【文章內(nèi)容簡介】 容方程 （a） （b）顯然滿足（a）（b）（2）對于微小的三角板A，dx，dy都為正值，斜邊上的方向余弦，將，代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達式（215），且，則有所以。對于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。（3）對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應(yīng)力情況，首先，將應(yīng)力分量代入物理方程（212），得形變分量， （d）將（d）式中形變分量代入幾何方程（28），得 （e）前兩式積分得到 （f）其中分別任意的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三式求出，將式（f）代入式（e）的第三式，得等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個常數(shù)，于是有積分后得代入式（f）得位移分量 （g）其中為表示剛體位移量的常數(shù)，需由約束條件求得從式（g）可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件。因而，應(yīng)力分量是正確的解答?！?18】設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F（圖222），體力可以不計。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力，然后證明這些表達式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達式是否就表示正確的解答?！窘獯稹浚?）矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程，橫截面對中性軸的慣性矩為，根據(jù)材料力學(xué)公式彎應(yīng)力；該截面上的剪力為，剪應(yīng)力為取擠壓應(yīng)力（2）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗第一式： 第二式：左=0+0=0=右該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。（3）將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程 滿足相容方程（4）考察邊界條件①在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(215) 01000100代入公式（215），得②在次要邊界x=0上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢主矩滿足應(yīng)力邊界條件③在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即面力的主矢、主矩，其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達式，判斷是否與面力主矢與主矩等效： 滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答?！?19】試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為，其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示成為，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程?！窘獯稹浚?）將帶入平衡微分方程（22） （a）將（a）式變換為 （b）為了滿足式（b），可以取即（2）對體力、應(yīng)力分量求偏導(dǎo)數(shù)，得 （c）將（c）式代入公式（221）得平面應(yīng)力情況下應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程 （221）整理得： （d）即平面應(yīng)力問題中的相容方程為將（c）式代入公式（222）或?qū)ⅲ╠）式中的替換為，的平面應(yīng)變情況下的相容方程： （e）即 。證畢。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答【31】為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式（215），而在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替式（215），將會發(fā)生什么問題？【解答】彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完全得到滿足，往往比較困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對遠處的應(yīng)力影響可以忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替精確的應(yīng)力邊界條件（公式215），就會影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會使問題的解答精度不足?！?2】如果在某一應(yīng)力邊界問題中，除了一個小邊界條件，平衡微分方程和其它的應(yīng)力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個小邊界上，三個積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核?！窘獯稹繀^(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件，應(yīng)力邊界條件實質(zhì)上是邊界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內(nèi)力（應(yīng)力）的平衡條件。研究對象整體的外力是滿足平衡條件的，其它應(yīng)力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個次要邊界上，三個積分的應(yīng)力邊界條件是自然滿足的,因而可以不必校核。【33】如果某一應(yīng)力邊界問題中有m個主要邊界和n個小邊界，試問在主要邊界和小邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，各有幾個條件？【解答】在m個主要邊界上，每個邊界應(yīng)有2個精確的應(yīng)力邊界條件，公式（215），共2m個；在n個次要邊界上，如果能滿足精確應(yīng)力邊界條件，則有2n個；如果不能滿足公式（215）的精確應(yīng)力邊界條件，則可以用三個靜力等效的積分邊界條件來代替2個精確應(yīng)力邊界條件，共3n個?！?4】試考察應(yīng)力函數(shù)在圖38所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題(體力不計)? 【解答】⑴相容條件:不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式(225).⑵求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計時，將應(yīng)力函數(shù)代入公式(224)，得⑶考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當(dāng)a0時，考察分布情況，注意到，故y向無面力左端: 右端: 應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)時應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩A主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e：因為在A點的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b，集中荷載p的偏心距e：同理可知，當(dāng)0時，可以解決偏心壓縮問題。【35】取滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)為：⑴⑵⑶試求出應(yīng)力分量（不計體力），畫出圖39所示彈性體邊界上的面力分布，并在小邊界上表示出面力的主矢量和主矩?！窘獯稹浚?）由應(yīng)力函數(shù)，得應(yīng)力分量表達式考察邊界條件，由公式（215）①主要邊界，上邊界上，面力為 ②主要邊界，下邊界，面力為 ③次要邊界，左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：次要邊界，右邊界x=l上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示⑵將應(yīng)力函數(shù)代入公式（224），得應(yīng)力分量表達式，考察應(yīng)力邊界條件，主要邊界,由公式（215）得在主要邊界，上邊界上，面力為在，下邊界上，面力為在次要邊界上，分布面力可按(215)計算，面里的主矢、主矩可通過三個積分邊界條件求得：在左邊界x=0，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩；在右邊界x=l上，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示（3）將應(yīng)力函數(shù)代入公式