【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，將此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來(lái)，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波分析的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相似于快速傅立葉分析算法在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。關(guān)于多分辨分析的原理，我們以一個(gè)三層的分解進(jìn)行說(shuō)明， 所示。S D1A1 D2A2 D3A3 三層多分辨率分析樹(shù)結(jié)構(gòu)圖從圖中可以看出，多分辨率分析只是對(duì)低頻部分進(jìn)行一步分解，而高頻部分則不予考慮。分解的關(guān)系為。另外強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，這里只是以一個(gè)層分解進(jìn)行說(shuō)明，如果要進(jìn)一步的分解，則可以把低頻部分分解成低頻部分和高頻部分，以下分解則類推可得[20]。 在多分辨分析中，分解的最終目的是力求構(gòu)造一個(gè)在頻率上高度逼近空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器。從上面的多分辨分析樹(shù)結(jié)構(gòu)圖可以看出，多分辨率分析只對(duì)低頻空間進(jìn)行進(jìn)一步的分解，使得頻率的分辨率變得越來(lái)越高[14],[15]。 我們稱滿足下列條件的中的一列子空間及一個(gè)函數(shù)為一個(gè)正交Multiresolution Analysis(MRA)(多尺度/多分辨分析)： （1） （2） （3） （4） （5），且是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，稱為此MRA的尺度函數(shù)/父函數(shù)。 基于閾值的小波分析去噪方法 小波閾值去噪方法認(rèn)為對(duì)于小波系數(shù)包含有信號(hào)的重要信息，其幅值較大，但數(shù)目較少，而噪聲對(duì)于的小波系數(shù)是一致分布的，個(gè)數(shù)較多，但幅值小?；谶@一思想，Donoho等人提出軟閾值和硬閾值去噪方法[22]，即在眾多小波系數(shù)中，把絕對(duì)值較小的系數(shù)置為零，而讓絕對(duì)值較大的系數(shù)保留或收縮，分別對(duì)應(yīng)于硬閾值和軟閾值方法，得到估計(jì)小波系數(shù)（Estimated Wavelet Coefficients，簡(jiǎn)記為EWC），然后利用估計(jì)小波系數(shù)直接進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，即可達(dá)到去噪的目的。1995年，Donoho提出一種新的基于閥值處理思想的小波域去噪技術(shù)。它也是對(duì)信號(hào)先求小波分析值。再對(duì)小波分析值進(jìn)行去噪處理。最后反分析得到去噪后的信號(hào)。去噪處理中閾值的選取是基于近似極大極小化思想，以處理后的信號(hào)與原信號(hào)以最大概率逼近為約束條件。然后考慮采用軟閾值，并以此對(duì)小波分析系數(shù)做處理，能獲得較好的去噪效果，有效提高信噪比。 含噪聲信號(hào)的小波分析特性運(yùn)用小波分析進(jìn)行信號(hào)消噪處理是小波分析的一個(gè)重要應(yīng)用。一個(gè)含噪聲的一維信號(hào)的模型可以表示成如下形式： 其中，為真實(shí)信號(hào)，為噪聲信號(hào)，是噪聲的系數(shù)，為含噪聲的信號(hào)。本文以一個(gè)最簡(jiǎn)單的噪聲模型加以說(shuō)明，即認(rèn)為為高斯白噪聲，噪聲級(jí)（noise level）為1。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，有用信號(hào)通常是表現(xiàn)為低頻部分或是一些比較平穩(wěn)的信號(hào)，而噪聲通常表現(xiàn)為高頻的信號(hào)，所以消噪的過(guò)程可以按以下方法進(jìn)行：首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解，則噪聲部分通常包含在里，因而，可以以閾值形式對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)即可以達(dá)到消噪的目的。對(duì)信號(hào)消噪的目的就是要抑制信號(hào)中的噪聲部分，從而在中恢復(fù)出真實(shí)信號(hào)。 一般來(lái)說(shuō)，一維信號(hào)的消噪處理過(guò)程分為以下三個(gè)步驟進(jìn)行：（1） 一維信號(hào)的小波分解。選擇一個(gè)小波并確定一個(gè)小波分解的層次，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行層小波分解。（2） 小波分解高頻系數(shù)的閾值量化。從第一層到第層的每一層高頻系數(shù)選擇一個(gè)閾值進(jìn)行軟閾值量化處理。（3） 一維小波的重建。根據(jù)小波分解的第層的低頻系數(shù)和經(jīng)過(guò)量化處理后的第一層到第層的高頻系數(shù)，進(jìn)行一維信號(hào)的小波重構(gòu)。 小波消噪閾值的選取規(guī)則 1. 通用閾值(Sqtwolog規(guī)則)[21] 設(shè)含噪信號(hào)在尺度1到（1）上通過(guò)小波分解得到小波系數(shù)的個(gè)數(shù)總和為，為二進(jìn)尺度，附加噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差是，則通用閾值為： 該方法的依據(jù)為個(gè)具有獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)高斯變量中的最大值小于的概率隨著的增大而趨于1。若被測(cè)信號(hào)含有獨(dú)立同分布的噪聲時(shí)，經(jīng)小波分析后，其噪聲部分的小波系數(shù)也是獨(dú)立同分布的。如果具有獨(dú)立同分布的噪聲經(jīng)小波分解后，它的系數(shù)序列長(zhǎng)度很大，則可知：該小波系數(shù)中最大值小于的概率接近于1，即存在一個(gè)閾值，使得該序列所有的小波系數(shù)都小于它。小波系數(shù)隨著分解層次的加深，其長(zhǎng)度也越來(lái)越短，根據(jù)的計(jì)算公式，可知該閾值也越來(lái)越小，因此在假定噪聲具有獨(dú)立同分布特性的情況下，可通過(guò)設(shè)置簡(jiǎn)單的閾值來(lái)去除噪聲。2. Stein無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值（rigrsure規(guī)則）[22]這是一種基于stein的無(wú)偏似然估計(jì)原理的自適應(yīng)閾值選擇。對(duì)于一個(gè)給定的閾值，得到它的似然估計(jì)，再將非似然最小化，就得到所選的閾值。具體的選擇規(guī)則為：設(shè)W為一向量，其元素為小波系數(shù)的平方并按照有大到小的順序排列，即，的含義同上。再設(shè)一風(fēng)險(xiǎn)向量，其元素為 以元素中的最小值作為風(fēng)險(xiǎn)值，有的下標(biāo)變量求出對(duì)應(yīng)的，則閾值為： 3. 試探法的Stein無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值（heursure規(guī)則）[23]是前兩種閾值的綜合，是最優(yōu)預(yù)測(cè)變量閾值選擇。如果信噪比很小，SURE估計(jì)有很大的噪聲，適合采用這種固定的閾值。具體的閾值選擇規(guī)則為：設(shè) W 為n個(gè)小波系數(shù)的平方和，令： , 以及，則有 。 4. 最大最小準(zhǔn)則閾值(minmax規(guī)則)[24]這種方法采用的也是固定閾值，產(chǎn)生一個(gè)最小均方誤差的極值，而不是誤差。這種極值原理在統(tǒng)計(jì)學(xué)上常備用來(lái)設(shè)計(jì)估計(jì)器。被去噪的信號(hào)可以被看作與未知回歸函數(shù)的估計(jì)式相似，這種極值估計(jì)器可以在一個(gè)給定的函數(shù)集中實(shí)現(xiàn)最大均方誤差最小化。具體的閾值選取規(guī)則為：； 在式中，作為小波系數(shù)的個(gè)數(shù)，為噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差，表示尺度為1的小波系數(shù)，式中的的分子部分表示對(duì)分解出的第一級(jí)小波系數(shù)取絕對(duì)值后再取中值[15],[16]。 小波基的選擇對(duì)應(yīng)于特定的含噪圖像，不同的小波基會(huì)產(chǎn)生不同的消噪效果，這是小波方法進(jìn)行圖像消噪中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。小波基的選擇涉及小波基的類型方面的問(wèn)題。在同一幅圖像中，既有平滑的區(qū)域，又有突變的區(qū)域。在平滑區(qū)域中，一般采用高正則階、高消失矩的光滑小波基函數(shù)。因?yàn)檫x擇具有較高階消失矩的小波函數(shù)，能檢測(cè)圖像信號(hào)中更精細(xì)的奇異性，在重構(gòu)時(shí)，圖像中的細(xì)節(jié)才能得以更多的恢復(fù)。在突變區(qū)域中，要采用緊支撐的小波基。Daubechies基是具有緊支集的光滑正交小波基，和沒(méi)有顯示的解析式。Daubechies小波的光滑性由其支集的長(zhǎng)度來(lái)確定，通過(guò)合理選擇值的大小，既可以保證計(jì)算的復(fù)雜程度相對(duì)較小，又保證了圖像信號(hào)分析中的空間局部化要求。Daubechies小波基函數(shù)兼顧了內(nèi)積計(jì)算快速，基函數(shù)的疊加快速，良好的空間局部化和良好的頻率局部化，保證了圖像信號(hào)展開(kāi)和重構(gòu)的低復(fù)雜度，保證了圖像信號(hào)中主要成分和模式的識(shí)別。借用Daubechi