【正文】 圖310），試求應(yīng)力分量。主要邊界上（左）：將（f），（h）代入，自然滿足 （i）主要邊界上，自然滿足，將（h）式代入，得 （j）在次要邊界上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件： （k） （l） （m）由式（i），(j)，（k），（l），（m）聯(lián)立求得代入公式（g），(h)得應(yīng)力分量【39】圖311所示的墻，高度為h，寬度為b，在兩側(cè)面上受到均布剪力q的作用，試應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。按量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式：三角形懸臂梁內(nèi)任何一點(diǎn)的應(yīng)力與有關(guān)。依據(jù)167。（3）考慮對(duì)稱性因?yàn)槊媸橇汉秃奢d的對(duì)稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對(duì)稱于面?！?13】圖314所示的懸臂梁，長度為，高度為，在上邊界受均布荷載，試檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)能否成為此問題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量?？梢姡谇蠼鈫栴}時(shí)，坐標(biāo)軸的方向及原點(diǎn)的位置與解答關(guān)系密切，坐標(biāo)軸不同可得到完全不同的結(jié)果。而在材料力學(xué)的解法中，沒有嚴(yán)格考慮上述條件，因而得出的是近似的解答。33可知，任意點(diǎn)處的平動(dòng)分量為：則任意點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)分量為因此，原點(diǎn)的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)分量，即x=y=0時(shí)得證。簡言之，彈性力學(xué)的解法是嚴(yán)格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程和物理方程。①在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件 滿足 （b）②在次要邊界x=0上，可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分應(yīng)力邊界條件 （c） （d） （e）聯(lián)立（b）、（c）、（d）、（e）式得， （f）將各系數(shù)據(jù)（f）代入式（a），得應(yīng)力分量解答【分析】本題題目中原教材給出的坐標(biāo)軸有誤，無法計(jì)算。根據(jù)材料力學(xué)截面法可求得截面的內(nèi)力，可知梁橫截面上的彎矩方程和剪力方程分別為則式（n）可寫成： 【分析】比較彈性力學(xué)解答與材料力學(xué)解答，可知，只有切應(yīng)力完全相同，正應(yīng)力中的第一項(xiàng)與材料力學(xué)結(jié)果相同，第二項(xiàng)為彈性力學(xué)提出的修正項(xiàng)；表示縱向纖維間的擠壓應(yīng)力，而材料力學(xué)假設(shè)為零。（2）應(yīng)力分量的表達(dá)式： （a） （b） （c） 【注】項(xiàng)多了這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。34節(jié)例題相比，本題多了體力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼?1) 檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程（225）設(shè)應(yīng)力函數(shù)，不論上式中的系數(shù)如何取值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程（225）(2) 由式（224）求應(yīng)力分量由體力分量，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（224）得應(yīng)力分量： （a） （b） （c）（3）考察邊界條件：由應(yīng)力邊界條件確定待定系數(shù)。將（b）式代入相容方程（225），得 （c）在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，（c）式為y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多個(gè)根（全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)滿足它），可見其系數(shù)與自由項(xiàng)都必須為零，即兩個(gè)方程要求 （d）中的常數(shù)項(xiàng)，中的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)已被略去，因?yàn)檫@三項(xiàng)在的表達(dá)式中成為y的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。【解答】(1)將應(yīng)力函數(shù)代入式（225），代入（225），可知應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。【34】試考察應(yīng)力函數(shù)在圖38所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題(體力不計(jì))? 【解答】⑴相容條件:不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式(225).⑵求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)代入公式(224)，得⑶考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當(dāng)a0時(shí)，考察分布情況，注意到，故y向無面力左端: 右端: 應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)時(shí)應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩A主矢的中心在矩下邊界位置。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答【31】為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式（215），而在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替式（215），將會(huì)發(fā)生什么問題？【解答】彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完全得到滿足，往往比較困難。因而，應(yīng)力分量是正確的解答。（2）求最大，最小切應(yīng)力作用面上，正應(yīng)力的值任一斜面上的正應(yīng)力為最大、最小切應(yīng)力作用面上，帶入上式，得證畢。所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：。【214】檢驗(yàn)下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答： 圖220 圖221（a）圖220。【解答】圖217：上（y=0）左(x=0)右（x=b）011100000代入公式（215）得①在主要邊界上x=0，x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件：②在小邊界上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件：③在小邊界上，能精確滿足下列位移邊界條件：這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚時(shí)，可求得固定端約束反力分別為：由于為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，則有：⑵圖218①上下主要邊界y=h/2，y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式（215）(s)(s)010010，②在=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號(hào)相反，有③在x=l的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件這兩個(gè)位移邊界條件也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替。因此，平面應(yīng)力問題情況下應(yīng)變要大，故鋼圓環(huán)變形大?！?5】在導(dǎo)出平面問題的三套基本方程時(shí)，分別應(yīng)用了哪些基本假定？這些方程的適用條件是什么？【解答】(1)在導(dǎo)出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時(shí)應(yīng)用的基本假設(shè)是：物體的連續(xù)性和小變形假定，這兩個(gè)條件同時(shí)也是這兩套方程的適用條件?！?2】試分析說明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（215），當(dāng)板邊上只受x，y向的面力或約束，且不沿厚度變化時(shí)，其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況。【17】試畫出圖14中矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向。由下圖可以看出，正面上應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，負(fù)面上應(yīng)力分量與面力分量符號(hào)相反。小變形假定：假定位移和變形是微小的?！窘獯稹恳话愕幕炷翗?gòu)件和土質(zhì)地基可以作為理想彈性體；一般的鋼筋混凝土構(gòu)件和巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體。【12】一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個(gè)假定：連續(xù)性，完全彈性，