特解，為系數(shù)矩陣的秩，為它的導(dǎo)出組（與它對(duì)應(yīng)的）齊次方程組的基礎(chǔ)解系.例10設(shè)3元非齊次線性方程組的兩個(gè)解為，且系數(shù)矩陣的秩，則對(duì)于任意常數(shù) 方程組的通解可表為（　　?。? 測(cè)試點(diǎn) 。解 因?yàn)槎际欠驱R次方程組的解，故是它的導(dǎo)出組的解，又因?yàn)闉?元方程組，故它的基礎(chǔ)解系含一個(gè)解，即它的任何一個(gè)非零解都是它的基礎(chǔ)解系，故就是它的基礎(chǔ)解系，又是非齊次方程組的解，所以為的通解. 答案 C例11設(shè)3元非齊次線性方程組(1) 試判定當(dāng)為何值時(shí),方程組有無窮多個(gè)解?(2) 當(dāng)方程組有無窮多解時(shí),求出其通解(要求用它的一個(gè)特解和它導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).測(cè)試點(diǎn) 線性方程組的討論解所以 當(dāng)即時(shí),方程組無解。當(dāng) 即 時(shí)方程組有惟一解。當(dāng) 即時(shí),取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),取為方程組的特解, .例12 設(shè)向量可以由向量組線性表示,則數(shù)應(yīng)滿足的條件是A. B. C. D.解析 考察方程,其增廣矩陣為 故方程組有解時(shí),必有答案 C第五章 特征值與特征向量一、特征值與特征向量 1．特征值與特征向量的定義要點(diǎn)：是n階方陣的特征值，是指存在非零列向量，，是n階方陣的特征值，這時(shí)，齊次方程組的非零解都是矩陣屬于特征值的特征向量.例1 設(shè)為3階矩陣,為3階單位陣,若行列式,則的一個(gè)特征值為 【 】A. B. C. D. 測(cè)試點(diǎn) 為的特征值的充分必要條件是.解 因?yàn)?故所以必有一個(gè)特征值為.答案 B例2 已知矩陣的一個(gè)特征值為，則 ____________.測(cè)試點(diǎn) 為的特征值的充分必要條件是.解 為矩陣的一個(gè)特征值故.答案 例3 設(shè)3階矩陣的每行元素之和均為2,則必有一個(gè)特征值為 . 2. 解 因?yàn)?階矩陣的每行元素之和均為2, 所以必有一個(gè)特征值為.答案 例4設(shè)矩陣，則的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是（　　?。〢． B．C． D．解 的特征值為，當(dāng)時(shí)，所以，故的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解，這表明只有一個(gè)屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量，故的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是.答案 C 2．關(guān)于特征值、特征向量的性質(zhì)1）與有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）設(shè)都是矩陣屬于特征值的特征向量，是數(shù)，只要，則也是矩陣屬于特征值的特征向量；3) 設(shè)階方陣的個(gè)特征值為,則(2).4）矩陣屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。5）設(shè)是矩陣屬于特征值的特征向量，則是矩陣屬于特征值的特征向量，其中.6)，且是矩陣的特征值.3．特征值、特征向量的求法例5設(shè)階矩陣有一個(gè)特征值為,對(duì)于階單位矩陣,矩陣必有一個(gè)特征值為 .解 ,則,因?yàn)橛幸粋€(gè)特征值為,故必有一個(gè)特征值為例6設(shè)為n階可逆矩陣，已知有一個(gè)特征值為，則必有一個(gè)特征值為_____________.測(cè)試點(diǎn) 若 為可逆矩陣的一個(gè)特征值，則為矩陣的特征值.解 因?yàn)橛幸粋€(gè)特征值為，故有一個(gè)特征值為,所以必有一個(gè)特征值為.答案 .例7 已知是n階矩陣，且滿足方程,證明的特征值只能是或.測(cè)試點(diǎn) 設(shè)為的特征值，.證 設(shè)為的特征值，則必為的特征值，又因?yàn)?，故，二、相似矩? 設(shè)都是階方陣，如果存在可逆陣使得，則稱與相似.2. 相似矩陣的性質(zhì)1)反身性，對(duì)稱性，傳遞性；2）若方陣與相似，則與有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）進(jìn)而，且,其中表示矩陣的跡，即,為方陣的n個(gè)特征值；注意：反之，若與有相同的特征值，與不一定相似；例如有相同的特征值，但與不相似.例8 設(shè)3階矩陣與相似,且已知的特征值為則矩陣的跡 【 】A. 3 B. 2 測(cè)試點(diǎn)1. 相似矩陣的特征值相同。從而其跡和行列式也相同；.解 由已知的特征值也為故的跡答案 A例9 設(shè)3階矩陣與相似，且已知的特征值為. 則=（　　?。〢． B．C．7 D．12測(cè)試點(diǎn) (1) 相似矩陣的特征值相同。(2)設(shè)為矩陣的一個(gè)特征值,則為矩陣的特征值。為矩陣的特征值.(3)矩陣的特征值與該矩陣的跡和行列式的關(guān)系.解 因?yàn)?階矩陣與相似,所以與有相同的特征值,所以的特征值為,故的特征值為從而答案 A例10若2階矩陣相似于矩陣，為2階單位矩陣，則與矩陣相似的矩陣是（ ）A． B．C． D．測(cè)試點(diǎn) 相似矩陣的概念；相似矩陣的性質(zhì)（若與相似，則與相似；相似矩陣有相同的特征值等）；三角形矩陣的特征值解1 ，故與相似，所以，凡與矩陣相似的矩陣的特征值都是，故在A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中，正確的只能是C.解2因?yàn)槎A方陣有兩個(gè)不同的特征值，故與對(duì)角陣相似，同理也與對(duì)角陣相似，故與相似.答案 C 1)n階方陣能與對(duì)角陣相似的充分必要條件是有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量；設(shè)是方陣的n個(gè)特征值，則.2）若方陣有n個(gè)不同的特征值（即特征方程無重根），則必能與對(duì)角陣相似.（這是能與對(duì)角陣相似的充分條件，不是必要條件）例11 階矩陣與對(duì)角陣相似的充分必要條件是（ ）A 矩陣有個(gè)特征值 B 矩陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量C D 矩陣的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根答案 B例12 判斷能否與對(duì)角陣相