【文章內(nèi)容簡介】 6 吉布斯現(xiàn) 象 上一節(jié)中我們提到了吉布斯現(xiàn)象，本節(jié)我們將作重點來討論。我們知道滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)表示成的傅立葉級數(shù)都收斂。狄里赫利條件如下： 1. 在任何周期內(nèi)， x(t)必須絕對可積； 2. 在任一有限區(qū)間中， x(t)只能取有限個最大值或最小值； 3. 在任何有限區(qū)間上， x(t)只能有有限個第一類間斷點。 所謂的吉布斯現(xiàn)象就是：在 x(t)的不可導(dǎo)點上，如果我們只取 x(t)等式右邊的無窮級數(shù)中的有限項作和 X(t)，那么 X(t)在這些點上會有起伏 [1]。 具體現(xiàn)象如下圖所示，以下分別為諧波次數(shù)為 N=50， N=100， N=500 合成波的情況。 2 1 . 5 1 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 200 . 51諧波次數(shù) N = 5 0 時的合成波形2 1 . 5 1 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 200 . 51諧波次數(shù) N = 1 0 0 時的合成波形2 1 . 5 1 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 200 . 51諧波次數(shù) N = 5 0 0 時的合成波形 圖 不同時 N值時的合成波 從上面的圖像中可以看出，當(dāng) N=500 的時候，合成波與原來的方波擬合得非常好，但是在不可導(dǎo)的點上，即為 x=,x=,x=,x= 這樣的點的時候，合成波會有較大的波動，這就是非常明顯的吉布斯現(xiàn)象。 7 3 連續(xù)時間周期信號的頻譜分析 與 雙邊頻譜關(guān)系 如前所述，周期信號可以分解成一系列正弦（余弦）信號或虛指數(shù)信號之和 ， 為了直觀地表示出信號所含各分量的振幅 nA 或 ||nF ，隨頻率的變化情況，通常以角頻率為橫坐標(biāo)，以各次諧波的振幅 nA 或虛指數(shù)函數(shù) ||nF 的幅度為縱坐標(biāo)，畫出如圖 的振幅 nA 或 ||nF 與角頻率的關(guān)系圖，稱為周期信號的幅度（振幅）頻譜，簡稱幅度譜。圖中每條豎線代表該頻率分量的幅度，稱為譜線。各譜線頂 點連線的曲線（如圖中原點所示）稱為頻譜包絡(luò)線，它反映了各諧波分量幅度隨頻率變化的情況。圖 譜（用 nA 繪制的頻譜）。圖 （用 ||nF 繪制的頻譜）。 類似地，也可畫出各諧波初相角 n? 與角頻率的關(guān)系圖，如圖 n?與角頻率的關(guān)系圖，稱為相位頻譜，簡稱相 位譜。圖 。圖 相位譜為雙邊相位譜。如果 nF 為實數(shù)，那么可用 nF 的正負(fù)來表示 n? 為 0或 ? 也可把幅度譜和相位譜畫在一張圖上。 由圖可見，周期信號的譜線只出現(xiàn)在頻率為 0, ,2 ,...?? 等原周期信號頻率的整數(shù)倍的離散頻率上，即周期信號的頻譜是離散譜。 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 510 50 100 15000 . 0 50 . 10 50 100 150505 圖 周期信號的單邊幅度譜和相位譜 8 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 51 1 5 0 1 0 0 5 0 0 50 100 15000 . 0 50 . 1 1 5 0 1 0 0 5 0 0 50 100 15042024 圖 周期信號的雙邊幅度譜和相位譜 由此可見周期信號頻譜具有三個特點： （ 1）離散性，即譜線是離散的； （ 2）諧波性，即譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上； （ 3）收斂性，即諧波的幅度隨諧波次數(shù)的增高而減小 [3]。 單邊頻譜和雙邊頻譜的區(qū)別就是求值的范圍不同，單邊頻譜求的是頻率大于 0的情況，而雙邊頻譜求的是所有頻率的情況，即包括頻率小于 0 的情況，這個區(qū)別在上面的兩張圖中可以非常明顯地看出來。 ，研究脈沖寬度與頻譜的關(guān)系 首先令方波首 期 T=5。改變脈沖寬度，就是在圖 中 T 值不變的情況下，改變的τ值的大小，同時τ必須小于 T。在 MATLAB 軟件里可以比較方便地改變這個值。xsqual=@(x)1/2.*(x==1/2)+1.*(x1/2amp。x1/2)+1/2.*(x==1/2)。這個語句是控制τ值的，現(xiàn)在的參數(shù)是 1/2。下面是比較三種不同τ值的矩形脈沖單邊頻譜圖像。 9 圖 不同τ值時的頻譜 容易看出，在 T不變的情況下，減小τ值，可以使頻譜變得更密集，增大τ值則可以使頻譜變得稀疏，因此，需要在不同的情況下選擇不 同的τ值，才能是系統(tǒng)變得更加符合實際需要。 由于周期 T相同，因而相鄰譜線的間隔相同；脈沖寬度窄，其頻譜包絡(luò)線第一個零點的頻率愈高，即信號帶寬愈寬，頻帶內(nèi)所含的分量愈多?？梢姡盘柕念l帶寬度與脈沖寬度 τ 成反比 [2]。 ，研究脈沖周期與頻譜的關(guān)系 上面是改變τ值來觀察頻譜的變化情況，現(xiàn)在來改變 T 值以達(dá)到改變頻譜的目的。在 10 MATLAB 代碼中 a=5。b=5。T0=ba。這幾句代碼是用來控制方波的 T 值的， ba就是方波的周期 T，在 上面 的討 論中 使用 的參 數(shù)是 a=5,b=5 ，現(xiàn) 在將 τ的 參數(shù) ，即 這 句xsqual=@(x)1/2.*(x==1/2)+1.*(x1/2amp。x1/2)+1/2.*(x==1/2)固定為 1/2，然后分別將 a,b值變?yōu)椋?a=4,b=4 和 a=6,b=6，來研究方波周期對其頻譜的影響。 圖 不同 T值的頻譜 通過觀察以上三個圖像中第一個零點的位置，不難看出：當(dāng)方波的周期越大，頻譜就越密集，周期越小，頻譜就越稀疏，其實這點也不難理解。因為τ值不變，改變 T值就等于改變了 T=ατ中比例系數(shù)α的大小。 由于周期脈沖信號的時域?qū)挾炔蛔儯@時頻譜包絡(luò) 線的零點所在位置不變，而當(dāng)周期增長時，相鄰譜線的間隔減少，頻譜變密。如果周期無限增長（這時就成為非周期信號），那么，相鄰譜線的間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。隨著周期的增長，各諧波分量的幅度也相應(yīng)減少。脈沖周期 T 愈大，譜線間隔愈小，頻譜越稠密；反之，則越稀疏。 11 4 典型周期脈沖的頻譜 周期方波脈沖頻譜的 MATLAB 實現(xiàn) 周期方波脈沖信號如圖 ，其幅度為 1，脈沖寬度 ‘占空比 ’： duty=，周期 T=5。 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81周期方波脈沖 圖 周期方波脈沖 編寫 ，源程序文件見附錄程序 四 。調(diào)用函數(shù) ，即可繪出方波脈沖的雙邊頻譜，其中周期 T和占空比 duty可變，修改程序即可得到單邊頻譜。 將在下一小節(jié)中給出不同參數(shù)時的頻譜圖。 12 周期方波脈沖 雙邊 頻譜的 MATLAB 實現(xiàn) 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 1 0 ，占空比為 50% 的周期方波脈沖 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 20 . 4連續(xù)時間函數(shù)周期方波脈沖的雙邊幅度譜 圖 周期方波脈沖 的雙邊頻譜 a 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 1 0 ，占空比為 75% 的周期方波脈沖 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 20 . 4連續(xù)時間函數(shù)周期方波脈沖的雙邊幅度譜 圖 周期方波脈沖 的雙邊頻譜 b 13 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 5 ，占空比為 50% 的周期方波脈沖 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 20 . 4連續(xù)時間函數(shù)周期方波脈沖的雙邊幅度譜 圖 周期方波脈沖 的雙邊頻譜 c 由 上面三個 圖可以看出， 當(dāng) T一定時占空比越大頻譜主瓣的寬度越大，當(dāng)占空比一定時周期越小頻譜的主瓣寬度越大。 周期方波信號頻譜與周期矩形脈沖信號 具有相同的規(guī)律， 這里不再贅述。 周期方波脈沖 單邊 頻譜的 MATLAB 實現(xiàn) 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 1 0 ，占空比為 50% 的周期方波脈沖0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2000 . 20 . 4周期方波脈沖的單邊幅度譜 圖 周期方波脈沖 的單邊頻譜 a 14 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 1 0 ，占空比為 75% 的周期方波脈沖0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2000 . 20 . 4周期方波脈沖的單邊幅度譜 圖 周期方波脈沖 的單邊頻譜 b 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 5 ，占空比為 50% 的周期方波脈沖 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 20 . 4連續(xù)時間函數(shù)周期方波脈沖的雙邊幅度譜 圖 周期方波脈沖 的單邊頻譜 c 單邊頻譜就是雙邊頻譜正半軸部分，其具有的規(guī)律也與雙邊頻譜相同。 15 周期三角波脈沖頻譜的 MATLAB 實現(xiàn) 周期三角波脈沖如圖 ，周期 T=5，其幅度為 1。 2 0 1 5 1 0 5 0