【正文】 同時，感謝所有任課老師和所有同學在這四年來給自己的指導和幫助，是他們教會了我專業(yè)知識，教會了我如何學習，教會了我如何做人。通過本文不難看出，幾何學的應用在我們的生活中無處不在，大到天體運動、城市規(guī)劃，小到服裝紋飾、一個圖案，并應用于各行各業(yè)：園林設計、建筑設計、機械加工及工業(yè)設計、流體力學、天文軍事、繪畫與服裝等等，它的重要性毋庸置疑；幾何思維不僅給我們的生活帶來許多的便捷、舒適與美感，還有助于解決工業(yè)設計技術(shù)難題，推動科技進步與創(chuàng)新，開闊人們發(fā)展思路，推動人類文化文明進程。正是有了這些優(yōu)雅、悅耳的音符，畫作才躍然于紙、煥發(fā)生機；我們的服飾文化才如此絢麗多彩。圖 79：棱形、格子、折線圖案的針織衫豎條、橫條、斜條等條紋圖案掀起了彩條飛揚之風，展現(xiàn)了濃郁的都市感，加強了針織衫的時尚范；象征著別具一格典雅氣質(zhì)的棱形，通過連接實現(xiàn)花紋的連續(xù)，為針織衫增添了更多的沉穩(wěn)和高貴，加強了服飾的可搭配性，提高了針織衫的檔次；豎線和橫線按照一定的規(guī)律相交形成的格子，或折曲定形變化，或切斷處理，或格線延伸變化，或幾種格子基本形排列搭配，構(gòu)成按照不同規(guī)律變化的格子圖案，為針織衫帶來了更多的活潑可愛的元素。除民族服飾外，大眾現(xiàn)代服飾也廣泛運用了幾何學知識。傣錦動植物圖案使用較少，大多以回紋、方形、回紋、棱形等幾何紋樣為主，同時再巧妙地以折線、直線、平行線作輔助構(gòu)成美觀、整齊、優(yōu)雅風格獨特的幾何圖案，而且在構(gòu)圖的過程中應用了軸對稱、中心對稱等原理，可謂直觀、生動的“民族服飾幾何”?；匦渭y多是自成一體連接成型，而盤絳紋則是做二方連續(xù)產(chǎn)生，自身簡單的幾何結(jié)構(gòu)使得它們多與別的一些復雜的圖案搭配在一起出現(xiàn)，起到增添服飾圖案的層次感和美感。幾何圖案是人類最早使用并一直沿用至今的服飾紋樣，彝族服飾的幾何圖案中又以人形舞蹈紋、八角紋、盤絳紋和回形紋最有名。圖 75：苗族織錦上的圖案：不同的基本幾何形通過四方連續(xù)構(gòu)成的對稱的回字形苗族服飾上的這些簡單的幾何圖案除了秀麗、美觀之外，還有著非常重要的圖騰文化含義。而抽象圖案主要以幾何圖案為主，這些幾何圖案基本上都是棱形、正方形、三角形和長方形等基本幾何形構(gòu)成的。苗族作為我國人口較多、最古老的民族之一，悠久、燦爛的歷史使它形成、積淀和保存了獨具一格的民族文化，在保有自己民族文字的同時心靈手巧的苗族人民縫制出了獨一無二的文化傳承紐帶——苗族服飾。如敦煌的裝飾紋樣《藻井圖》，在各個正方形的限制范圍內(nèi)，多單位的點重復擴散、著色，形成色彩不一但彼此關(guān)系協(xié)調(diào)的彩色面。黃賓虹的畫作，特別是其晚年的山水畫，三角弧隨處可見，以點、三角弧、S形的線為基本的符號作畫。線的靈動、飄逸感在國畫大師吳冠中先生的畫作里隨處可見，如在《荷塘》中線的運用把荷塘里的生命力、飄逸感栩栩如生地表現(xiàn)出來，或彎或直的枝干，搖曳的荷花，清晰的葉脈，荷塘岸邊等都是通過線來勾勒輪廓。元代永樂宮壁畫《朝元圖》中用渾圓有力、飽滿奔放的線條來描繪289位顧盼有神的天神以及各種景觀，悠長的畫線一氣呵成，讓畫作栩栩如生。線的神韻在筆下的一提一頓、或粗或細中體現(xiàn)。幾何思維對中國繪畫也有著深遠的影響。勃拉克受到該構(gòu)圖影響，也創(chuàng)作了不少極富立體感的佳作——《埃斯塔克的房屋》一系列作品。他的畫作就是對藝術(shù)家哈德羅惟妙惟肖的肖像畫因為幾何元素而給人一種沉穩(wěn)的感覺。耶穌坐在畫中最顯眼的位置——中軸線上，十二個門徒對稱分散著沒側(cè)坐六個；水平線、垂直線交叉構(gòu)成比例協(xié)調(diào)的網(wǎng)格窗戶。傳世佳作——《最后的晚餐》這幅大型壁畫，達西方藝術(shù)界馬列維奇、勃拉克、畢加索等藝術(shù)大師，在他們的作品中也都或多或少地體現(xiàn)幾何思維。意大利著名繪畫大師達綜上所述，航天器與導彈的研發(fā)、設計、發(fā)射運行所用到的運動軌跡、運動方向的預設和后期控制都離不開幾何知識的幫助。導彈是以傾斜的狀態(tài)發(fā)射，即導彈的縱橫線和發(fā)射地點的大地水平面構(gòu)成一個傾角的發(fā)射，這種發(fā)射方式就叫作傾斜發(fā)射。當今世界上各個國家現(xiàn)役的大部分彈道導彈都是采用垂直發(fā)射方式。這些都涉及到發(fā)射的方向以及導彈的幾何軌跡。導彈發(fā)射的精準度涉及到導彈的外形以及發(fā)射的方向，這些都涉及到幾何學理論。但綜上可看出，幾何學知識在嫦娥探月過程中起著舉足輕重的作用，特別是在探測器進行軌道變軌的幾個過程，經(jīng)過了幾次由橢圓軌道到圓形軌道、圓形軌道到橢圓軌道的變軌，才有之后的軟著陸成功，實現(xiàn)對月球表面的實地考察。要使探測器最后進入到預定目的地，需要經(jīng)過幾次火箭助推加速：運載火箭發(fā)射，進入轉(zhuǎn)移橢圓軌道；星載發(fā)動機點火實現(xiàn)助力變軌，進入繞月橢圓軌道；星載發(fā)動機再點火使飛船實現(xiàn)變軌，進入停泊的圓形軌道；最后星載發(fā)動機再次發(fā)揮作用，進入到極月小橢圓軌道等過程。14日，“嫦娥三號”探測器順利在月球表面預先選定的地區(qū)著陸。神舟七號飛船就是通過這樣的幾何和物理原理在遠地點借助自帶推進器的推動實現(xiàn)橢圓軌道到圓形軌道，或者圓形軌道到橢圓軌道之間變軌運動的。當時，神舟飛船所受到的萬有引力還不足以提供飛船繞地心做圓周運動時所需要的向心力，這時飛船將會做離心運動遠離地球如圖61所示。圖61表示了神舟七號飛船與火箭脫離時的受力情況。 航天器運行中的幾何思維2008年9月25日，神舟七號飛船發(fā)射成功，自此飛船進行為期兩天多的載人航天飛行任務。2003年，航天員楊利偉乘坐神舟五號飛船首次進入太空,圓了中華民族的千年飛天夢；2008年，神舟七號載多人圓滿完成航天飛行任務；2013年，“嫦娥三號”成功探月。主要通過對動車組車頭的設計進行流線化，車頭變得更長更尖更低矮，車頭的車窗更加傾斜，整個車頭變成更加流暢的曲面，這樣的設計能有效的減小車頭迎風面，從而降低其與空氣接觸，達到減小阻力的效果。起初，據(jù)研究表明，當列車以300km每小時的速度運行時其受到的空氣阻力將占列車總的阻力的75%以上，這與國家號召的節(jié)能高效相差甚遠，而且巨大的阻力會嚴重限制實現(xiàn)提速的初衷。圖 52：科威特中央銀行新總部大廈此外，許多高層建筑的立面玻璃幕墻或玻璃窗都是設計成有一定弧度的玻璃面，根據(jù)伯努利的理論，這些凸面會使得風的流速加快，從而減小建筑立面所受到的風壓。根據(jù)伯努利的理論及科學推算，高層建筑立面受到的風壓為，其中為風速，為流體密度。下面探討高層建筑風壓調(diào)節(jié)所應用的幾何學知識。當飛機速度較小時，為了獲得足夠的升力，工程師們對機翼設計做了一些調(diào)整，添加了前后緣襟翼。機翼的設計和升力的由來理論知識來自于幾何中“面”的知識和伯努利著作《流體動力學》里的“邊界層表面效應”——當流體加快速度流過時，物體和流體的接觸面上的壓力會變小，相反，流速慢時壓力會變大，這就是著名的伯努利定律。5 流體力學中的幾何思維 飛機飛行中的流體力學飛機是速度最快的交通工具，它的出現(xiàn)深深影響和改變著我們的生活。救生圈其實就是一個環(huán)面，將圓繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面，即在方程保持z不變，而圓繞著z軸旋轉(zhuǎn)而成的如圖46。 圖 45：回紋寶相花團和條紋 我國大多數(shù)的瓶型陶藝品都是腰圓肚大的外形，給人聳立、飽滿、美的感覺。以陶藝花瓶的制作和外型分析，制作流程分為拉坯、印坯、利坯、曬坯刻花、彩繪等，而拉坯就是一個幾何學知識應用的過程。C越大彈簧的剛度越小，彈簧工作時越容易顫動；C越小彈簧的剛度越大，彈簧越硬進而彈力越大，彈簧的卷制就越困難，所以合理地選擇旋繞比就能控制彈簧的彈力。外力等這些載荷使彈簧變形，使彈簧產(chǎn)生單位變形所需的載荷kp稱為彈簧剛度，即 圓柱螺旋壓縮彈簧的穩(wěn)定性主要與彈簧長細比以及旋繞比有關(guān)。首先，我們回顧一下圓柱螺旋線方程的確定。這些精密的非球面鏡片已經(jīng)被佳能運用到超廣角鏡頭和超遠攝像頭的各種EF鏡頭中，這也是佳能可以在影像設備領域占據(jù)一席之地的重要原因。 圖 42：球面鏡片產(chǎn)生的像差和非球面鏡片的聚焦單獨使用球面鏡片因其自身特性無法減免像差，往往是通過凹透鏡和凸透鏡的組合使用來消除像差，而非球面鏡片消除像差的效果相當于多片凹凸透鏡組合使用的效果。相機鏡頭的光學性能是通過開發(fā)、使用各類特殊的鏡片來實現(xiàn)的，相而片畫質(zhì)的提高就是得益于這些特殊的鏡片。著名的HUBBLE望遠鏡在它修復空間遙感光學系統(tǒng)中使用了一面自由曲面發(fā)射鏡，有效地解決了使用前觀測距離相對較近的問題；JWST在它的紅外線光譜儀中也使用了一面自由曲面以達到平衡軸外像差的效果；歐空局研發(fā)的Leica——TMA空間相機，也是借助自由曲面來達到平衡像差的效果。上世紀70年代，二次非球曲面與高次非球面逐漸被運用到空間遙感光學系統(tǒng)中。此外，幾何學中的球面、非球曲面以及自由曲面廣泛應用于空間遙感光學系統(tǒng)中。上述的兩個公式坐標變換為； 也就是通過坐標軸的移動就可以得到曲線，如圖41。圖 41：曲線和曲線這種曲線分析法是以高斯公式中的作為縱軸，作為橫軸時所作出的圖像。我們知道，高斯公式普遍適用于光學系統(tǒng)的成像問題，運用高斯該公式可定量討論光學系統(tǒng)的成像問題。 圖 37：典型教堂建筑（圣彼得堡大教堂）的俯視的平面布局圖和窗這些教堂的整體構(gòu)造是以軸對稱或者中心對稱建造具有“Koch曲線”的分形特征的自相似建筑群體，精細的建筑構(gòu)件重復地出現(xiàn)，從教堂裝飾花紋到窗戶再到各面墻體都是有自相似韻律的編排將教堂設計成逐漸地變化親近人們同時又恢弘而有趣的建筑。1975年，數(shù)學家曼德爾布羅特在他的著作《分形：形式、偶然、維數(shù)》中首次使用了“分形”這個詞語。整個建筑體不管是表面還是內(nèi)在，都是通過對連續(xù)變換、平滑流暢過渡、曲線幾何形的空間形態(tài)研究后設計出來的。哈迪德就是非歐幾何的擁護者，流暢建筑形態(tài)、玲瓏柔順的曲線是她作品中最常見的構(gòu)圖思維。 非歐幾何學思維運用歐氏幾何在其問世開始的兩千多年一直占據(jù)著空間，隨著羅巴切夫斯基提出了非歐幾何學這個概念之后，情況慢慢的發(fā)生了微妙的變化。下圖為其設計在國際上備受贊譽的波爾圖音樂廳。赫爾佐格的構(gòu)思來源于我國古典園林的隔扇，選取一個展開立方體面，再將其圍成一個立方體，然后對這個新圍成的立方體按照隔扇的孔洞進行拓撲學的變換，就產(chǎn)生了這個復雜的拓撲空間。從幾何平面和剖面的角度來理解莫比烏斯環(huán)面，它展現(xiàn)出來的連續(xù)面構(gòu)成的空間讓人有一種共享空間的錯覺。著名的莫比烏斯大廈整個頂部的造型就是一個龐大而極具藝術(shù)氣息的莫比烏斯畫面，聯(lián)合網(wǎng)絡工作室在構(gòu)思設計這個建筑的時候非常巧妙的通過概念圖解的方式形象的表述了莫比烏斯環(huán)面這一空間概念。另外，我們熟悉的北京奧運主場館“鳥巢”是通過線的交錯搭建而成，看似不規(guī)則，其實包含著幾何學和力學的知識，“鋼鐵線”來回穿梭遍布整個主館的外表面，簡約而又不失藝術(shù)感。三角形、圓、矩形等線與面成為設計師們最常使用的設計語言。水體、山石是以面為單位布局構(gòu)成景觀區(qū)域，如鏡般平靜的水面在增添園林靈氣的同時給予人的心靈撫慰；一片片高矮不一的山石為園林賦予層次感的同時又豐富