【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 () () () () ()得到線性化之后的公式 ()將在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線性化，令 () () () () () () ()得到 ()即: () ()現(xiàn)在得到了兩個(gè)線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程: ()取狀態(tài)變量如下： ()則狀態(tài)空間方程如下： ()將以下參數(shù)代入 求出各個(gè)值： 得到狀態(tài)方程各個(gè)參數(shù)矩陣： 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)性能分析 穩(wěn)定性分析二級(jí)倒立擺的特征方程為: ()Matlab中，用函數(shù)eig(A)來(lái)計(jì)算系統(tǒng)矩陣的特征值，經(jīng)過(guò)計(jì)算，系統(tǒng)的特征值為： ()開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于平面右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 能控性能觀性分析 對(duì)于線形狀態(tài)方程 ()其能控性矩陣為： ()求的秩 ()所以系統(tǒng)是完全能控的。其能觀性矩陣為： ()求的秩 ()所以系統(tǒng)是完全能觀的?？煽匦跃仃嚨臈l件數(shù)決定系統(tǒng)控制的難控程度，條件數(shù)越大，系統(tǒng)越難控制。可控性矩陣的條件數(shù)為： ()前面能控性和能觀性的判斷畢竟是針對(duì)線性化后的數(shù)學(xué)模型。實(shí)際的倒立擺的非線性很重，同時(shí)一些參數(shù)（如轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等）的數(shù)值并不一定準(zhǔn)確，另外一些參數(shù)（如摩擦力矩系數(shù)）也不準(zhǔn)確，對(duì)象的條件數(shù)較大，這些因素都使得二級(jí)倒立擺的實(shí)際控制比較難以實(shí)現(xiàn)。3 線性二次最優(yōu)控制算法簡(jiǎn)介最優(yōu)控制就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)規(guī)定的性能指標(biāo)具有最優(yōu)值的一種控制。對(duì)于線性系統(tǒng)，若取狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分做為系統(tǒng)的性能指標(biāo)，這種系統(tǒng)最優(yōu)化問(wèn)題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題，簡(jiǎn)稱線性二次型(LQR)問(wèn)題。線性二次型控制理論已成為反饋系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一種重要工具。設(shè)給定線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ()其中: ——狀態(tài)向量，是矩陣； ——控制向量，是矩陣； ——輸出向量，是矩陣； A ——系統(tǒng)矩陣，是矩陣； B ——控制矩陣, 是矩陣； C ——輸出矩陣，是矩陣；若用表示系統(tǒng)的期望輸出，則從系統(tǒng)的輸出端定義： ()為系統(tǒng)的誤差向量，是矩陣。求取最優(yōu)控制，使基于誤差向量e構(gòu)成的指標(biāo)函數(shù)： ()取最小值，其中S為對(duì)稱半正定矩陣，Q為對(duì)稱半正定矩陣，R為對(duì)稱半正定矩陣。它們是用來(lái)權(quán)衡向量e(t)及控制向量U(t)在指標(biāo)函數(shù)J中重要程度的加權(quán)矩陣。其中各項(xiàng)所表示的物理意義簡(jiǎn)述如下：。由于加權(quán)矩陣Q是對(duì)稱半正定的，故只要誤差存在，該代價(jià)函數(shù)總為非負(fù)。它說(shuō)明，當(dāng)e(t)=0時(shí)，代價(jià)函數(shù)為零；而誤差越大，則因此付出的代價(jià)也就越大。如誤差為標(biāo)量函數(shù)e(t)，則項(xiàng)變成。于是，上述代價(jià)函數(shù)的積分便是在古典控制理論中熟悉的用以評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的誤差平方積分準(zhǔn)則。由于加權(quán)矩陣R是對(duì)稱正定，故只要有控制U(t)存在該代價(jià)函數(shù)總是正的，而且控制U(t)越大，則付出的代價(jià)也越大。注意，加權(quán)矩陣Q和R的選取是立足提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷考慮上的。這體現(xiàn)在，如果重視提高控制性能，則應(yīng)增加加權(quán)矩陣Q的各個(gè)元素；反之，如果重視降低控制能量的消耗，則需增大加權(quán)矩陣R各個(gè)元素。它表示在給定終端時(shí)刻到來(lái)時(shí)，系統(tǒng)實(shí)際輸出y(t)接近期望輸出的程度。綜上所述，具有二次型指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問(wèn)題，實(shí)際上在于用不大控制能量來(lái)實(shí)現(xiàn)較小的誤差，以在能量和誤差兩個(gè)方面實(shí)現(xiàn)綜合最優(yōu)。因?yàn)樵诘沽[系統(tǒng)中C＝I，及＝0，則有 ()并且倒立擺的控制是時(shí)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)問(wèn)題，所以指標(biāo)函數(shù)可以等價(jià)為： ()采用反饋控制： ()其中 ()其中,P為滿足Riccati方程的唯一正定對(duì)稱解： ()綜上所述，系統(tǒng)的設(shè)計(jì)步驟可概括如下：()Riccati方程，求得矩陣P。如果正定矩陣P存在，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的或矩陣ABK 是穩(wěn)定的。()，得到的即為最優(yōu)反饋增益矩陣K。 加權(quán)陣Q、R的選擇在利用LQR方法設(shè)計(jì)控制器時(shí)，一個(gè)最關(guān)鍵的問(wèn)題是二次型性能指標(biāo)的選取。二次型性能指標(biāo)與實(shí)際工程意義的品質(zhì)指標(biāo)間的聯(lián)系至今未完全建立。因此，確定加權(quán)陣Q, R是一項(xiàng)重要且困難的工作。一般來(lái)說(shuō)，加權(quán)矩陣Q和R的選取是在立足提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷上考慮的。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)單，且使加權(quán)陣Q和R的各元素有明顯的物理意義，通常將加權(quán)陣Q和R選為對(duì)角陣。這樣可以看出是對(duì)狀態(tài)X平方的加權(quán)，相對(duì)增大就意味著對(duì)X的要求較嚴(yán)。R是對(duì)控制量u的平方的加權(quán)，當(dāng)R相對(duì)較大，意味著控制費(fèi)用增高，使得控制能量較小，反饋減弱，當(dāng)R相對(duì)很小時(shí)，控制費(fèi)用較低，反饋增強(qiáng)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速。對(duì)于二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標(biāo)應(yīng)能使其在調(diào)節(jié)過(guò)程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，根據(jù)前面對(duì)二級(jí)倒立擺運(yùn)動(dòng)分析，在考慮倒立擺系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)時(shí)，上擺偏角應(yīng)比下擺的偏角重要，下擺的偏角應(yīng)比小車的位移x重要，因此要在選擇加權(quán)矩陣Q和R時(shí)反映這些要求。4 遺傳算法遺傳算法(Genetic Algorithms，簡(jiǎn)稱GA)是一種基于生物界中的自然選擇原理和自然遺傳機(jī)制的隨機(jī)搜索算法[18]。它模擬了生物界中的生命進(jìn)化機(jī)制，并用在人工系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)特定目標(biāo)的優(yōu)化。這是一種在思想和方法上別開(kāi)生面的全新優(yōu)化搜索算法。傳統(tǒng)的優(yōu)化搜索算法往往要求所求的函數(shù)具有連續(xù)、可微的性質(zhì)，有要求搜索空間及噪聲相對(duì)較小的限制。而遺傳算法不受問(wèn)題性質(zhì)的限制，可以在巨大的空間上實(shí)行概率性搜索，能在搜索的過(guò)程中自動(dòng)獲取和積累有關(guān)搜索空間的指示，并自適應(yīng)地控制搜索過(guò)程，以求得最優(yōu)解或較優(yōu)解。遺傳算法的這種特點(diǎn)使得它能夠處理許多復(fù)雜問(wèn)題，具有廣泛的適用性和魯捧性。在自動(dòng)控制、組合優(yōu)化、模式識(shí)別、機(jī)器學(xué)習(xí)、人工生命、管理決策等許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用[19,20]。近年來(lái)，自動(dòng)控制己成為遺傳算法最活躍的研究領(lǐng)域之一，包括PID控制、最優(yōu)控制、自適應(yīng)、魯棒控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制及系統(tǒng)辨識(shí)等許多分支[21,22]。越來(lái)越多的研究人員開(kāi)始研究用遺傳算法及其改進(jìn)算法解決控制領(lǐng)域中的難題。在科技高速發(fā)展的今天，對(duì)大規(guī)模的、復(fù)雜的、不確定性的系統(tǒng)進(jìn)行有效控制的要求在不斷提高，如何準(zhǔn)確方便地優(yōu)化各種控制方法中控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)己成為迫切需要解決的問(wèn)題。盡管遺傳算法經(jīng)過(guò)幾十年的理論及應(yīng)用研究已獲得了大量的成果，但其理論基礎(chǔ)仍較薄弱，一些參數(shù)的選取還要依靠實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)的積累。因此，對(duì)遺傳算法本身及其解決控制問(wèn)題的能力的深入研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。 遺傳算法的基本理論遺傳算法最早是由美國(guó)Michigan大學(xué)的John Holland和他的同事及學(xué)生提出的。它將“適者生存”的理論引入到搜索過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)編碼串之間有組織但又隨機(jī)的信息交換。其基本思想是模仿生物界中基因的復(fù)制、交叉和變異的行為，以獲得離散搜索或者參數(shù)尋優(yōu)的結(jié)果。生物個(gè)體的所有信息都包含在基因中，種群經(jīng)過(guò)一代代的進(jìn)化，優(yōu)勝劣汰。不適應(yīng)環(huán)境的基因被淘汰，具有競(jìng)爭(zhēng)力的個(gè)體則生存下來(lái)并得以繁衍后代。如果把待定的參數(shù)與生物個(gè)體進(jìn)行對(duì)應(yīng)，就能比較容易地理解遺傳算法的基本原理了。待定參數(shù)決定了系統(tǒng)的性能，參數(shù)尋優(yōu)的目的就是要獲得使系統(tǒng)性能最佳的一組參數(shù)。把一組參數(shù)下系統(tǒng)的性能指標(biāo)函數(shù)看成是這組參數(shù)對(duì)環(huán)境的適應(yīng)能力，性能指標(biāo)好的個(gè)體具有強(qiáng)的生存能力并遺傳給后代，指標(biāo)差的個(gè)體的生存能力較弱。這樣，經(jīng)過(guò)很多代的進(jìn)化，最后存活的個(gè)體必定是最適應(yīng)環(huán)境的，其生存能力最強(qiáng)。遺傳算法的主要特點(diǎn)是群體搜索策略和群體中個(gè)體之間的信息交換，搜索不依賴梯度信息，也不需要求解函數(shù)可微，只需要該函數(shù)在約束條件下可解，因此該方法尤為適用于處理傳統(tǒng)方法難以解決的復(fù)雜和非線性問(wèn)題。 基本遺傳算法基本遺傳算法(Standard Genetic Algorithms，簡(jiǎn)稱SGA)是Goldberg總結(jié)出的一種最基本的遺傳算法，其工作流程和結(jié)構(gòu)形式是Goldberg在天然氣管道控制優(yōu)化應(yīng)用中首先提出的。它只使用選擇算子、交叉算子和變異算子這三種基本的遺傳算子，其遺傳進(jìn)化操作簡(jiǎn)單，容易理解，是其它一些遺傳算法的雛形和基礎(chǔ)，也是研究各種遺傳算法性能和優(yōu)缺點(diǎn)的對(duì)象。在實(shí)際應(yīng)用中，可結(jié)合具體領(lǐng)域知識(shí)和問(wèn)題特征對(duì)SGA進(jìn)行改進(jìn)，增強(qiáng)SGA的功能和解決問(wèn)題的能力，以形成各式各樣的具體的GA。遺傳算法的出發(fā)點(diǎn)是一個(gè)簡(jiǎn)單的群體模型，該模型滿足以下假設(shè)[23]：(1)染色體由一固定長(zhǎng)度的字符串組成，其中的每一位有有限數(shù)目的等位基因。(2)群體由有限數(shù)目的基因型個(gè)體組成。(3)每一個(gè)基因型個(gè)體有一相應(yīng)的適應(yīng)度，表示該個(gè)體的生存與復(fù)制能力。適應(yīng)度為大于零的實(shí)數(shù)，適應(yīng)度越大表示生存能力越強(qiáng)。基本遺傳算法的特點(diǎn)是采用輪盤賭選擇方法(適應(yīng)度比例法)，單點(diǎn)交叉，位點(diǎn)變異，群體中允許有相同的個(gè)體存在。遺傳算法的實(shí)現(xiàn)是一個(gè)迭代過(guò)程，它以編碼空間代替問(wèn)題空間，以適應(yīng)度函數(shù)為評(píng)價(jià)依據(jù)，以群體為進(jìn)化基礎(chǔ)，以對(duì)群體中個(gè)體的位串的遺傳操作實(shí)現(xiàn)選擇和遺傳機(jī)制，通過(guò)隨機(jī)重組位串中的重要基因，使群體不斷進(jìn)化，最終達(dá)到求解目的?；具z傳算法采用二進(jìn)制編碼．二進(jìn)制編碼優(yōu)點(diǎn)很多，簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，符合最小字符集編碼原則，有較強(qiáng)的通用性，但它不反映所求問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，無(wú)法利用具體領(lǐng)域的特定知識(shí)，遺傳算子可選擇的操作方式有限，精度也不太高。選擇采用輪盤賭方法，當(dāng)群體適應(yīng)度差異非常大時(shí)，最佳個(gè)體的生存機(jī)會(huì)顯著增高，較差個(gè)體的生存機(jī)會(huì)被剝奪，使最佳個(gè)體很快充滿整個(gè)群體。遺傳算法也較早地喪失了進(jìn)化能力。根據(jù)模式定理，即使基本GAs搜索到最優(yōu)解，但在交叉和變異算子的作用下仍然可能在生成下一代群體的過(guò)程中丟失，當(dāng)前群體中最優(yōu)解被破壞的概率與群體規(guī)模和迭代次數(shù)成反比。文獻(xiàn)[24]證明了在交叉概率Pc∈(O，1)，變異概率Pm∈(0，1)，且采用輪盤賭方法的基本遺傳算法是不能收斂到全局最優(yōu)解的。另外，針對(duì)不同問(wèn)題，僅采用單點(diǎn)交叉和基本位變異的方法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，其中交叉是遺傳算法生成新群體，帶動(dòng)群體進(jìn)化的主要方法，是遺傳算法的核心，變異是維持群體多樣性，突破局部極值的重要手段，兩算子的操作方式對(duì)整個(gè)GA的影響捆當(dāng)大，應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題選擇設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)牟僮鞣绞健GA采用固定的控制參數(shù)，在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，很難同時(shí)兼顧搜索范圍廣和搜索速率快的矛盾，容易陷入局部極值或使搜索時(shí)間增長(zhǎng)，Grefenstette[25]采用一組測(cè)試函數(shù)進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)，試圖發(fā)現(xiàn)一組通用的或具有普適性的最佳參數(shù)，但結(jié)果表明。這樣的參數(shù)很難找到，因此，采用固定參數(shù)的GA有很多值得改進(jìn)的地方。、初始化首先要把問(wèn)題的解表示成為遺傳算法可以接受的格式，即2進(jìn)制或字符串的格式。接著產(chǎn)生初解群，即串或