關(guān)于臥式儲(chǔ)油罐變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定模型的探究建模論文(編輯修改稿)
2025-07-24 23:42 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 在發(fā)生角傾斜后，罐內(nèi)油位探針的傾斜情況，表示無(wú)橫向變位時(shí)油位探針的傾斜情況，其中長(zhǎng)度為，的長(zhǎng)度是，的長(zhǎng)度（油面高度）是，顯然由幾何關(guān)系可以推導(dǎo)出如下關(guān)系式： （20）聯(lián)立（17）、（18）（19）、（20）四個(gè)式子，即可得到整個(gè)罐體的油量體積與縱傾角、橫傾角以及油面高度的表達(dá)形式： （21）由（21）式可以看出，要通過(guò)該式進(jìn)行積分，然后再求解、的值是十分復(fù)雜的，甚至無(wú)法積分出（21）式的具體表達(dá)形式。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們決定不去對(duì)（21）式進(jìn)行積分，而是通過(guò)使用數(shù)值積分原理去求解。構(gòu)造數(shù)值積分公式最通常的方法是用積分區(qū)間上的n 次插值多項(xiàng)式代替被積函數(shù)，由此導(dǎo)出的求積公式稱為插值型求積公式。特別在節(jié)點(diǎn)分布等距的情形稱為牛頓柯茨公式，例如梯形公式與拋物線公式就是最基本的近似公式。但它們的精度較差。龍貝格算法是在區(qū)間逐次分半過(guò)程中，對(duì)梯形公式的近似值進(jìn)行加權(quán)平均獲得準(zhǔn)確程度較高的積分近似值的一種方法，它具有公式簡(jiǎn)練、計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確、使用方便、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)，因此在等距情形宜采用龍貝格求積公式。當(dāng)用不等距節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，常用高斯型求積公式計(jì)算，它在節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同情況下，準(zhǔn)確程度較高，穩(wěn)定性好，而且還可以計(jì)算無(wú)窮積分。數(shù)值積分還是微分方程數(shù)值解法的重要依據(jù)。許多重要公式都可以用數(shù)值積分方程導(dǎo)出[4]。相關(guān)數(shù)值積分公式：一般是形如： （22）的近似公式，又稱求積公式, 和 分別稱為求積結(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)，通常；式(15)右端稱為求積和；兩端之差稱為求積余項(xiàng)或求積誤差；區(qū)間可以是有限的或無(wú)限的?！?gòu)造求積公式的問(wèn)題就是確定和使得在某種意義下盡可能地小。 （23）若式（23）對(duì)精確成立，亦即，而當(dāng)時(shí)（23）不再是精確等式，則說(shuō)求積公式（23）的代數(shù)精度是。根據(jù)，外爾斯特拉斯的多項(xiàng)式逼近定理,就一般的連續(xù)函數(shù)而言, 越大越小，因此可以用代數(shù)精度的高低說(shuō)明求積公式的優(yōu)劣。對(duì)于本題的具體思路如下：首先根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中顯示油高，由于根據(jù)實(shí)際情況判斷，縱向和橫向傾角、的值不會(huì)太大，否則加油站將無(wú)法正常工作，因此可以給定縱向和橫向傾角、的值（本題中取，），然后通過(guò)數(shù)值積分，即可求出整個(gè)罐體的油量體積的理論值，然后再按順序?qū)⒕仃囍械母鱾€(gè)元素相鄰作差，即得到的相鄰差值矩陣，最后利用Matlab，通過(guò)計(jì)算機(jī)編程將該矩陣各元素與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的出油量數(shù)據(jù)組成的矩陣中的各元素作圖比較，并算出二者的平方差大小，已驗(yàn)證當(dāng)前狀態(tài)下、值取的是否合適。如果不合適，則重新取值；若合適，則進(jìn)一步縮小、值的取值范圍。通過(guò)這樣的反復(fù)計(jì)算、判斷，在方差最小或者滿足工程需求精度的情況下，即可求出最值。計(jì)算結(jié)果如圖4所示。程序（）詳見(jiàn)附錄。圖9 理論與實(shí)際計(jì)算值比較情況從圖9中可以看出，理論與計(jì)算的油量與高度的變化曲線比較吻合，說(shuō)明我們采用的方法是正確可行的。模型二的檢驗(yàn)：，說(shuō)明計(jì)算誤差很小，解釋了計(jì)算出油量與實(shí)際出油量的變化曲線非常吻合的原因，這時(shí)求出對(duì)應(yīng)的。即我們利用所建立的數(shù)學(xué)模型計(jì)算得出封頭儲(chǔ)油罐的縱向傾角為，橫向傾角為。，此處取值不到3，因?yàn)閷y(cè)油管、抽油管所占的體積考慮進(jìn)去，整個(gè)罐身的直徑為3米，因此油面高度不會(huì)達(dá)到最大直徑的長(zhǎng)度。通過(guò)上述分析，計(jì)算得出罐體變位后的罐容表標(biāo)定值。標(biāo)定值見(jiàn)表1。表1 （單位：）六 模型的評(píng)價(jià)與推廣臥式圓柱形油罐應(yīng)用極為廣泛。由于它具有承受較高的正壓和負(fù)壓的能力，有利于減少油品的蒸發(fā)損耗，也減少了發(fā)生火災(zāi)的危險(xiǎn)性。而且可成批制造，便于搬運(yùn)和拆遷，機(jī)動(dòng)性較好。是計(jì)量交換和存儲(chǔ)方面很重要的計(jì)量器具之一。我們所建立的數(shù)學(xué)模型較精確地標(biāo)定變位后的儲(chǔ)油罐標(biāo)尺，使儲(chǔ)油罐能面對(duì)較復(fù)雜的地形（例如，該地貌使罐體位置發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化），從而更有利于推廣。但是問(wèn)題二給出的模型是以微積分為理論基礎(chǔ)，在處理數(shù)據(jù)時(shí)占去大量空間與時(shí)間資源。雖然本數(shù)學(xué)模型可以得出精確度很高的罐容表，但是費(fèi)時(shí)費(fèi)力，不利于推廣應(yīng)用?；谀Ｐ鸵子谕茝V的原則，我們又建立一種全新模型。建模的基本思路是把油罐容積微分化，只考慮油罐圓冠體橫截面、油罐柱體縱截面與縱向傾斜角度與橫向偏轉(zhuǎn)角度之間的幾何關(guān)系。（這里我們只給出橫向偏轉(zhuǎn)角度的求解方案，縱向傾斜角度求解可參考問(wèn)題一所建立的模型）計(jì)算得出的角度在誤差值允許的情況下，我們可以將此模型進(jìn)行實(shí)用推廣。求解的詳細(xì)過(guò)程：（1）求油罐液面實(shí)際高度與浮標(biāo)尺的標(biāo)識(shí)高度之間的函數(shù)關(guān)系：圖10 油罐圓柱體縱切面的液面實(shí)際高度與浮標(biāo)尺高度的幾何關(guān)系其中，為油罐液面實(shí)際高度，為浮標(biāo)尺的標(biāo)識(shí)高度。通過(guò)幾何關(guān)系，與在同一個(gè)三角形內(nèi)，得出， （24）整理可得，液面實(shí)際高度關(guān)于浮標(biāo)尺高度以及橫向偏轉(zhuǎn)角度的關(guān)系式。公式如下： （25）（2）求兩個(gè)截面面積之比： 11a 11 b圖 11a圖與11b圖分別表示儲(chǔ)油量很大和很小兩種情況其中，為油罐圓柱體的縱截面的扇形面積，所對(duì)應(yīng)的體積為；為油罐浮標(biāo)尺所計(jì)算出的扇形面積，所對(duì)應(yīng)的體積為（即實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中給出的顯示油量容積）。設(shè)定一個(gè)閾值，表示真實(shí)油量容積與顯示油量容積的之間的比例值。 （26）為油罐圓柱體縱截面的兩個(gè)扇形面積之差，所對(duì)應(yīng)的體積為（實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中：顯示油量容積的變化量與出油量之差）。代入公式（26）得出， （27）即 （28）考慮油面在圓心下方（參考圖b）： 所以，液面在圓心下方時(shí)為負(fù)值，進(jìn)行無(wú)符號(hào)化推理可以得到總式 （29）依據(jù)上述公式（29），我們可以得出關(guān)于各個(gè)油位高度所對(duì)應(yīng)的比例閾值。（3）對(duì)扇形面積進(jìn)行積分 xXY XY圖 c 圖 d圖 12c圖與12d圖分別表示浮標(biāo)尺與真實(shí)高度的扇形面積的積分處理觀察圖c可知圓心坐標(biāo)為，圓的任意一點(diǎn)滿足圓方程 把代入得到： 得到：圖d的扇形面積的處理計(jì)算過(guò)程同上述步驟，得出：（4）幾何分析（圖形參考圖a與圖b）兩個(gè)截面面積之比為：
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