【正文】 【317】試證明剛體位移和實(shí)際上表示彈性體中原點(diǎn)的平移和轉(zhuǎn)動(dòng)分量，并應(yīng)用167。因?yàn)樵谶吔缟?，；邊界上，所以可以假設(shè)在區(qū)域內(nèi)為（2）推求應(yīng)力函數(shù)的形式?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼?。由（f）式可見，這是不可能的，除非均為零。（1）由167?！?12】設(shè)圖35中簡支梁只受重力作用，而梁的密度為，試用167。⑵由公式（224）求應(yīng)力分量表達(dá)式，體力為零，有，⑶考察邊界條件：在主要邊界上，精確滿足公式（215）第一式自然滿足，第二式為 (a)②在主要邊界x=b/2上，精確滿足式(215)第一式自然滿足，第二式為 (b)③在次要邊界y=0上，可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件: 滿足 滿足 （c）聯(lián)立（a）（c）得系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得【310】設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計(jì)，（圖312），試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。(1)假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式?！窘獯稹浚?）由應(yīng)力函數(shù)，得應(yīng)力分量表達(dá)式考察邊界條件，由公式（215）①主要邊界，上邊界上，面力為 ②主要邊界，下邊界，面力為 ③次要邊界，左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：次要邊界，右邊界x=l上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示⑵將應(yīng)力函數(shù)代入公式（224），得應(yīng)力分量表達(dá)式，考察應(yīng)力邊界條件，主要邊界,由公式（215）得在主要邊界，上邊界上，面力為在，下邊界上，面力為在次要邊界上，分布面力可按(215)計(jì)算，面里的主矢、主矩可通過三個(gè)積分邊界條件求得：在左邊界x=0，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩；在右邊界x=l上，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示（3）將應(yīng)力函數(shù)代入公式（224），得應(yīng)力分量表達(dá)式考察應(yīng)力邊界條件，在主要邊界上應(yīng)精確滿足式（215）①②次要邊界上，分布面力可按（215）計(jì)算，面力的主矢、主矩可通過三個(gè)積分邊界求得：③左邊界x=0上，面力分布為④右邊界上，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢y向主矢：主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示【36】試考察應(yīng)力函數(shù)，能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫出圖39所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問題?！窘獯稹繀^(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件，應(yīng)力邊界條件實(shí)質(zhì)上是邊界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內(nèi)力（應(yīng)力）的平衡條件?！?19】試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為，其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示成為，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。（3）對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足?！窘獯稹浚?）確定最大最小切應(yīng)力發(fā)生位置任意斜面上的切應(yīng)力為，用關(guān)系式消去m，得由上式可見當(dāng)時(shí)，即時(shí)，為最大或最小，為 。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出：?！痉治觥看藛栴}同時(shí)也是按應(yīng)力求解平面問題時(shí)，應(yīng)力分量必須滿足的條件?！?8】在圖216中，試導(dǎo)出無面力作用時(shí)AB邊界上的之間的關(guān)系式【解答】由題可得： 將以上條件代入公式（215），得：【29】試列出圖217，圖218所示問題的全部邊界條件?！窘獯稹矿w力相同情況下，兩類平面問題的平衡微分方程完全相同，故所求的應(yīng)力分量相同?！?4】在圖23和微分體中，若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的，驗(yàn)證將導(dǎo)出什么形式的平衡微分方程？【解答】微分單元體ABCD的邊長都是微量，因此可以假設(shè)在各面上所受的應(yīng)力如圖a所示，忽略了二階以上的高階微量，而看作是線性分布的，如圖（b）所示。40第二章 平面問題的基本理論【21】試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中(圖214)其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況?！窘獯稹空膽?yīng)力包括正的正應(yīng)力與正的切應(yīng)力，正的形變包括正的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變，本題應(yīng)從兩方面解答?！窘獯稹繎?yīng)力的符號(hào)規(guī)定是：當(dāng)作用面的外法線方向指向坐標(biāo)軸方向時(shí)（即正面時(shí)），這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。這一假定，還包含形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義，亦即兩者之間是成線性關(guān)系的，即引用這一假定后，應(yīng)力與形變服從胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程，其彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變?！窘獯稹烤鶆虻母黜?xiàng)異形體如：竹材，木材。引用這一假定后，物體的應(yīng)力、形變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時(shí)，就可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸?！窘獯稹坎牧狭W(xué)中規(guī)定切應(yīng)力符號(hào)以使研究對象順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)?！窘獯稹俊?9】在圖13的六面體上，y面上切應(yīng)力的合力與z面上切應(yīng)力的合力是否相等？【解答】切應(yīng)力為單位面上的力，量綱為，單位為?！?3】在圖23的微分體中，若將對形心的力矩平很條件改為對角點(diǎn)的力矩平衡條件，試問將導(dǎo)出什么形式的方程？【解答】將對形心的力矩平衡條件，改為分別對四個(gè)角點(diǎn)A、B、D、E的平衡條件，為計(jì)算方便，在z方向的尺寸取為單位1。同樣，理想彈性體的四個(gè)假定也是物理方程的使用條件。試問其余的應(yīng)力，應(yīng)變和位移是否相同？【解答】(1)應(yīng)力分量：兩類平面問題的應(yīng)力分量，和均相同，但平面應(yīng)力問題，而平面應(yīng)變問題的?！?11】檢驗(yàn)平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程式（218）；（2）在上用位移表示的應(yīng)力邊界條件式（219）；（3）在上的位移邊界條件式（214）；對于平面應(yīng)變問題，需將E、μ作相應(yīng)的變換。（1）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且 顯然滿足（2）將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（221），有等式左===右應(yīng)力分量不滿足相容方程。得： 根據(jù)邊界條件得 故 將應(yīng)力分量代入平衡微分方程（22）第一式： 滿足第二式 自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程（223）應(yīng)力分量不滿足相容方程。試證及能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力，然后證明這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達(dá)式是否就表示正確的解答。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。偏心距e：因?yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零?！?8】設(shè)有矩形截面的長豎柱，密度為ρ，在一邊側(cè)面上受均布剪力q（