【文章內(nèi)容簡介】 進(jìn)行了模擬。 理論模型和公式推導(dǎo) 帶電粒子在平行電場和磁場中的運動方程如圖1所示，質(zhì)量為，帶電量為e的粒子，在電場F和磁場B（F//B）中運動。兩個彈性界面垂直于Z軸，位于原點兩側(cè)，界面距離原點的距離分別為和。 帶電粒子在平行電場和磁場兩個彈性界面運動的圖示粒子的哈密頓為，矢勢A取為[7]。假定電場和磁場沿z軸方向，則。若采用柱坐標(biāo)（），則粒子的哈密頓量用可表示為： ()其中，根據(jù)哈密頓正則方程，，可推導(dǎo)出帶電粒子在平行電場和磁場中的運動方程。 () ()其中，為帶電粒子的出射角，E為帶電粒子的能量。 帶電粒子在平行電場和磁場及存在兩個彈性界面時閉合軌道形成的條件下面，我們討論帶電粒子的出射向滿足什么條件時，粒子從原點出發(fā)后，又返回到原點，即形成一條閉合軌道。我們分幾種情況進(jìn)行討論；（1）當(dāng)=0時，即粒子沿Z軸出射。當(dāng)粒子達(dá)到最高點時 ()此時。因此，若，則粒子不碰到界面就返回原點形成閉合軌道，粒子的運動周期為。（2）當(dāng)=0時，由可知：時才可能形成閉合軌道。當(dāng)粒子運動達(dá)到最高點時，由以上分析同理可知，此時： 若，即，則粒子在運動過程中不碰到上界面。若粒子能形成閉合軌道，由得，即，由得：當(dāng)時，粒子恰好回到原點。由此得粒子運動的初始角滿足，且時能開成閉合軌道。（1）粒子在運動中只碰到上界面后形成閉合軌道=0時，由前面的分析可知，若，則粒子碰到上界面后返回原點形成閉合軌道，粒子碰到上界面時。由此推出，由對稱性可知粒子運動的周期為。，由可知：時才可能形成閉合軌道，根據(jù)前面的分析，當(dāng)時，粒子在運動過程中碰到上界面，由于界面是完全彈性的，通過分析可以看出只有粒子初次碰到上界面時在處，此時軌道才為閉合的。設(shè)碰撞時時時間為。由于為遞減函數(shù)，所以只要保證即可。若軌道為閉合的，即滿足。解以上方程得： ，周期。（2）粒子在運動中只碰到下界面后形成閉合軌道=0時，若，則粒子不會碰到上界面，粒子碰到下界面后返回形成閉合軌道。，則粒子沿Z軸負(fù)方向出射。此時粒子碰到下界面后才可能返回原點形成閉合軌道。經(jīng)計算粒子到達(dá)下界面的時間。由于對稱性，粒子一定能返回到原點。且粒子從碰撞后到原點的時間，故周期，由于界面是完全彈性的，可以分析看出只有粒子不碰到上界面且初次碰到下界面時在處，此時軌道才為閉合的，設(shè)初次碰撞時間為，若軌道為閉合的，即滿足， 以上方程，得：，周期。當(dāng)滿足以上條件時粒子只碰到下界面就形成閉合軌道。若粒子在運動中碰到兩個界面后才形成閉合軌道，在此情況下粒子滿足：恰好碰第一個界面時時。下面，分幾種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)=0時，即粒子沿Z軸出射。若，則粒子碰到上界面后返回碰到下界面后再返回形成閉合軌道。（2）當(dāng)時，即粒子沿Z軸負(fù)方向出射。由對稱性可知，若，則粒子先碰到下界面后返回碰到上界面后再返回形成閉合軌道。（3）時，由公式()，令z=，可知粒子初次到達(dá)上界面的時間為： ()把帶入公式()得。經(jīng)過上界面的反彈以后，粒子到達(dá)下界面，同理可求出到達(dá)下界面的時間為 ()若此時粒子恰好碰到上界面時在處，則能形成閉合軌道，幫軌道閉合時有： ()由上式解出即為形成閉合軌道時的初射角，軌道得周期。（4）時，由公式()，令可知粒子初次到達(dá)下界面時間為： ()把代入公式()得。經(jīng)過下界面反彈后，粒子到達(dá)上界面，同理可求出粒子到達(dá)上界面時間為： () 若此時粒子恰好碰到上界面時在處，則能形成閉合軌道。故閉合時由可解出，此即形成閉合軌道的初射角，周期為。在計算中，各參量的取值如下：B=2T，E=，F(xiàn)=100V/cm。計算中采取原子單位制，。 粒子沒有碰到任何界面時的閉合軌道當(dāng)E=，F(xiàn)=100V/cm時，故可以碰到上界面。閉合軌道形成的任何為：。當(dāng)j=1時，（a）所示。當(dāng)j=2時，（b）所示。 帶電粒子在平行電場中沒有碰到彈性界面時的閉合軌道當(dāng)j=3,4,5,6…時，經(jīng)計算均不滿足條件，故不存在閉合軌道。 粒子只碰到上界面時的閉合軌道I. 當(dāng)時，粒子沿Z軸出射，(a)所示。 帶電粒子在平行電場中沒有碰到彈性界面時的閉合軌道III. 當(dāng)時，此時閉合軌道形成的條件為，且。當(dāng)j=1時，時。(b)所示。當(dāng)j=2,3,4…時，均不滿足條件,故不存在閉合軌道。 粒子只碰到下界面時的閉合軌道I. 當(dāng)時，即粒子沿Z軸負(fù)方向出射。(a)所示。II. 當(dāng)時，此時閉合軌道形成的條件為：，且。當(dāng)j=1時，(b)所示。當(dāng)j=2時，(c)所示。當(dāng)j=3,4,5…時，故此時不存在閉合軌道。 帶電粒子在平行電場中只與下界面碰撞時形成的閉合軌道 討論 帶電粒子在電磁場中的運動，是一個較為復(fù)雜的問題，本章就一種殊情況，電場和磁場平行的情況，從哈密頓正則方程出發(fā)討論了其運動方程。并根據(jù)其運動方程討論了有兩個彈性界面時的閉合軌道：通過計算可以看出，當(dāng)初始條件滿足一定關(guān)系時，確實能形成閉合軌道，并且軌道的數(shù)目與初始條件有關(guān)。最后根據(jù)討論的結(jié)果運用計算機(jī)編程繪出閉合軌道。本章的研究可以使我們更形象更直觀的了解帶電粒子在電場和磁場中的運動情況。對于很多負(fù)離子體系(如H體系) 在均勻強(qiáng)外場中的運動問題，當(dāng)最外面的電子離原子核較遠(yuǎn)時，電子與原子核之間的庫侖勢和電子與強(qiáng)外場之間的作用勢相比便可以忽略不計，因此負(fù)離子體系在外場中得運動學(xué)問題可以簡化為電子在強(qiáng)外場中的運動問題。通過對帶電粒子在電磁場中運動的分析，可為帶電粒子在電磁場中的動力學(xué)性質(zhì)的研究打好理論基礎(chǔ)。重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 4求解某些磁標(biāo)量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程5求解某些磁標(biāo)量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程 問題與分析雙環(huán)靜電問題是指真空中任意方向、任意位置處放置的軸線相交的兩個均勻帶電圓環(huán)靜電問題，求全空間中的電勢分布。 該問題看似很簡單，只要把雙環(huán)各自在周圍空間激發(fā)產(chǎn)生的電勢疊加起來就得到空間電勢解表達(dá)式了?？墒聦嵅蝗?，因為我們所知的只是單環(huán)軸對稱的電勢解表達(dá)式，雙環(huán)時空間已不再具備軸對稱性，沒法直接引用軸對稱電勢解簡單相加來完成，誠然還有一個辦法，那就是進(jìn)行坐標(biāo)變換——把非對稱環(huán)在帶撇號坐標(biāo)系中的軸對稱解變換到不帶撇號坐標(biāo)系中的電勢解，然后再作疊加實現(xiàn)，但坐標(biāo)變換關(guān)系比較復(fù)雜不易導(dǎo)出電勢解析式。本章我們避開疊加原理與坐標(biāo)變換而使用均勻帶電圓環(huán)在球坐標(biāo)中的特定球面上電荷密度表象、勒讓德函數(shù)級數(shù)展開法、球函數(shù)的加法定理、分區(qū)分離變量法解電勢拉普拉斯方程結(jié)合分區(qū)界面上的邊值關(guān)系得到雙環(huán)電勢問題的解析解，并作簡單討論。 雙環(huán)電荷的面電荷密度的表象與勒讓德函數(shù)形式級數(shù)展開 ，我們以雙環(huán)軸線的交點為球坐標(biāo)原點，環(huán)1的軸線為Z軸，環(huán)1的環(huán)心位于球坐標(biāo)(，0，0)，環(huán)1半徑為n，帶電總量是；環(huán)2軸線方向在直角坐標(biāo)OXYZ相應(yīng)的球坐標(biāo)經(jīng)緯角為和上，環(huán)2的環(huán)心位于球坐標(biāo)(，)，半徑為，帶電總量為。于是由幾何關(guān)系有,R1=, R1= ()而由于環(huán)1在OXYZ直角坐標(biāo)相應(yīng)的球坐標(biāo)(r,)中半徑為的球面上的電荷面密度表象為 ()環(huán)2在直角坐標(biāo)相應(yīng)的球坐標(biāo)（）中的半徑的球面上的電荷面密度表象是 ()把()、()兩式在各自球坐標(biāo)中按勒讓德函數(shù)展開，即得 () ()而，所以由球函數(shù)的加法定理有 ()用連帶勒讓德函數(shù)表示，即代入得 ()把()代入()得 ()建立如圖1所示OXYZ直角坐標(biāo)對應(yīng)的球坐標(biāo)系（）下分離變量解電勢拉普拉期議程并應(yīng)用自然邊界條件有 （） () () ()注意到在分區(qū)球面上電勢應(yīng)滿足邊值關(guān)系即 () ()比較()、()式中的球諧函數(shù)的系數(shù)或應(yīng)用球諧函數(shù)正交性有 () ()同樣在球面上電勢應(yīng)滿足邊值關(guān)系故 () ()比較球諧函數(shù)系數(shù)，從而有 () ()解()、()、()和()式得 () () () ()（r≤） ()（≤r≤） ()（≤r） () 特例與拓展 特例① 當(dāng)，時，雙環(huán)靜電呈軸對稱性（），其電勢解析為 () () ()它們完全表現(xiàn)為電勢疊加形式。② 非對稱帶電環(huán)在原點位于軸線上球坐標(biāo)中的電勢解是 () ()式中Q為帶電總環(huán)總電量，為環(huán)半徑，和為帶電環(huán)軸線在球坐標(biāo)中經(jīng)緯角。 拓展 當(dāng)真空中放置n 個均勻帶圓環(huán)且各環(huán)軸線相交于一個公共點，n個圓環(huán)各自位于以軸線交點發(fā)原點的不同球面上，則可將電場空間分割成n+1個場區(qū)，應(yīng)用上述環(huán)電荷面密度表象、分區(qū)解電勢拉普拉斯方程得到問題解。當(dāng)n 個帶電環(huán)中出現(xiàn)部分帶電環(huán)位于相同球面上或所有帶電環(huán)均勻位于同一球面上時，僅有電場空間分區(qū)數(shù)變少，其電荷面密度的疊加。重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 6應(yīng)用麥克斯韋應(yīng)力張量計算某些電磁作用力6應(yīng)用麥克斯韋應(yīng)力張量計算某些電磁作用力在用洛倫茲力公式計算帶電體或載有電流的物體所受的電磁作用力時，必須除去受力電荷或受力電流本身的場才能得到正確的結(jié)果。即式中的需是除去受力電荷本身后其它所有電荷在所求點產(chǎn)生的電場[l]；同樣是除去受力電流后其它所有電流在所求點產(chǎn)生的磁場。但在很多情況下，往往遇到總場較易求出，而較難分清在總場中哪些是受力電荷或電流本身產(chǎn)生的場，哪些是其它電荷或電流產(chǎn)生的場。本章認(rèn)為，在可以計算出總場的情況下，用總場導(dǎo)出的麥克斯韋應(yīng)力張量來直接計算電磁力，避免了對總場中成分組成的復(fù)雜討論，也是一種普適的方法。在以往的一些文獻(xiàn)中對用麥克斯韋應(yīng)力張量來直接計算電荷間的電作用力已作過很多討論，但用該方法計算磁作用力的例子卻很少。本章試圖通過例子說明，在討論電流間的磁作用力時，該方法同樣適用。描述宏觀電磁現(xiàn)象的麥克斯韋方程組,是大家早已熟悉的,為以下敘述方便,不妨再予列出。當(dāng)選取,則C＝1時，方程組的微分形式為 （）