【文章內(nèi)容簡介】 () () () () ()得到線性化之后的公式 ()將在平衡位置進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令 () () () () () () ()得到 ()即: () ()現(xiàn)在得到了兩個(gè)線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程: ()取狀態(tài)變量如下： ()則狀態(tài)空間方程如下： ()將以下參數(shù)代入 求出各個(gè)值： 得到狀態(tài)方程各個(gè)參數(shù)矩陣： 二級倒立擺系統(tǒng)性能分析 穩(wěn)定性分析二級倒立擺的特征方程為: ()Matlab中，用函數(shù)eig(A)來計(jì)算系統(tǒng)矩陣的特征值，經(jīng)過計(jì)算，系統(tǒng)的特征值為： ()開環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)位于平面右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 能控性能觀性分析 對于線形狀態(tài)方程 ()其能控性矩陣為： ()求的秩 ()所以系統(tǒng)是完全能控的。其能觀性矩陣為： ()求的秩 ()所以系統(tǒng)是完全能觀的?？煽匦跃仃嚨臈l件數(shù)決定系統(tǒng)控制的難控程度，條件數(shù)越大，系統(tǒng)越難控制?？煽匦跃仃嚨臈l件數(shù)為： ()前面能控性和能觀性的判斷畢竟是針對線性化后的數(shù)學(xué)模型。實(shí)際的倒立擺的非線性很重，同時(shí)一些參數(shù)（如轉(zhuǎn)動慣量等）的數(shù)值并不一定準(zhǔn)確，另外一些參數(shù)（如摩擦力矩系數(shù)）也不準(zhǔn)確，對象的條件數(shù)較大，這些因素都使得二級倒立擺的實(shí)際控制比較難以實(shí)現(xiàn)。3 線性二次最優(yōu)控制算法簡介最優(yōu)控制就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)規(guī)定的性能指標(biāo)具有最優(yōu)值的一種控制。對于線性系統(tǒng)，若取狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分做為系統(tǒng)的性能指標(biāo)，這種系統(tǒng)最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題，簡稱線性二次型(LQR)問題。線性二次型控制理論已成為反饋系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一種重要工具。設(shè)給定線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ()其中: ——狀態(tài)向量，是矩陣； ——控制向量，是矩陣； ——輸出向量，是矩陣； A ——系統(tǒng)矩陣，是矩陣； B ——控制矩陣, 是矩陣； C ——輸出矩陣，是矩陣；若用表示系統(tǒng)的期望輸出，則從系統(tǒng)的輸出端定義： ()為系統(tǒng)的誤差向量，是矩陣。求取最優(yōu)控制，使基于誤差向量e構(gòu)成的指標(biāo)函數(shù)： ()取最小值，其中S為對稱半正定矩陣，Q為對稱半正定矩陣，R為對稱半正定矩陣。它們是用來權(quán)衡向量e(t)及控制向量U(t)在指標(biāo)函數(shù)J中重要程度的加權(quán)矩陣。其中各項(xiàng)所表示的物理意義簡述如下：。由于加權(quán)矩陣Q是對稱半正定的，故只要誤差存在，該代價(jià)函數(shù)總為非負(fù)。它說明，當(dāng)e(t)=0時(shí)，代價(jià)函數(shù)為零；而誤差越大，則因此付出的代價(jià)也就越大。如誤差為標(biāo)量函數(shù)e(t)，則項(xiàng)變成。于是，上述代價(jià)函數(shù)的積分便是在古典控制理論中熟悉的用以評價(jià)系統(tǒng)性能的誤差平方積分準(zhǔn)則。由于加權(quán)矩陣R是對稱正定，故只要有控制U(t)存在該代價(jià)函數(shù)總是正的，而且控制U(t)越大，則付出的代價(jià)也越大。注意，加權(quán)矩陣Q和R的選取是立足提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷考慮上的。這體現(xiàn)在，如果重視提高控制性能，則應(yīng)增加加權(quán)矩陣Q的各個(gè)元素；反之，如果重視降低控制能量的消耗，則需增大加權(quán)矩陣R各個(gè)元素。它表示在給定終端時(shí)刻到來時(shí)，系統(tǒng)實(shí)際輸出y(t)接近期望輸出的程度。綜上所述，具有二次型指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問題，實(shí)際上在于用不大控制能量來實(shí)現(xiàn)較小的誤差，以在能量和誤差兩個(gè)方面實(shí)現(xiàn)綜合最優(yōu)。因?yàn)樵诘沽[系統(tǒng)中C＝I，及＝0，則有 ()并且倒立擺的控制是時(shí)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)問題，所以指標(biāo)函數(shù)可以等價(jià)為： ()采用反饋控制： ()其中 ()其中,P為滿足Riccati方程的唯一正定對稱解： ()綜上所述，系統(tǒng)的設(shè)計(jì)步驟可概括如下：()Riccati方程，求得矩陣P。如果正定矩陣P存在，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的或矩陣ABK 是穩(wěn)定的。()，得到的即為最優(yōu)反饋增益矩陣K。 加權(quán)陣Q、R的選擇在利用LQR方法設(shè)計(jì)控制器時(shí)，一個(gè)最關(guān)鍵的問題是二次型性能指標(biāo)的選取。二次型性能指標(biāo)與實(shí)際工程意義的品質(zhì)指標(biāo)間的聯(lián)系至今未完全建立。因此，確定加權(quán)陣Q, R是一項(xiàng)重要且困難的工作。一般來說，加權(quán)矩陣Q和R的選取是在立足提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷上考慮的。為了使問題簡單，且使加權(quán)陣Q和R的各元素有明顯的物理意義，通常將加權(quán)陣Q和R選為對角陣。這樣可以看出是對狀態(tài)X平方的加權(quán)，相對增大就意味著對X的要求較嚴(yán)。R是對控制量u的平方的加權(quán)，當(dāng)R相對較大，意味著控制費(fèi)用增高，使得控制能量較小，反饋減弱，當(dāng)R相對很小時(shí)，控制費(fèi)用較低，反饋增強(qiáng)，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)迅速。對于二級倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標(biāo)應(yīng)能使其在調(diào)節(jié)過程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，根據(jù)前面對二級倒立擺運(yùn)動分析，在考慮倒立擺系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)時(shí)，上擺偏角應(yīng)比下擺的偏角重要，下擺的偏角應(yīng)比小車的位移x重要，因此要在選擇加權(quán)矩陣Q和R時(shí)反映這些要求。4 遺傳算法遺傳算法(Genetic Algorithms，簡稱GA)是一種基于生物界中的自然選擇原理和自然遺傳機(jī)制的隨機(jī)搜索算法[18]。它模擬了生物界中的生命進(jìn)化機(jī)制，并用在人工系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)特定目標(biāo)的優(yōu)化。這是一種在思想和方法上別開生面的全新優(yōu)化搜索算法。傳統(tǒng)的優(yōu)化搜索算法往往要求所求的函數(shù)具有連續(xù)、可微的性質(zhì)，有要求搜索空間及噪聲相對較小的限制。而遺傳算法不受問題性質(zhì)的限制，可以在巨大的空間上實(shí)行概率性搜索，能在搜索的過程中自動獲取和積累有關(guān)搜索空間的指示，并自適應(yīng)地控制搜索過程，以求得最優(yōu)解或較優(yōu)解。遺傳算法的這種特點(diǎn)使得它能夠處理許多復(fù)雜問題，具有廣泛的適用性和魯捧性。在自動控制、組合優(yōu)化、模式識別、機(jī)器學(xué)習(xí)、人工生命、管理決策等許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用[19,20]。近年來，自動控制己成為遺傳算法最活躍的研究領(lǐng)域之一，包括PID控制、最優(yōu)控制、自適應(yīng)、魯棒控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制及系統(tǒng)辨識等許多分支[21,22]。越來越多的研究人員開始研究用遺傳算法及其改進(jìn)算法解決控制領(lǐng)域中的難題。在科技高速發(fā)展的今天，對大規(guī)模的、復(fù)雜的、不確定性的系統(tǒng)進(jìn)行有效控制的要求在不斷提高，如何準(zhǔn)確方便地優(yōu)化各種控制方法中控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)己成為迫切需要解決的問題。盡管遺傳算法經(jīng)過幾十年的理論及應(yīng)用研究已獲得了大量的成果，但其理論基礎(chǔ)仍較薄弱，一些參數(shù)的選取還要依靠實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)的積累。因此，對遺傳算法本身及其解決控制問題的能力的深入研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。 遺傳算法的基本理論遺傳算法最早是由美國Michigan大學(xué)的John Holland和他的同事及學(xué)生提出的。它將“適者生存”的理論引入到搜索過程中，實(shí)現(xiàn)編碼串之間有組織但又隨機(jī)的信息交換。其基本思想是模仿生物界中基因的復(fù)制、交叉和變異的行為，以獲得離散搜索或者參數(shù)尋優(yōu)的結(jié)果。生物個(gè)體的所有信息都包含在基因中，種群經(jīng)過一代代的進(jìn)化，優(yōu)勝劣汰。不適應(yīng)環(huán)境的基因被淘汰，具有競爭力的個(gè)體則生存下來并得以繁衍后代。如果把待定的參數(shù)與生物個(gè)體進(jìn)行對應(yīng)，就能比較容易地理解遺傳算法的基本原理了。待定參數(shù)決定了系統(tǒng)的性能，參數(shù)尋優(yōu)的目的就是要獲得使系統(tǒng)性能最佳的一組參數(shù)。把一組參數(shù)下系統(tǒng)的性能指標(biāo)函數(shù)看成是這組參數(shù)對環(huán)境的適應(yīng)能力，性能指標(biāo)好的個(gè)體具有強(qiáng)的生存能力并遺傳給后代，指標(biāo)差的個(gè)體的生存能力較弱。這樣，經(jīng)過很多代的進(jìn)化，最后存活的個(gè)體必定是最適應(yīng)環(huán)境的，其生存能力最強(qiáng)。遺傳算法的主要特點(diǎn)是群體搜索策略和群體中個(gè)體之間的信息交換，搜索不依賴梯度信息，也不需要求解函數(shù)可微，只需要該函數(shù)在約束條件下可解，因此該方法尤為適用于處理傳統(tǒng)方法難以解決的復(fù)雜和非線性問題。 基本遺傳算法基本遺傳算法(Standard Genetic Algorithms，簡稱SGA)是Goldberg總結(jié)出的一種最基本的遺傳算法，其工作流程和結(jié)構(gòu)形式是Goldberg在天然氣管道控制優(yōu)化應(yīng)用中首先提出的。它只使用選擇算子、交叉算子和變異算子這三種基本的遺傳算子，其遺傳進(jìn)化操作簡單，容易理解，是其它一些遺傳算法的雛形和基礎(chǔ)，也是研究各種遺傳算法性能和優(yōu)缺點(diǎn)的對象。在實(shí)際應(yīng)用中，可結(jié)合具體領(lǐng)域知識和問題特征對SGA進(jìn)行改進(jìn)，增強(qiáng)SGA的功能和解決問題的能力，以形成各式各樣的具體的GA。遺傳算法的出發(fā)點(diǎn)是一個(gè)簡單的群體模型，該模型滿足以下假設(shè)[23]：(1)染色體由一固定長度的字符串組成，其中的每一位有有限數(shù)目的等位基因。(2)群體由有限數(shù)目的基因型個(gè)體組成。(3)每一個(gè)基因型個(gè)體有一相應(yīng)的適應(yīng)度，表示該個(gè)體的生存與復(fù)制能力。適應(yīng)度為大于零的實(shí)數(shù)，適應(yīng)度越大表示生存能力越強(qiáng)?；具z傳算法的特點(diǎn)是采用輪盤賭選擇方法(適應(yīng)度比例法)，單點(diǎn)交叉，位點(diǎn)變異，群體中允許有相同的個(gè)體存在。遺傳算法的實(shí)現(xiàn)是一個(gè)迭代過程，它以編碼空間代替問題空間，以適應(yīng)度函數(shù)為評價(jià)依據(jù)，以群體為進(jìn)化基礎(chǔ)，以對群體中個(gè)體的位串的遺傳操作實(shí)現(xiàn)選擇和遺傳機(jī)制，通過隨機(jī)重組位串中的重要基因，使群體不斷進(jìn)化，最終達(dá)到求解目的。基本遺傳算法采用二進(jìn)制編碼．二進(jìn)制編碼優(yōu)點(diǎn)很多，簡單、易于實(shí)現(xiàn)，符合最小字符集編碼原則，有較強(qiáng)的通用性，但它不反映所求問題的結(jié)構(gòu)特征，無法利用具體領(lǐng)域的特定知識，遺傳算子可選擇的操作方式有限，精度也不太高。選擇采用輪盤賭方法，當(dāng)群體適應(yīng)度差異非常大時(shí)，最佳個(gè)體的生存機(jī)會顯著增高，較差個(gè)體的生存機(jī)會被剝奪，使最佳個(gè)體很快充滿整個(gè)群體。遺傳算法也較早地喪失了進(jìn)化能力。根據(jù)模式定理，即使基本GAs搜索到最優(yōu)解，但在交叉和變異算子的作用下仍然可能在生成下一代群體的過程中丟失，當(dāng)前群體中最優(yōu)解被破壞的概率與群體規(guī)模和迭代次數(shù)成反比。文獻(xiàn)[24]證明了在交叉概率Pc∈(O，1)，變異概率Pm∈(0，1)，且采用輪盤賭方法的基本遺傳算法是不能收斂到全局最優(yōu)解的。另外，針對不同問題，僅采用單點(diǎn)交叉和基本位變異的方法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，其中交叉是遺傳算法生成新群體，帶動群體進(jìn)化的主要方法，是遺傳算法的核心，變異是維持群體多樣性，突破局部極值的重要手段，兩算子的操作方式對整個(gè)GA的影響捆當(dāng)大，應(yīng)根據(jù)具體問題選擇設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)牟僮鞣绞?。SGA采用固定的控制參數(shù)，在處理復(fù)雜問題時(shí)，很難同時(shí)兼顧搜索范圍廣和搜索速率快的矛盾，容易陷入局部極值或使搜索時(shí)間增長，Grefenstette[25]采用一組測試函數(shù)進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)，試圖發(fā)現(xiàn)一組通用的或具有普適性的最佳參數(shù)，但結(jié)果表明。這樣的參數(shù)很難找到，因此，采用固定參數(shù)的GA有很多值得改進(jìn)的地方。、初始化首先要把問題的解表示成為遺傳算法可以接受的格式，即2進(jìn)制或字符串的格式。接著產(chǎn)生初解群，即串或