【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ()其中表示系統(tǒng)未知部分的影響。其中是一個(gè)服從分布的高斯隨機(jī)變量，是用來(lái)調(diào)整隨機(jī)性引入的強(qiáng)度的一個(gè)較小的定常因子。是從時(shí)間序列本身求出來(lái)的，并且為了使得部分的影響盡量達(dá)到最小，則可以使得系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)下式的誤差平方和最小 ()對(duì)每個(gè)求偏導(dǎo)并令它等于零，則有 ()變形之后，得到 ()其中、是自相關(guān)函數(shù)，由式（）可以求出系數(shù)。再回頭看式（），考慮部分，可以令，已知是服從高斯分布的隨機(jī)的變量，則式（）的預(yù)測(cè)能力較高。全域法預(yù)測(cè)的缺點(diǎn)顯而易見(jiàn)：往往計(jì)算比較復(fù)雜，尤其是在嵌入維數(shù)很高或者很復(fù)雜時(shí)。由于混沌只能是由非線性系統(tǒng)產(chǎn)生，常取有理式、多項(xiàng)式等形式，這對(duì)較低的嵌入維數(shù)是可行的。但如果系統(tǒng)的嵌入維數(shù)較高，再用高階多項(xiàng)式很不實(shí)際，因此常用典型的線性回歸分析方法。此外，如果系統(tǒng)的嵌入維數(shù)較高，重構(gòu)相空間預(yù)測(cè)算法的預(yù)測(cè)精度就會(huì)迅速下降。這是因?yàn)楫?dāng)嵌入維數(shù)越高時(shí)，預(yù)測(cè)算法所利用的信息的歷史越長(zhǎng)，而對(duì)于Lyapunov指數(shù)譜具有正分量的動(dòng)力系統(tǒng)所生成的混沌時(shí)間序列，歷史對(duì)未來(lái)的影響是依時(shí)間指數(shù)衰減的，所以預(yù)測(cè)精度會(huì)下降。由此可以看出，一般全域法適用于不是很復(fù)雜，同時(shí)噪聲干擾比較小的時(shí)候。對(duì)于其他情況，我們可以考慮即將提到的局域預(yù)測(cè)法。顧名思義，所謂局域法是將相空間軌跡的最后一點(diǎn)作為中心點(diǎn)，把與中心點(diǎn)距離最近的若干軌跡點(diǎn)作為相關(guān)點(diǎn)，然后對(duì)這些相關(guān)點(diǎn)作出擬合，根據(jù)擬合結(jié)果再估計(jì)下一點(diǎn)的走向，最后在預(yù)測(cè)出的軌跡點(diǎn)的坐標(biāo)中分離出所需要的預(yù)測(cè)值。相對(duì)于全域法來(lái)說(shuō)，局域法更適用于大多數(shù)情況。首先介紹一階近似，它是指以來(lái)擬合第n點(diǎn)周?chē)男∴徲?。下面就用一階近似擬合的局域法來(lái)簡(jiǎn)單說(shuō)明局域法的預(yù)測(cè)方法。設(shè)等n點(diǎn)的鄰域包括點(diǎn)，則上式可表示為 ()根據(jù)最小二乘法，可以求解到，然后通過(guò)得到相空間中的軌跡趨勢(shì)，再?gòu)闹蟹蛛x出預(yù)測(cè)值。由于零階局域法在實(shí)際應(yīng)用中具有較大的局限性，一般將階數(shù)提高到更高階來(lái)做近似，常用的是一階局域法。一個(gè)顯而易見(jiàn)的問(wèn)題就是在預(yù)測(cè)過(guò)程中如何確定參考點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其實(shí)，并不需要太多的點(diǎn)，甚至于太多的點(diǎn)數(shù)反而會(huì)影響預(yù)測(cè)的效果，一般而言選即可。一階近似的優(yōu)點(diǎn)是要擬合的參數(shù)隨嵌入維數(shù)的遞增而增加緩慢，其缺點(diǎn)是一階近似是線性的近似。但還會(huì)碰到更復(fù)雜的情況，如有時(shí)增加局域法的階數(shù)并不一定能保證精度就高，這時(shí)就可采用分段線性方法提高預(yù)測(cè)精度。同時(shí)，還要注意到在局域法中，在將中心點(diǎn)鄰域中的幾個(gè)點(diǎn)進(jìn)行擬合時(shí)，沒(méi)有考慮鄰域中各點(diǎn)與中心點(diǎn)的空間距離這個(gè)參數(shù)，而此參數(shù)卻是決定著預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。因此，為了實(shí)現(xiàn)在一定程度上提高預(yù)測(cè)精度，可將此參數(shù)作為一個(gè)擬合參數(shù)引入預(yù)側(cè)過(guò)程，且還有一定的消噪能力[7]。在上述局域法預(yù)測(cè)算法中，找到中心點(diǎn)的鄰域之后，便將鄰域中的幾個(gè)點(diǎn)進(jìn)行擬合，而沒(méi)有考慮鄰域中各點(diǎn)與中心點(diǎn)之間的空間距離對(duì)預(yù)測(cè)的影響。但是，相空間中各點(diǎn)與中心點(diǎn)之間的空間距離是一個(gè)非常重要的參數(shù)，往往與中心點(diǎn)的空間距離最近的那幾個(gè)點(diǎn)決定著預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。因此，為了在一定程度上可以提高預(yù)測(cè)的精度，將中心點(diǎn)的空間距離作為一個(gè)擬合參數(shù)引入預(yù)測(cè)過(guò)程，并它還有一定的消噪能力。改進(jìn)后的相空間軌跡的加權(quán)零階局域預(yù)測(cè)為 （）其中是預(yù)測(cè)得到的空間軌跡點(diǎn)，表示為中心點(diǎn)鄰域中的各點(diǎn)，表示鄰域中點(diǎn)的數(shù)目，分別表示鄰域中各點(diǎn)到中心點(diǎn)的空間距離和最小空間距離。可以看出，鄰域中的點(diǎn)到中心點(diǎn)的空間距離越小，則它在預(yù)測(cè)中所占的比例就越大。為參數(shù)，一般情況下。加權(quán)零階局域法的具體算法簡(jiǎn)述為：(1)預(yù)處理。(2)重構(gòu)相空間。(3)尋找鄰近點(diǎn)。(4)計(jì)算出。據(jù)上述（）式有 （）(5)從中得到的預(yù)測(cè)結(jié)果。由式（）得到 ()在進(jìn)行一點(diǎn)預(yù)測(cè)時(shí)，將代入式（）即可得到的預(yù)測(cè)值。通過(guò)進(jìn)行大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用，結(jié)果表明這種加權(quán)零階局域法的預(yù)測(cè)效果要好于零階局域法[7]。大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用表明：一般情況下，局域法的預(yù)測(cè)效果好于全域法；一階局域法的預(yù)測(cè)效果好于零階局域法；加權(quán)零階局域法在這幾種方法中預(yù)測(cè)效果最好。設(shè)想加權(quán)一階局域法的預(yù)測(cè)效果應(yīng)當(dāng)比一階局域法和加權(quán)零階局域法的預(yù)測(cè)效果要好?；诖嗽O(shè)想，我們提出了加權(quán)一階局域法的思想，并且通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)證實(shí)其預(yù)測(cè)效果確實(shí)要明顯優(yōu)于一階局域法和加權(quán)零階局域法[7][8][9][10][11]。設(shè)中心點(diǎn)的鄰近點(diǎn)為，且到的距離分別為，設(shè)是中的最小值，定義各個(gè)鄰近點(diǎn)的權(quán)值為 ()為參數(shù)，一般取。則一階局域線性擬合為其中， 當(dāng)嵌入維數(shù)時(shí)，運(yùn)用加權(quán)最小二乘法有 ()雖然可直接求解上述方程，但我們通常不采用，而是將其轉(zhuǎn)化為更方便的普通最小二乘法模型。這樣，所有最小二乘法的結(jié)論就均適用于加權(quán)最小二乘法。此即加權(quán)一階局域法。加權(quán)一階局域法的具體算法表述如下[7][12][13][14][15]：(1)重構(gòu)相空間。由GP算法計(jì)算得到時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)，再根據(jù)Takens定理選取嵌入維數(shù)，得到重構(gòu)的相空間為，其中為重構(gòu)相空間點(diǎn)的個(gè)數(shù)。(2)尋找鄰近點(diǎn)。計(jì)算相空間中各點(diǎn)與中心點(diǎn)之間的空間距離，找出的參考向量集，并且點(diǎn)與間的距離為，設(shè)是中的最小值，定義點(diǎn)的權(quán)值為 ()為參數(shù)，一般取。(3)進(jìn)行計(jì)算預(yù)測(cè)。一階加權(quán)局域法線性擬合為 ()下面討論的情況，的情況類似，即 ()應(yīng)用加權(quán)最小二乘法有 ()將()式看成是關(guān)于未知數(shù)，的二元函數(shù)，對(duì)兩邊求偏導(dǎo)可得 ()化簡(jiǎn)后，得到關(guān)于未知數(shù)，的方程組為 ()解方程組()得到，的解，然后代入()式。(4)根據(jù)預(yù)測(cè)公式進(jìn)行預(yù)測(cè)。其中，參考向量集為的一步預(yù)測(cè)， 。三　　基于加權(quán)一階局域法的低壓電力線信道預(yù)測(cè)為了驗(yàn)證算法的有效性，首先使用具有典型混沌特性的Lorenz數(shù)據(jù)來(lái)證實(shí)。根據(jù)算法，首先要計(jì)算出Lorenz數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)。本課題采用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，計(jì)算結(jié)果如下圖31所示。圖31 計(jì)算Lorenz數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)維數(shù)由上圖中圖可以看出，線性區(qū)域在[18:25]之間，對(duì)這段區(qū)域進(jìn)行擬合。運(yùn)行程序后得到關(guān)聯(lián)維數(shù)，嵌入維數(shù)。同樣采用編程計(jì)算延遲時(shí)間，如圖32，得到。圖32 計(jì)算延遲時(shí)間利用之前提到的重構(gòu)相空間理論進(jìn)行重構(gòu)。在重構(gòu)相空間中找到中心點(diǎn)的鄰近點(diǎn)矢量集，計(jì)算各自的權(quán)值，編程實(shí)現(xiàn)算法，就可進(jìn)行預(yù)測(cè)。我們選用3000個(gè)數(shù)據(jù)，使用2900個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)來(lái)預(yù)測(cè)之后的100個(gè)點(diǎn)。采用單步預(yù)測(cè)方式，第一步，以2900個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)，預(yù)測(cè)第2901個(gè)點(diǎn)，將預(yù)測(cè)得到的數(shù)據(jù)存入MATLAB矩陣A當(dāng)中的第一個(gè)點(diǎn)，原始的第2901個(gè)點(diǎn)存入矩陣B的第一個(gè)點(diǎn)；第二步