【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 R濾波器的特點(diǎn)[5]。它的一般表達(dá)式如下： （）式中，——，是復(fù)數(shù)值的濾波器輸入信 號(hào)； ——為濾波器長(zhǎng)度； ——，是濾波器的抽頭系數(shù)。這樣的濾波器結(jié)構(gòu)常見于各種各樣的通信系統(tǒng)中。例如，在信道均衡中，是由接收信號(hào)的延時(shí)組成的。對(duì)于CDMA系統(tǒng)的多用戶檢測(cè)，包括每個(gè)碼元的樣本值。在自適應(yīng)波束形成中，由天線陣的接收信號(hào)組成。通常情況下，能夠如下表示：（）式中，—— 是復(fù)數(shù)值的高斯噪聲向量，中值 為0，相關(guān)矩陣，其中表示維的單位 陣； ——的大小是，為系統(tǒng)矩陣； ——信息符號(hào)向量。對(duì)于單用戶應(yīng)用系統(tǒng)，包含當(dāng)前符號(hào)以及先前 傳送的個(gè)符號(hào)；對(duì)于多用戶應(yīng)用系統(tǒng)，由不同的用戶符號(hào)組成。一般來說，中的不同元素是互不相關(guān)的。在這里，調(diào)制方式是二進(jìn)制相位鍵控（BPSK），所以中的元素為?？紤]二進(jìn)制符號(hào)的原因是簡(jiǎn)化概念并且關(guān)注本質(zhì)。這個(gè)方法也可以推廣至多進(jìn)制系統(tǒng)。 濾波器的目的是得到中的第個(gè)元素，這可由以下式子得出： （）式中，——表示符號(hào)函數(shù)； ——的實(shí)數(shù)部分。定義，其中，是的所有可能序列。根據(jù)的值可以將論域分成兩個(gè)子集。所以濾波器的輸出可以表示如下： （）式中，——是0中值且方差為的噪聲函數(shù)； —— ，是無噪聲的系統(tǒng)輸出。 根據(jù)已有知識(shí)，線性濾波器的經(jīng)典MMSE解[6]是： （）式中，——表示系統(tǒng)矩陣的第列元素。 MMSE解通常來說不是最優(yōu)的MBER結(jié)果。如果使其成為MBER解，則的條件概率密度函數(shù)必須服成高斯分布，而這顯然是不可能的。因?yàn)檎`碼率（BER）是濾波器性能的直接衡量指標(biāo)，所以考慮最優(yōu)的MBER算法顯得是有必要的。下面開始導(dǎo)出MBER算法。 最小誤碼率（MBER）算法 為得到含有的誤碼率表達(dá)式，首先定義的概率密度函數(shù)是高斯分布的線性組合： （）利用的概率密度函數(shù)，可以得到誤碼率的表達(dá)式： （）式中， —— 。 （）式中，——是的第個(gè)元素，與相對(duì)應(yīng)?？梢钥闯觯珺ER對(duì)于的正比例結(jié)果是恒定的。另外誤碼率也可以有以下的表示： （） （）所以MBER解可以定義如下： （）不同于MMSE算法具有唯一解，MBER算法沒有閉合解。事實(shí)上，由于具有的特點(diǎn)，如果是MBER解，那么就是所有解。的關(guān)于的梯度函數(shù)如下： （）利用這個(gè)梯度，這個(gè)最優(yōu)化問題可以利用與梯度優(yōu)化相關(guān)的算法來解決。由于歸一化能夠給運(yùn)算帶來簡(jiǎn)便，而不影響解的正確性，故梯度函數(shù)可以簡(jiǎn)化如下： （） 收斂性 最速下降法有很好的整體收斂性，即對(duì)一般目標(biāo)函數(shù)而言，它是整體收斂的。最速下降法至少是線性收斂的，但一般比較慢，所以它不是一個(gè)很好的算法。然而許多有效算法都是通過它進(jìn)行改進(jìn)或與它組合所得到的，許多算法的初始和再開始方向都是選擇最速下降方向，因此它是值得研究的算法[7]。牛頓法具有二階收斂速度，這是它最突出的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)初始點(diǎn)充分接近極小點(diǎn)時(shí)，牛頓法有很快的收斂速度。但是它也有如下很突出的幾個(gè)缺點(diǎn)：（1） 對(duì)一般問題算法不是整體收斂的。（2） 每次迭代需要計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)矩陣。對(duì)于稍大的問題來說，計(jì)算量偏大。 （3） 每次迭代需求的線性方程組有可能是奇異的或病態(tài)的。這使得求方程組難度偏大。 最速下降法以負(fù)梯度方向作為極小化方法的下降方向，又稱梯度法，是無約束最優(yōu)化中最簡(jiǎn)單和最古老的方法。 設(shè)函數(shù)在附近連續(xù)可微，為單位方向（），由Taylor展開式得 （）設(shè)為與的夾角，則有 （） 牛頓法與最速下降法一樣是解無約束最優(yōu)化問題的最早使用的經(jīng)典算法，它的基本思想是用迭代點(diǎn)的梯度和二階導(dǎo)數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行二次函數(shù)逼近，然后把二次函數(shù)的極小點(diǎn)作為新的迭代點(diǎn)，并不斷重復(fù)這一過程，直至求出最小點(diǎn)。設(shè)的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，它在的Taylor展開式前三項(xiàng)為 （）其中。求得駐點(diǎn)，得如果非奇異，那么得到牛頓法迭代公式為 （）如果奇異，那么由下式確立：（） 本章小結(jié) 根據(jù)MIMO模型，推導(dǎo)出多用戶檢測(cè)器的誤碼率表達(dá)式，這歸結(jié)為一個(gè)無約束優(yōu)化問題。討論了基本MBER算法的收斂情況。第3章 MBER算法的改進(jìn)形式 共軛梯度法 共軛梯度法是介于最速下降法和牛頓法之間的一個(gè)方法。最速下降法只使用一階導(dǎo)數(shù)信息且方法簡(jiǎn)單，但收斂慢。牛頓法收斂快且為二階收斂，但計(jì)算量大。共軛梯度法僅使用一階導(dǎo)數(shù)信息，因此計(jì)算量比牛頓法小，同時(shí)收斂速度比最速下降法快。它的基本思想是取當(dāng)前點(diǎn)的負(fù)梯度方向與前面搜索方向進(jìn)行共軛化，從而產(chǎn)生當(dāng)前點(diǎn)的搜索方向。共軛梯度法需要較少的儲(chǔ)存量和計(jì)算量，當(dāng)問題變量的維數(shù)較多時(shí)，用這個(gè)方法求解是非常有效的。其算法流程如下：（1） 選初值。給定初始點(diǎn)，令。給定精度。（2） 檢驗(yàn)終止條件。如果，則，停止迭代。（3） 計(jì)算搜索方向，其中當(dāng)時(shí)。（4） 確定步長(zhǎng)。（5） 計(jì)算新點(diǎn)。令，檢驗(yàn)終止條件。 為確定梯度方向，經(jīng)過推導(dǎo)可知，可有多種形式。在共軛梯度法實(shí)際使用中，時(shí)常插入負(fù)梯度方向作為搜索方向。對(duì)于一般非二次函數(shù)，步以后共軛梯度法產(chǎn)生的搜索方向通常不具有共軛性。因此，每迭代或步后，重新選擇負(fù)梯度方向作為搜索方向，這樣得到的算法稱為再開始共軛梯度法。我們知道，在最優(yōu)解附近，目標(biāo)函數(shù)與一個(gè)正定二次函數(shù)很接近。因此，當(dāng)?shù)c(diǎn)進(jìn)入目標(biāo)函數(shù)逼近正定二次函數(shù)的區(qū)域后，再開始方法能迅速收斂到最優(yōu)解。對(duì)于大規(guī)模問題（很大），常常每（）步就進(jìn)行再開始。此外，當(dāng)搜索方向不是下降方向時(shí)，也插入負(fù)梯度方向作為搜索方向。 擬牛頓法 擬牛頓法是解無約束最優(yōu)化問題的最有效方法之一。擬牛頓法的基本思想是模擬牛頓方向的生成途徑，利用相鄰兩個(gè)點(diǎn)的位移及一階導(dǎo)數(shù)信息構(gòu)造與二階導(dǎo)數(shù)陣相似的正定矩陣。所產(chǎn)生的方法計(jì)算量比牛頓法少，收斂速度達(dá)到超線性收斂。其中，BFGS的算法流程如下：（1） 選初值。給定初始點(diǎn)，（對(duì)稱正定）令。（2） 檢驗(yàn)終止條件。計(jì)算。若，算法終止。（3） 計(jì)算搜索方向并確定步長(zhǎng)。（4） 計(jì)算新點(diǎn)。令，計(jì)算。（5） 校正迭代矩陣。計(jì)算，，檢驗(yàn)終止條件。 在牛頓法的實(shí)際計(jì)算中，如果出現(xiàn)方向不下降或搜索失敗的情況，那么可使用再開始技術(shù)，即令搜索方向?yàn)樨?fù)梯度方向，校正矩陣為單位陣。 步長(zhǎng)的選擇 步長(zhǎng)的大小決定著算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)時(shí)失調(diào)量的大小。對(duì)于步長(zhǎng)取常數(shù)值來說，收斂速度和失調(diào)量是一對(duì)矛盾。而采用變步長(zhǎng)的方法可以克服這一矛盾。理想的情況是，算法過程開始時(shí)，選用較大的步長(zhǎng)以保證較快的收斂速度，然后讓步長(zhǎng)逐漸減小，以保證收斂后得到較小的失調(diào)量。通常有以下兩種方案。（1） 步長(zhǎng)恒定。在這里，步長(zhǎng)的選擇顯得尤為重要。當(dāng)步長(zhǎng)較大時(shí)，常常會(huì)產(chǎn)生目標(biāo)函數(shù)不能收斂的情況；當(dāng)步長(zhǎng)較小時(shí)，收斂速度將會(huì)變得很緩慢。一般來說，步長(zhǎng)的選擇是在0與1之間。（2） 變步長(zhǎng)。采用線搜索方法確定每次迭代的步長(zhǎng)。分為精確線搜索和非精確線搜索。 所謂精確線搜索,是指求使目標(biāo)函數(shù)在沿方向能夠達(dá)到極小值, 即使得 （）或設(shè)，那么問題求轉(zhuǎn)化成求使得（）則稱這樣的線搜索為精確線搜索。若是一階連續(xù)可微的，則由精確線搜索得到的滿足 （）顯然可知應(yīng)滿足。 所謂非精確線搜索, 是指選取使目標(biāo)函數(shù)得到可接受的下降量,即是可接受的。線搜索的基本思想是: 首先確定包含問題最優(yōu)解的搜索區(qū)間, 然后采用某種插值或分割技術(shù)縮小這個(gè)區(qū)間, 進(jìn)行搜索求解。線搜索技術(shù)是求解許多優(yōu)化問題下降算法的基本組成部分, 但精確線搜索往往需要計(jì)算很多的函數(shù)值和梯度值, 從而耗費(fèi)較多的計(jì)算資源。特別是當(dāng)?shù)c(diǎn)遠(yuǎn)離最優(yōu)點(diǎn)時(shí), 精確線搜索通常不是十分有效和合理的。對(duì)于許多優(yōu)化算法, 其收斂速度并不依賴于精確搜索過程.。因此, 既能保證目標(biāo)函數(shù)具有可接受的下降量又能使最終形成的迭代序列收斂的非精確線搜索變得越來越流行. 其中非精確線搜索用得最多的是 Wolfe 準(zhǔn)則和Armijo 準(zhǔn)則。在這里僅介紹Armijo準(zhǔn)則[8]。Armijo 準(zhǔn)則是指: 給定。令步長(zhǎng)因子，其中 是滿足下列不等式的最小非負(fù)整數(shù): （）可以證明, 若是連續(xù)可微的且滿足，則 Armijo 準(zhǔn)則是有限終止的, 即存在正數(shù), 使得對(duì)于充分大的正整數(shù)，上式成立。其算法流程如下：（1） 給定。令。（2） 若成立，那么置，停算。否則, 轉(zhuǎn)3。（3） 令，轉(zhuǎn)步 1。 本章小結(jié)具體討論了共軛梯度法和擬牛頓法的優(yōu)缺點(diǎn)，并給出了具體的算法流程。詳細(xì)討論了步長(zhǎng)在MBER算法中的影響，介紹了一種選擇步長(zhǎng)的方法——基于Armijo準(zhǔn)則的線搜索技術(shù)。第4章 MBER算法的自適應(yīng)形式 早在20世紀(jì)40年代，就對(duì)平穩(wěn)隨即信號(hào)建立了維納濾波理論。根據(jù)有用信號(hào)和干擾噪聲的統(tǒng)計(jì)特性（自相關(guān)函數(shù)或功率譜），以線性最小均方誤差估計(jì)準(zhǔn)則所設(shè)計(jì)的最佳濾波器，稱為維納濾波器。這種濾波器能最大程度地濾除干擾噪聲，提取有用信號(hào)。但是，當(dāng)輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性偏離設(shè)計(jì)條件，則它就不再是最佳的了，這在實(shí)際應(yīng)用中受到了限制。到60年代初，由于空間技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了卡爾曼濾波理論，即利用狀態(tài)變量模型對(duì)非平穩(wěn)、多輸入多輸出隨機(jī)序列作最優(yōu)估計(jì)?，F(xiàn)在，卡爾曼濾波器已成功地應(yīng)用到許多領(lǐng)域，它既可對(duì)平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)作線性最佳濾波，也可作非線性濾波。實(shí)質(zhì)上，維納濾波器是卡爾曼濾波器的一個(gè)特例。 若設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器時(shí)，必須知道產(chǎn)生輸入過程的系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測(cè)量方程，即要求對(duì)信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性有先驗(yàn)知識(shí)。但在實(shí)際中，往往難以預(yù)知這些統(tǒng)計(jì)特性，因此實(shí)現(xiàn)不了真正的最佳濾波。 Widrow ，可使自適應(yīng)濾波系統(tǒng)的參數(shù)自動(dòng)地調(diào)整而達(dá)到最佳狀況，而且在設(shè)計(jì)時(shí)，只需要很少的或是根本不需要任何關(guān)于信號(hào)與噪聲的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí)。這種濾波器的實(shí)現(xiàn)差不多像維納濾波器那樣簡(jiǎn)單，而濾波性能幾乎如卡爾曼濾波器一樣好。因此，近十年來，自適應(yīng)濾波理論的方法得到了迅速發(fā)展。 自適應(yīng)濾波器原理圖 [9]，圖中離散時(shí)間線性系統(tǒng)表示一個(gè)可編程濾波器，它的沖擊響應(yīng)為，或稱其為濾波參數(shù)。自適應(yīng)濾波器輸出信號(hào)為，所期望的響應(yīng)信號(hào)為，誤差信號(hào)為與之差。這里，期望響應(yīng)信號(hào)是根據(jù)不同用途來選擇的，自適應(yīng)濾波器的輸出信號(hào)是對(duì)期望響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行估計(jì)的，濾波參數(shù)受誤差信號(hào)的控制并自動(dòng)調(diào)整，使得估計(jì)值等于所期望的響應(yīng)。因此，自適應(yīng)濾波器與普通濾波器不同，它的沖擊響應(yīng)或?yàn)V波參數(shù)是隨外部環(huán)境的變化而變化的，經(jīng)過一段自動(dòng)調(diào)整的收斂時(shí)間達(dá)到最佳濾波的要求。但是，自適應(yīng)濾波器本身有一個(gè)重要的自適應(yīng)算法，這個(gè)算法可以根據(jù)輸入、輸出及原參數(shù)量值，按照一定準(zhǔn)則改變?yōu)V波參量，以使它本身能有效地跟蹤外部環(huán)境的變化。通常，自適應(yīng)濾波器是線性的，因而也是一種線性移變?yōu)V波器。當(dāng)然，它可推廣到自適應(yīng)非線性濾波器。，離散時(shí)間線性系統(tǒng)可以分為兩類基本結(jié)構(gòu)，其中一類為非遞歸型