【文章內容簡介】 遙遠距離下通過遙感獲取分辨率相對較高的同時保證成像幅寬較寬是重要課題之一。僅僅使用球面鏡并沒有辦法減免基于入瞳直徑增加而導致的像差（像差是指由于光通過鏡片的位置不太一樣，導致的折射率差異使得鏡面不能將一點所發(fā)出的所有光都聚焦于底片感光膜上的同一位置，使圖像變形或模糊不清等）。上世紀70年代，二次非球曲面與高次非球面逐漸被運用到空間遙感光學系統(tǒng)中。但隨著科研對幅寬的追求，要求空間遙感光學系統(tǒng)的視場不斷地增加，非球面也不能滿足要求。伴隨著光學加工技術前進的步伐、光學面形的檢測技術進步，自由曲面光學元件就逐步地得到了運用。國外一些知名的光學研究機構一直都致力于自由曲面應用于空間光學的研究。著名的HUBBLE望遠鏡在它修復空間遙感光學系統(tǒng)中使用了一面自由曲面發(fā)射鏡，有效地解決了使用前觀測距離相對較近的問題；JWST在它的紅外線光譜儀中也使用了一面自由曲面以達到平衡軸外像差的效果；歐空局研發(fā)的Leica——TMA空間相機，也是借助自由曲面來達到平衡像差的效果。由于自由曲面本身并非完全對稱，它的像差規(guī)律非常復雜，目前相關學者尚未完成對這類光學系統(tǒng)的像差函數(shù)化的歸納和推導。但由于其重要應用性，引起了越來越多學者的關注。 相機曲面與鏡頭焦距密切相關，如何設計曲面使得成像質量優(yōu)秀是關鍵問題。相機鏡頭的光學性能是通過開發(fā)、使用各類特殊的鏡片來實現(xiàn)的，相而片畫質的提高就是得益于這些特殊的鏡片。如果不借助先進的技術開發(fā)出這些特殊的鏡片，高性能相機鏡頭只能是天方夜譚。而非球面鏡片就是這些特殊鏡片中的一員。外表面是球面，同時也是曲面的鏡片就稱作非球面鏡片，與球面鏡片相比它的像差更小。 圖 42：球面鏡片產生的像差和非球面鏡片的聚焦單獨使用球面鏡片因其自身特性無法減免像差，往往是通過凹透鏡和凸透鏡的組合使用來消除像差，而非球面鏡片消除像差的效果相當于多片凹凸透鏡組合使用的效果。因此，非球面鏡片的應用為鏡頭的小型化提供了前提。此外，非球面鏡片還能為超廣角鏡頭非正常歪曲像差進行補償。相機界巨頭佳能最引以為榮的就是它的精細非球面鏡片。這些精密的非球面鏡片已經被佳能運用到超廣角鏡頭和超遠攝像頭的各種EF鏡頭中，這也是佳能可以在影像設備領域占據(jù)一席之地的重要原因。 減震器設計圓柱螺旋彈簧在機車工具領域中應用相當廣泛。而圓柱螺旋壓縮彈簧與解析幾何中的圓柱螺旋線密切相關。 圓柱螺旋線是空間解析幾何中的一種典型曲線。首先，我們回顧一下圓柱螺旋線方程的確定。一個質點一方面繞一條軸線作等角度的圓周運動，另一方面作平行于軸線的等速直線運動，其速度與角速度成正比，建立空間坐標系，假設該質點從A為起點運動，該質點的運動軌跡的坐標參數(shù)方程為：設代入上述參數(shù)方程得：再把參數(shù)消去得到該質點運動的曲線方程：圖 43：基于一般方程的圓柱螺旋曲線。這就是圓柱螺旋曲線的一般方程。圓柱螺旋壓縮彈簧就是基于此方程設計出來的，其性能（剛度、穩(wěn)定性等）與重要參數(shù)的數(shù)值范圍有著直接的聯(lián)系。外力等這些載荷使彈簧變形，使彈簧產生單位變形所需的載荷kp稱為彈簧剛度，即 圓柱螺旋壓縮彈簧的穩(wěn)定性主要與彈簧長細比以及旋繞比有關。對于圓柱螺旋壓縮彈簧，如其長細比較大時，則受力后容易失去穩(wěn)定性，這在工作中是不允許的。當壓縮彈簧兩端固定時，通常取b。旋繞比（其中D為彈簧的平均直徑，d為材料直徑），從彈簧的剛度條件公式可以看出C的大小對彈簧剛度的影響很大。C越大彈簧的剛度越小，彈簧工作時越容易顫動；C越小彈簧的剛度越大，彈簧越硬進而彈力越大，彈簧的卷制就越困難，所以合理地選擇旋繞比就能控制彈簧的彈力。通常旋繞比C值的取值范圍為4～16。因此，運用解析幾何進行數(shù)學建模是螺旋壓縮彈簧優(yōu)化設計的關鍵所在。 陶藝品 陶藝品不僅僅是一種商品，也是我國的文化遺產。以陶藝花瓶的制作和外型分析，制作流程分為拉坯、印坯、利坯、曬坯刻花、彩繪等，而拉坯就是一個幾何學知識應用的過程。將泥團放在轱轆車的轉盤中心，然后陶藝師用手和拉坯工具來改變瓶體的形狀，該過程可以用旋轉曲線表示。 圖 44：通過旋轉成型的花瓶與旋轉曲面轉盤的中心相當于旋轉軸，然后手和拉坯工具改變形態(tài)相當于旋轉體的母線，母線繞著軸旋轉形成旋轉曲面。幾何紋飾是常用的瓶體圖紋，常見的有回紋、條紋、花卉紋等，也是運用了一些幾何元素。 圖 45：回紋寶相花團和條紋 我國大多數(shù)的瓶型陶藝品都是腰圓肚大的外形，給人聳立、飽滿、美的感覺。而中國人潛意識里的視覺美仍是對稱一詞，這就導致了瓶器表面的畫面區(qū)域塊大多呈現(xiàn)出對稱的結果。事實上，旋轉手法的運用也是源于對稱之美。此外，救生圈、汽車輪胎、橄欖球等的設計都運用了幾何學知識。救生圈其實就是一個環(huán)面，將圓繞z軸旋轉所得的旋轉曲面，即在方程保持z不變，而圓繞著z軸旋轉而成的如圖46。圖 46：救生圈理論上的旋轉曲面橄欖球是將橢圓繞長軸（y軸）旋轉，在保留坐標y不變，用代z，從而得到曲面方程得到如圖47的長形旋轉橢球面。圖 47：橄欖球的幾何分析不難看出，工業(yè)設計及工業(yè)加工是藝術與科學的有機結合。光學系統(tǒng)、相機、陶藝品等離不開幾何學知識的支撐，這些幾何思維使工業(yè)品變得形象化、具體化，同時使我們的生活更加豐富多彩。5 流體力學中的幾何思維 飛機飛行中的流體力學飛機是速度最快的交通工具，它的出現(xiàn)深深影響和改變著我們的生活。下面探討飛機飛行過程中所應用的幾何學知識。眾所周知，飛機的整體密度是大于空氣密度的，飛機之所以可以在空中飛行，機翼和尾翼部分起著非常重要的作用。當飛機在空中飛行時，空氣會對飛機施加力，有升力也有阻力，機翼與空氣的相對運動產生了升力，飛機就是依靠空氣提供的升力實現(xiàn)升空飛行的[16]。機翼的設計和升力的由來理論知識來自于幾何中“面”的知識和伯努利著作《流體動力學》里的“邊界層表面效應”——當流體加快速度流過時，物體和流體的接觸面上的壓力會變小，相反，流速慢時壓力會變大，這就是著名的伯努利定律。圖 51：機翼和空氣流之間作用產生升力圖解飛機的主要的升力是由機翼產生的，當然諸如尾翼等也會產生部分升力，但微不足道。從圖51中飛機機翼的剖面圖可以發(fā)現(xiàn)機翼的下表面是一個平面，而上表面是一個凸曲面，這樣的設計使得一股空氣流到了機翼處時就分成了上下兩股，到了機翼后緣又匯聚在了一起，即在相等的時間內，機翼下表面的空氣流過的路程比上表面短，這樣機翼下表面的氣流速度要小于上表面的。由伯努利定律可知機翼上表面受到的壓力小于下表面的壓力，上下表面的壓力差就為飛機提供了一個垂直于相對氣流方向向上的升力，這個升力的大小與機翼面積和剖面形狀、空氣密度、飛機的迎風角、速度這些因素有關。當飛機速度較小時，為了獲得足夠的升力，工程師們對機翼設計做了一些調整，添加了前后緣襟翼。速度較小時襟翼偏轉機翼的彎曲度得到改變，這樣飛機就能獲得足夠支撐飛行的升力。飛機在起飛和降落時前后襟翼向下稍稍偏轉，這樣機翼上表面的氣流速度加快，下表面減慢，使得飛機速度較小時達到增加升力的效果，從而提高飛機起飛或降落時的安全性[16]。 高層建筑受到的風壓伴隨著我國國民經濟的飛快發(fā)展，高層建筑迅猛發(fā)展。下面探討高層建筑風壓調節(jié)所應用的幾何學知識。風壓的考慮是高層建筑設計中必不可少的一個重要部分?！吧砭痈呶弧钡臉菍佑L面積越大，樓層的外表面的風壓越大，在風的作用下，這些樓層承受著巨大的壓力。高空中由于氣壓的不同形成風，不同風向的風會給高層建筑表面施加大小不一的壓力。根據(jù)伯努利的理論及科學推算，高層建筑立面受到的風壓為，其中為風速，為流體密度。當風速過大時會導致立面不堪重壓發(fā)生外墻結構或者裝飾材料損毀事故。高層建筑受到的風壓和建筑本身的幾何外形有關，不同的幾何外形可以調節(jié)高層建筑立面受到的風壓。經過科學研究證明三角形、倒三角和Y形建筑比矩形和方形建筑受到的風壓更小，這就是為什么世界上大多數(shù)超高層建筑都是不規(guī)則的立面或者結構，例如科威特中央銀行新總部大廈，見下圖。圖 52：科威特中央銀行新總部大廈此外，許多高層建筑的立面玻璃幕墻或玻璃窗都是設計成有一定弧度的玻璃面，根據(jù)伯努利的理論，這些凸面會使得風的流速加快，從而減小建筑立面所受到的風壓。 動車組運行中受到的阻力伴隨社會經濟的快速發(fā)展，我國的鐵路運輸也在快速地發(fā)展、不斷地提速，京津城際動車組的運營便是在這個高速的時代下衍生出的產物。下面探討動車組運行中阻力與所用的幾何學知識。時速高達300km左右的動車組在運行過程中會與空氣流發(fā)生劇烈的摩擦，從而影響動車組的安全性和節(jié)能等。起初，據(jù)研究表明，當列車以300km每小時的速度運行時其受到的空氣阻力將占列車總的阻力的75%以上，這與國家號召的節(jié)能高效相差甚遠，而且巨大的阻力會嚴重限制實現(xiàn)提速的初衷。阻力與接觸面的大小成正比，阻力為，其中為動壓（為動車速度），為阻力系數(shù)，為動車最大橫截面積。圖53就是根據(jù)壓力公式對兩種不同車頭型的動車進行空氣動力學仿真模擬分析與風洞實驗得到的壓力分布云圖。 圖 53：模擬原來的頭型和改進后的頭型車頭壓力的分布云圖科研人員經過對動車組的研究，實現(xiàn)了對動車組的主要產生空氣阻力的部位——車頭、空調導流罩、車尾等進行了優(yōu)化設計，從而有效的減小了空氣阻力，實現(xiàn)列車的提速。主要通過對動車組車頭的設計進行流線化，車頭變得更長更尖更低矮，車頭的車窗更加傾斜，整個車頭變成更加流暢的曲面，這樣的設計能有效的減小車頭迎風面，從而降低其與空氣接觸，達到減小阻力的效果。同時這種流線型外形的車頭快速運行時空氣流快速流過車的上表面也會對動車組產生一定的浮力，減小動車組施加給地面的壓力，進而減小動車組與地面的摩擦力，達到減阻提速?？偠灾娴倪\用有效地為我們的生活“減壓”和提速，真正達到了幾何改變生活的效果。6 天文軍事中的幾何思維 21世紀以來，我國航天事業(yè)蓬勃發(fā)展。2003年，航天員楊利偉乘坐神舟五號飛船首次進入太空,圓了中華民族的千年飛天夢；2008年，神舟七號載多人圓滿完成航天飛行任務；2013年，“嫦娥三號”成功探月。國家用實際行動展現(xiàn)了祖國的繁榮與軍事實力?？赡茉S多人認為我國航天航空等軍事力量強大的背后是物理知識起著支撐作用，其實除了物理知識的支撐外，數(shù)學也在航天航空事業(yè)中起著非常重要的作用。下面我們探討天文軍事中不可或缺的幾何知識。 航天器運行中的幾何思維2008年9月25日，神舟七號飛船發(fā)射成功，自此飛船進行為期兩天多的載人航天飛行任務。在發(fā)射后的10分鐘，火箭和飛船到達離地面高度約為公里處實現(xiàn)分離，神舟七號飛船與火箭脫離后，進入離地球表面的遠地點、近地點的橢圓軌道運行。下面探討其中的幾何學知識。假設兩者的分離地點離地球球心的距