【文章內(nèi)容簡介】 ，將此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波分析的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相似于快速傅立葉分析算法在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。關(guān)于多分辨分析的原理，我們以一個三層的分解進行說明， 所示。S D1A1 D2A2 D3A3 三層多分辨率分析樹結(jié)構(gòu)圖從圖中可以看出，多分辨率分析只是對低頻部分進行一步分解，而高頻部分則不予考慮。分解的關(guān)系為。另外強調(diào)一點，這里只是以一個層分解進行說明，如果要進一步的分解，則可以把低頻部分分解成低頻部分和高頻部分，以下分解則類推可得[20]。 在多分辨分析中，分解的最終目的是力求構(gòu)造一個在頻率上高度逼近空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器。從上面的多分辨分析樹結(jié)構(gòu)圖可以看出，多分辨率分析只對低頻空間進行進一步的分解，使得頻率的分辨率變得越來越高[14],[15]。 我們稱滿足下列條件的中的一列子空間及一個函數(shù)為一個正交Multiresolution Analysis(MRA)(多尺度/多分辨分析)： （1） （2） （3） （4） （5），且是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，稱為此MRA的尺度函數(shù)/父函數(shù)。 基于閾值的小波分析去噪方法 小波閾值去噪方法認(rèn)為對于小波系數(shù)包含有信號的重要信息，其幅值較大，但數(shù)目較少，而噪聲對于的小波系數(shù)是一致分布的，個數(shù)較多，但幅值小?；谶@一思想，Donoho等人提出軟閾值和硬閾值去噪方法[22]，即在眾多小波系數(shù)中，把絕對值較小的系數(shù)置為零，而讓絕對值較大的系數(shù)保留或收縮，分別對應(yīng)于硬閾值和軟閾值方法，得到估計小波系數(shù)（Estimated Wavelet Coefficients，簡記為EWC），然后利用估計小波系數(shù)直接進行信號重構(gòu)，即可達到去噪的目的。1995年，Donoho提出一種新的基于閥值處理思想的小波域去噪技術(shù)。它也是對信號先求小波分析值。再對小波分析值進行去噪處理。最后反分析得到去噪后的信號。去噪處理中閾值的選取是基于近似極大極小化思想，以處理后的信號與原信號以最大概率逼近為約束條件。然后考慮采用軟閾值，并以此對小波分析系數(shù)做處理，能獲得較好的去噪效果，有效提高信噪比。 含噪聲信號的小波分析特性運用小波分析進行信號消噪處理是小波分析的一個重要應(yīng)用。一個含噪聲的一維信號的模型可以表示成如下形式： 其中，為真實信號，為噪聲信號，是噪聲的系數(shù)，為含噪聲的信號。本文以一個最簡單的噪聲模型加以說明，即認(rèn)為為高斯白噪聲，噪聲級（noise level）為1。在實際的工程應(yīng)用中，有用信號通常是表現(xiàn)為低頻部分或是一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲通常表現(xiàn)為高頻的信號，所以消噪的過程可以按以下方法進行：首先對信號進行小波分解，則噪聲部分通常包含在里，因而，可以以閾值形式對小波系數(shù)進行處理，然后對信號進行重構(gòu)即可以達到消噪的目的。對信號消噪的目的就是要抑制信號中的噪聲部分，從而在中恢復(fù)出真實信號。 一般來說，一維信號的消噪處理過程分為以下三個步驟進行：（1） 一維信號的小波分解。選擇一個小波并確定一個小波分解的層次，然后對信號進行層小波分解。（2） 小波分解高頻系數(shù)的閾值量化。從第一層到第層的每一層高頻系數(shù)選擇一個閾值進行軟閾值量化處理。（3） 一維小波的重建。根據(jù)小波分解的第層的低頻系數(shù)和經(jīng)過量化處理后的第一層到第層的高頻系數(shù)，進行一維信號的小波重構(gòu)。 小波消噪閾值的選取規(guī)則 1. 通用閾值(Sqtwolog規(guī)則)[21] 設(shè)含噪信號在尺度1到（1）上通過小波分解得到小波系數(shù)的個數(shù)總和為，為二進尺度，附加噪聲信號的標(biāo)準(zhǔn)差是，則通用閾值為： 該方法的依據(jù)為個具有獨立同分布的標(biāo)準(zhǔn)高斯變量中的最大值小于的概率隨著的增大而趨于1。若被測信號含有獨立同分布的噪聲時，經(jīng)小波分析后，其噪聲部分的小波系數(shù)也是獨立同分布的。如果具有獨立同分布的噪聲經(jīng)小波分解后，它的系數(shù)序列長度很大，則可知：該小波系數(shù)中最大值小于的概率接近于1，即存在一個閾值，使得該序列所有的小波系數(shù)都小于它。小波系數(shù)隨著分解層次的加深，其長度也越來越短，根據(jù)的計算公式，可知該閾值也越來越小，因此在假定噪聲具有獨立同分布特性的情況下，可通過設(shè)置簡單的閾值來去除噪聲。2. Stein無偏風(fēng)險閾值（rigrsure規(guī)則）[22]這是一種基于stein的無偏似然估計原理的自適應(yīng)閾值選擇。對于一個給定的閾值，得到它的似然估計，再將非似然最小化，就得到所選的閾值。具體的選擇規(guī)則為：設(shè)W為一向量，其元素為小波系數(shù)的平方并按照有大到小的順序排列，即，的含義同上。再設(shè)一風(fēng)險向量，其元素為 以元素中的最小值作為風(fēng)險值，有的下標(biāo)變量求出對應(yīng)的，則閾值為： 3. 試探法的Stein無偏風(fēng)險閾值（heursure規(guī)則）[23]是前兩種閾值的綜合，是最優(yōu)預(yù)測變量閾值選擇。如果信噪比很小，SURE估計有很大的噪聲，適合采用這種固定的閾值。具體的閾值選擇規(guī)則為：設(shè) W 為n個小波系數(shù)的平方和，令： , 以及，則有 。 4. 最大最小準(zhǔn)則閾值(minmax規(guī)則)[24]這種方法采用的也是固定閾值，產(chǎn)生一個最小均方誤差的極值，而不是誤差。這種極值原理在統(tǒng)計學(xué)上常備用來設(shè)計估計器。被去噪的信號可以被看作與未知回歸函數(shù)的估計式相似，這種極值估計器可以在一個給定的函數(shù)集中實現(xiàn)最大均方誤差最小化。具體的閾值選取規(guī)則為：； 在式中，作為小波系數(shù)的個數(shù)，為噪聲信號的標(biāo)準(zhǔn)差，表示尺度為1的小波系數(shù)，式中的的分子部分表示對分解出的第一級小波系數(shù)取絕對值后再取中值[15],[16]。 小波基的選擇對應(yīng)于特定的含噪圖像，不同的小波基會產(chǎn)生不同的消噪效果，這是小波方法進行圖像消噪中的一個關(guān)鍵問題。小波基的選擇涉及小波基的類型方面的問題。在同一幅圖像中，既有平滑的區(qū)域，又有突變的區(qū)域。在平滑區(qū)域中，一般采用高正則階、高消失矩的光滑小波基函數(shù)。因為選擇具有較高階消失矩的小波函數(shù)，能檢測圖像信號中更精細(xì)的奇異性，在重構(gòu)時，圖像中的細(xì)節(jié)才能得以更多的恢復(fù)。在突變區(qū)域中，要采用緊支撐的小波基。Daubechies基是具有緊支集的光滑正交小波基，和沒有顯示的解析式。Daubechies小波的光滑性由其支集的長度來確定，通過合理選擇值的大小，既可以保證計算的復(fù)雜程度相對較小，又保證了圖像信號分析中的空間局部化要求。Daubechies小波基函數(shù)兼顧了內(nèi)積計算快速，基函數(shù)的疊加快速，良好的空間局部化和良好的頻率局部化，保證了圖像信號展開和重構(gòu)的低復(fù)雜度，保證了圖像信號中主要成分和模式的識別。借用Daubechi