基于集對分析下的粗糙集理論模型研究論文(編輯修改稿)
2025-07-24 21:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 來源于實際,所建立的模型有很強的應(yīng)用價值,其主要缺點是不易深刻了解近似算子的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在經(jīng)典粗糙集模型中有三個最基本的要素:一個論域U,U上的一個二元等價關(guān)系R(它們構(gòu)成了近似空間),一個被近似描述的(經(jīng)典)集合X,推廣的形式也有三個方向,即從論域方向、從關(guān)系方向（包括近似空間）和從集合方向。1）從論域方向推廣的目前主要是雙論域的情形,，這種討論也將隨著維數(shù)的增加變得越復(fù)雜。2)關(guān)系方向的推廣:一種是將論域上的二元等價關(guān)系推廣為任意的二元關(guān)系得到一般關(guān)系下的粗糙集模型。另一種是將對象x所在的等價類看成是x的一個鄰域,從而推廣導(dǎo)出了基于領(lǐng)域算子的粗糙集模型。也有將由關(guān)系導(dǎo)出的劃分推廣成為一般的布爾代數(shù)的,以此出發(fā)去定義粗糙集和近似算子的。更一般的有將普通關(guān)系推廣成模糊關(guān)系或模糊劃分而獲得模糊粗糙集模型。3)集合和近似空間的推廣:這一類的推廣是與其他處理不確定,不精確或模糊的知識(概率論,模糊數(shù)學,信息論,證據(jù)理論等)結(jié)合起來進行研究的。當知識庫中的知識是由于隨機原因或經(jīng)統(tǒng)計得到的，即知識庫中的知識很可能是不確定的，很多學者提出了統(tǒng)計（或概率）粗糙集模型，變精度粗糙集模型實際上也可以歸入這類模型。目前見到的此類模型中,近似空間中二元關(guān)系大都是等價關(guān)系,對于非等價關(guān)系給出的情形的文章尚未見到。張文修等提出了基于隨機集的粗糙集模型作為一種嘗試,既是對基于領(lǐng)域算子的粗糙集模型的推廣,又適用于雙論域情形,同時也是對統(tǒng)計粗糙集模型的推廣。我們認為在統(tǒng)計粗糙集模型和變精度粗糙集模型中,近似逼近好壞的本質(zhì)是張文修提出的包含度的大小,因此我們認為粗糙集理論與包含度理論的關(guān)系非常密切。當知識庫中的知識模塊都是清晰概念,而被描述的概念是一個模糊概念,有些學者就提出了模糊粗糙集模型并作了推廣。對于知識庫中的知識模塊既是模糊知識又是隨機得到的至今討論甚少,但在實際問題中肯定是存在的,因此也是值得繼續(xù)研究的。隨著這幾年對粗糙集理論的進一步研究，經(jīng)典的粗糙近似算子已經(jīng)被大量的推廣，主要表現(xiàn)在和其他不確定性概念或者其他知識發(fā)現(xiàn)的方法的結(jié)合上，特別是與模糊系統(tǒng)的聯(lián)系仍然是研究的熱點，這方面的成果也是最多的；而另一方面對于不完備信息系統(tǒng)上粗糙集模型的研究也主要是對容差關(guān)系和相似關(guān)系的討論；再者對被近似概念和集合的一般化、廣泛化也是研究的主流，所有這方面的工作都是為了使粗糙集理論更加深入到實際問題的解決中，或者是在更多領(lǐng)域中尋找與粗集理論相結(jié)合的交叉點，以此拓展粗糙集的應(yīng)用。(2)代數(shù)方法也稱為公理化方法有時也稱為算子方法,這種方法不是以二元關(guān)系為基本要素,它的基本要素是一對滿足某些公理的一元(集合)近似算子L ,H:2 U →2U,即粗糙代數(shù)系統(tǒng)(2U ,~,∪,∩,L, H),其缺點是應(yīng)用性不夠強。近似算子的某些公理能保證有一些特殊類型的二元關(guān)系的存在,使這些能夠通過構(gòu)造性方法產(chǎn)生給定的算子。反過來,由二元關(guān)系通過構(gòu)造性方法導(dǎo)出的近似算子一定滿足某些公理,使這些公理通過代數(shù)方法產(chǎn)生給定的二元關(guān)系。公理化方法的研究一開始只局限于Pawlak粗糙代數(shù)系統(tǒng),即公理與二元等價關(guān)系相對應(yīng)情形,關(guān)于公理化方法的粗糙集理論研究大多局限于經(jīng)典集情形,對于模糊集情形雖有討論,但比較少。 在Ｐawlak粗糙集模型中，論域Ｕ上任意一個經(jīng)典集合Ａ不一定能用知識庫（Ｕ，Ｒ）中的知識來精確的描述，這時就用Ａ關(guān)于（Ｕ，Ｒ）的一對上下近似來描述。但在實際生活中，人們涉及到的知識或概念往往是模糊的不確定的，即Ａ是Ｕ上的一個模糊集合，現(xiàn)在的問題是：Ａ如何用（Ｕ，Ｒ）中的知識來描述？模糊粗糙集模型就是針對這類問題提出來的。設(shè)（Ｕ，Ｒ）是Ｐawlak近似空間，即Ｒ是論域Ｕ上的一個等價關(guān)系。若Ａ是Ｕ上的一個模糊集合，則Ａ關(guān)于（Ｕ，Ｒ）的一對下近似和上近似定義為Ｕ上的一對模糊集合，其隸屬函數(shù)分別定義為 其中為元素在關(guān)系Ｒ下的等價類。若，則稱Ａ是可定義的，否則稱Ａ是模糊粗糙集（Fuzzy rough set）。稱是Ａ關(guān)于（Ｕ，Ｒ）的正域，稱是Ａ關(guān)于（Ｕ，Ｒ）的負域，稱為Ａ的邊界。以后如果關(guān)系Ｒ比較明確，我們將下標Ｒ省掉。我們知道，在Ｐawlak近似空間（Ｕ，Ｒ）中屬于同一等價類中的兩個對象是不可分辨的，從上面的定義可以看出, 和中的同一等價類中的隸屬函數(shù)都是常數(shù)，這符合直觀的意義?？衫斫鉃閷ο罂隙▽儆谀：恋碾`屬程度；可理解為可能屬于模糊集Ａ的隸屬程度。可以驗證，當Ａ是Ｕ上的經(jīng)典集合時，和就退化為Ａ在Ｐawlak意義下關(guān)于（Ｕ，Ｒ）的下近似和上近似，因此定義是Ｐawlak意義下的推廣形式。定理１：由定義１給出的下近似和上近似滿足下列（對偶）性質(zhì)： ?。ǎ保！ 。ǎ玻? （３） （４） ?。ǎ担 。ǎ叮 。ǎ罚┤簦瑒t，且。定義２ 設(shè)（Ｕ，Ｒ）是Ｐawlak近似空間，Ａ，Ｂ是Ｕ上的模糊集合，稱Ａ與Ｂ是模糊粗下相等的，若，記為； 稱Ａ與Ｂ是模糊粗上相等的，若記作；稱Ａ與Ｂ是模糊粗相等的，若且，記作。易見，對于Ｕ上的等價關(guān)系Ｒ， ， 和都是上的等價關(guān)系。以后對于， 和，我們都是指在某個特定的等價關(guān)系Ｒ下的。定理２ 設(shè)（Ｕ，Ｒ）是近似空間，則在中下列性質(zhì)成立：（１）當且僅當，且。（２）當且僅當，且。（３）若，且，則（４）若，且，則（５）若，且，則（６）若，且，則 （７）若，或，則 （８）若或，則 ?。ǎ梗┤舢斍覂H當。 ?。ǎ保埃┊斍覂H當定理３ 設(shè)（Ｕ，Ｒ）是近似空間， ，則（１）（２）三．概率粗糙集模型概率，作為隨機事件的一種度量，它反映了一種不確定性，因此，它在不確定性的推理中有重要的應(yīng)用。它從產(chǎn)生之日起就有兩種理解：一種理解為信任的程度，反映了人們的經(jīng)驗和知識，常稱為主觀概率；另一種理解為隨機事件在大量重復(fù)試驗中結(jié)果出現(xiàn)的相對頻率，常稱為客觀概率。即使是主觀概率，也能反映或符合某種統(tǒng)計規(guī)律性，也具有客觀性，因此，我們可以認為概率是對不確定的隨機事件的一種客觀的反映。Pawlak粗糙集模型是基于確定性知識的，即它的近似空間是完全確定的，因此它忽略了可以利用信息的不完全性和可能存在的統(tǒng)計信息，若我們?nèi)匀挥肞awlak粗糙集模型來處理隨機產(chǎn)生的知識庫的數(shù)據(jù)分析等問題，就不能完全反映問題的實質(zhì)。后來就有提出了概率粗糙集模型，為用粗糙集理論研究不確定性信息系統(tǒng)提供了一種可利用的途徑。，R是U上的等價關(guān)系，其構(gòu)成的等價類為U/R=,仍記X所在的等價類為[X]，令P為定義在U的子集類構(gòu)成的代數(shù)上的概率測度，三元組稱為概率近似空間。U中的每個子集稱為概念，它代表了一個隨機事件。P(X|Y) 表示事件Y發(fā)生下X出現(xiàn)的條件概率，也可解釋為隨機選擇的對象在概念Y的描述下屬于X的概率。設(shè)，對于任意,我們定義X關(guān)于概率近似空間依參數(shù)的概率(I)型下近似和近似如下：,X關(guān)于依參數(shù)的概率(I)型正域、邊界和負域分別為 顯然，X關(guān)于依參數(shù)的概率(I)型正域、邊界和負域構(gòu)成了論域U的劃分。而且顯然有或者當時，或等價地當時，稱X依參數(shù)關(guān)于是概率(I)型粗糙集。因此，X依參數(shù)關(guān)于的概率(I)型粗糙集是Pawlaw推廣形式。此粗糙集模型是利用條件概率定義了一種概率粗糙近似算子，這種近似算子依賴兩個參數(shù)，它是從一個側(cè)面用去定義下近似，用去定義近似。 學者對概率粗糙集模型的研究很多也很廣泛，總結(jié)出了很多性質(zhì) (I)型近似算子滿足下列性質(zhì)： (1)(2)(3)(4)(5) (6)若則 (7)若由定理看出(I)型粗糙集的正域隨著德減少而增大，負域隨著的增大而增大，同時邊界縮小。 （1）（2） 可以看出，隨著
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