【正文】 。解 因為都是非齊次方程組的解，故是它的導(dǎo)出組的解，又因為為3元方程組，故它的基礎(chǔ)解系含一個解，即它的任何一個非零解都是它的基礎(chǔ)解系，故就是它的基礎(chǔ)解系，又是非齊次方程組的解，所以為的通解. 答案 C例11設(shè)3元非齊次線性方程組(1) 試判定當(dāng)為何值時,方程組有無窮多個解?(2) 當(dāng)方程組有無窮多解時,求出其通解(要求用它的一個特解和它導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).測試點 線性方程組的討論解所以 當(dāng)即時,方程組無解。答案 例15證明向量組是的一組基，則向量在這組基下的坐標(biāo)是____________.測試點 向量在一組基下的坐標(biāo)解 因為故線性無關(guān)，所以它是的一組基.考慮 該線性方程組的增廣矩陣為 得 所以在這組基下的坐標(biāo)是（即）答案 .例16 求由向量組生成的子空間的一個基，并說明該生成子空間的維數(shù).解析 顯然是的一個極大無關(guān)組，故是由向量組生成的子空間的一個基，所以該子空間的維數(shù)等于第四章 線性方程組一、線性方程組的三種表示方法 1. 2.，其中 .3． 其中二、齊次線性方程組1．齊次方程組有非零解的條件1）齊次方程組有非零解的充分必要條件是未知數(shù)的個數(shù)（即矩陣的列數(shù)）.2）n個未知數(shù)n個方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是.3)，則齊次方程組必有非零解.(這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必要)例1．設(shè)為矩陣，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是（　　?。〢．的列向量組線性相關(guān) B．的列向量組線性無關(guān)C．的行向量組線性相關(guān) D．的行向量組線性無關(guān)測試點 齊次方程組有非零解與列向量組線性相關(guān)的關(guān)系.答案 A例2. 設(shè)是43矩陣，若齊次線性方程組只有零解，則矩陣的秩 _____________.測試點 。 充分條件。類似地可定義初等列變換，初等行變換，初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.方陣經(jīng)初等變換后的行列式是否變化？（分別就三種初等變換說明行列式變化的情況）初等變換不改變方陣的可逆性；初等變換不改變矩陣的秩；行初等變換必能將矩陣化為行最簡形，初等變換必能將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形，其中為矩陣的秩.，從而有相等的等價標(biāo)準(zhǔn)形.1）初等矩陣的定義。測試點 。 （特征值相同的矩陣不一定相似） 若A~B，則 初等變換不改變矩陣的秩 例子：則 A=O A=I A=矩陣對角化定理：N階矩陣A與N階對角形矩陣相似的充要條件是A有N個線性無關(guān)的特征向量注：P與^中的順序一致 A~^,則^與P不是唯一的推論：若n階方陣A有n個互異的特征值，則 （P281）定理：n階方陣的充要條件是對于每一個重特征根，都有 注：三角形矩陣、數(shù)量矩陣的特征值為主對角線。非齊次線性方程組（II）解的結(jié)構(gòu)：解為 （II）的兩個解的差仍是它的解； 若是非齊次線性方程組AX=B的一個解，v是其導(dǎo)出組AX=O的一個解，則u+v是（II）的一個解。 若A可逆，則伴隨矩陣：A為N階方陣，伴隨矩陣： （代數(shù)余子式）特殊矩陣的逆矩陣：（對1和2，前提是每個矩陣都可逆） 分塊矩陣 則 準(zhǔn)對角矩陣， 則 （A可逆） （A可逆） 判斷矩陣是否可逆：充要條件是，此時求逆矩陣的方法：定義法伴隨矩陣法初等變換法 只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關(guān)系： 設(shè)是m*n階矩陣，則對A的行實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m階初等矩陣左乘以A：對A的列實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘以A （行變左乘，列變右乘） 第3章 線性方程組消元法 非齊次線性方程組：增廣矩陣→簡化階梯型矩陣 r(AB)=r(B)=r 當(dāng)r=n時，有唯一解；當(dāng)時，有無窮多解 r(AB)r(B)，無解 齊次線性方程組：僅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)n 當(dāng)齊次線性方程組方程個數(shù)未知量個數(shù)，一定有非零解 當(dāng)齊次線性方程組方程個數(shù)=未知量個數(shù)，有非零解充要|A|=0 齊次線性方程組若有零解，一定是無窮多個N維向量：由n個實數(shù)組成的n元有序數(shù)組。（轉(zhuǎn)置行列式） ②行列式中某兩行（列）互換，行列式變號。 克萊姆法則： 非齊次線性方程組 ：當(dāng)系數(shù)行列式時，有唯一解： 齊次線性方程組 ：當(dāng)系數(shù)行列式時，則只有零解 逆否：若方程組存在非零解，則D等于零 特殊行列式：①轉(zhuǎn)置行列式：②對稱行列式:③反對稱行列式: 奇數(shù)階的反對稱行列式值為零④三線性行列式: 方法：用把化為零。 定理：如果向量組線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表出，且 表示法唯一的充分必要條件是線性無關(guān)。 (α+β,)=(α,)+(α,)+(β,)+(β,)。 規(guī)范型：形如 的二次型，稱為規(guī)范型。.4）消去律：設(shè)方陣可逆，且，則必有.（若不知可逆，僅知結(jié)論不一定成立。測試點 求矩陣方程的解解 由 得故 其中所以 驗算第三章 向量空間一、維向量線性運算的定義和性質(zhì)。或整體無關(guān),則部分無關(guān))3) 若向量組線性無關(guān),則接長向量組 必線性無關(guān).3．判斷向量組線性相關(guān)性的方法1)一個向量線性相關(guān)； 2)含有零向量的向量組必線性相關(guān)；3)向量個數(shù)＝向量維數(shù)時，n維向量組線性相關(guān). 4)向量個數(shù)向量維數(shù)時, 向量組必線性相關(guān)；5)部分相關(guān)，則整體必相關(guān)；（整體無關(guān)，則部分必?zé)o關(guān)）.6)若向量組線性無關(guān)，則其接長向量組必線性無關(guān)；7)向量組線性無關(guān)向量組的秩＝所含向量的個數(shù)，向量組線性相關(guān)向量組的秩所含向量的個數(shù)。向量組線性相關(guān)性的判別解 顯然A,B,C選項中的三個向量都是線性相關(guān)的,而齊次方程組的基礎(chǔ)解系應(yīng)由線性無關(guān)的向量組組成.答案 D 3）齊次方程組的通解公式 如果是基礎(chǔ)解系，則它的通解為 ，其中為任意數(shù).例6求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系及通解.測試點 求齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解的方法解 取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),取為該齊次方程組的基礎(chǔ)解系,該齊次方程組的通解為 為任意數(shù))三．非齊次方程組 1．非齊次方程組解的性質(zhì)1）設(shè)都是的解，則是它的導(dǎo)出組的解.2）設(shè)都是的解，則當(dāng)時，也是的解.3）設(shè)是的一個解，是它的導(dǎo)出組的解,則是的解.例7已知是3元非齊次線性方程組的兩個解向量，則對應(yīng)齊次線性方程組有一個非零解向量__________________.測試點 線性非齊次方程組解的性質(zhì) 解 答案 例8設(shè)齊次線性方程有解，而非齊次線性方程且有解,則是方程組_____________的解。(2)設(shè)為矩陣的一個特征值,則為矩陣的特征值。測試點 用配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形解 令，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.相應(yīng)的線性變換為，即 例5 用配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的線性變換.解 令則原二次型 其中，整理后得所作的線性變換為： 五. 慣性定律和二次型的規(guī)范形定理 任意的元二次型，一定可以經(jīng)過可逆的線性變換化為規(guī)范形 而且其中的和是由原二次型惟一確定，與所做的變換無關(guān)，為規(guī)范形中系數(shù)取的項的個數(shù)，稱為該二次型的正慣性指數(shù)，為該二次型的秩，為為規(guī)范形中系數(shù)取的項的個數(shù)，稱為該二次型的負(fù)慣性指數(shù).例6二次型的正慣性指數(shù)p為（　　?。〢．0 B．1C．2 D．3測試點 二次型的正慣性指數(shù)的概念解 1答案 B例7 3元實二次型的規(guī)范形為 【 】A. B. C. D.測試點 二次型的由標(biāo)準(zhǔn)形化為規(guī)范形的方法解析 因為二次型的一個標(biāo)準(zhǔn)形為，故規(guī)范形為答案 D例8設(shè)矩陣，則二次型的規(guī)范形為（　　　）A． B．C． D．測試點 化二次型為規(guī)范形的方法解法1 所以矩陣的三個特征值為原二次型的一個標(biāo)準(zhǔn)形為所以原二次型的規(guī)范形為 解法2 令則 所以原二次型的規(guī)范形為 .答案 C 六．正定二次型與正定矩陣1．二次型正定性的定義及其判別方法定義 元二次型和對應(yīng)的實對稱矩陣1) 如果對任意的非零實向量，都有，則稱為正定（負(fù)定）二次型，稱為正定（負(fù)定）矩陣.2) 如果對任意實向量，都有，則稱為半正定（半負(fù)定）二次型，稱為半正定（半負(fù)定）矩陣.3) 其它的二次型稱為不定二次型，其它的實對稱矩陣成為不定矩陣.2．二次型正定（實對稱矩陣正定）的充分必要條件正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)＝.正定的充分必要條件是與單位陣合同.正定的充分必要條件是的所有特征值都大于零.正定的充分必要條件是的各階順序主子都大于零..3二次型正定性的判別方法元二次型正（負(fù)）定它的正（負(fù)）慣性指數(shù)＝；元二次型半正（負(fù)）定它的負(fù)（正）慣性指數(shù)＝0；元二次型不定它的正，負(fù)慣性指數(shù)都大于0.，則a的取值應(yīng)滿足_____________.解 該二次型的矩陣為,為使其正定所以a的取值應(yīng)滿足 4實對稱矩陣合同的充要條件實對稱矩陣矩陣與合同當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩和相同的正慣性指數(shù).()通過上述串講，可以看出，線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題的特點確實是主要考核大家對基本概念，基本公式，基本方法掌握的情況，同時，試題涉及的非常全面,考核的非常細(xì)，這就更要求我們復(fù)習(xí)得更加全面,，還是我們開始說的要狠抓基本，全面復(fù)習(xí)，把復(fù)習(xí)作細(xì) ，！謝謝大家.53線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點逐個擊破第一章 行列式（一）行列式的定義行列式是指一個由若干個數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個式子，它實質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進(jìn)行運算，其結(jié)果為一個確定的數(shù).1．二階行列式由4個數(shù)得到下列式子：稱為一個二階行列式，其運算規(guī)則為2．三階行列式由9個數(shù)得到下列式子：稱為一個三階行列式，它如何進(jìn)行運算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念.3．余子式及代數(shù)余子式設(shè)有三階行列式 對任何一個元素，我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成一個二階行列式，稱它為元素的余子式，記成例如 ，再記 ，稱為元素的代數(shù)余子式.例如 ，那么 ，三階行列式定義為我們把它稱為按第一列的展開式，經(jīng)常簡寫成　　4．n階行列式一階行列式 n階行列式 其中為元素的代數(shù)余子式.　5．特殊行列式上三角行列式下三角行列式對角行列式 （二）行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即性質(zhì)2 用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數(shù).性質(zhì)3 互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號.推論1 如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零.推論2 如果行列式中某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零.性質(zhì)4 行列式可以按行（列）拆開.性質(zhì)5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個數(shù)以后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D.定理1（行列式展開定理）n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和，即或前一式稱為D按第i行的展開式，后一式稱為D按第j列的展開式.本定理說明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值.定理2 n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）或（三）行列式的計算行列式的計算主要采用以下兩種基本方法：（1）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時要注意的是，在互換兩行或兩列時，必須在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k時，必須在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個“0”元素，再按這一行或這一列展開：　例1　計算行列式 　　解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是，利用這個元素可以把這一列其它兩個非零元素化為0，然后按第二列展開.　　例2 計算行列式 　　解：方法1　這個行列式的元素含有文字，在計算它的值時，切忌用文字作字母，這個行列式的特點是它的每一行元素之和均為（